Convergence des développements des composantes

a) Soit d’abord le cas d’un point (r, 6, z) intérieur au cylindre. Les composantes du champ électrique, par exemple, sont définies par des séries trigonométriques telles que :

(V-35) +2) à Len ) + 4-n(r)] cos n(j—0)

E, = es | ain + Jian(r) — a-n(r)]sin n( — o) |

Pour les grandes valeurs de n, les coefficients de ces séries se comportent d’après (28) comme la quantité : e—nFlu) — 1/Xr.

Or, lorsque r décroît de a à 0, on a :

(V-36) Uo < uL+o, et

1 SX = EF & + co.

Par conséquent :

19 Les développements des composantes du champ sont absolument et uniformément convergents dans tout intervalle 0 < r < a — e.

2° La convergence est d’autant plus rapide qu’on se rapproche de l’axe du cylindre.

La raison élémentaire de ces résultats est que les coefficients se comportent comme le produit d’une fonction K,(Yy,a), décroissant avec n, par une fonction l;(Yar) croissant avec n, la décroissance de la première étant d’autant plus difficilement compensée par la croissance de la seconde que r diffère de a.

Au voisinage de l’axe la convergence est telle qu'on pourra calculer le champ avec quelques termes seulement. Dans certains cas on pourra même se borner au premier terme : aÿ(r) e71P* (voir l’exemple numérique traité plus loin). Il est intéressant d’observer, dès maintenant, que cette dernière approximation conduit à un champ de révolution autour de l’axe. À première vue elle équivaut à l’approximation de la couche continue. D'ailleurs, en faisant n — 0 dans (14), (15), (16),1l

vient :

— (19/27 k) PYo Ko(Yo@) Li (Yor)

bo(r) = —j(In/2xk) 2 cotg &« Ki (Yoa) Li: (Yor) =) (/n/2xh) Y6 Ko(Vo a) Lo (Yor)

Avec

On retrouve les expressions (11-18) du chapitre II. Sous réserve de déterminer la vitesse de l’onde, la méthode de la couche continue apparaît ainsi comme l’approximation dans laquelle des séries d’une