A. EXPRESSIONS ASYMPTOTIQUES DES FONCTIONS DE BESSEL MODIFIÉES

Formules de Nicholson.

J. W. Nicnorson a établi [23] les formules suivantes :

(1) | 1,(x) =VT/2rzet (2) Kala) = VrT/2z et

L # ps > #ETA nt “fe

homes

nn Om noue PR nÉ k ty pur DU AN toujours pos (3) Tla= (+ n)12X, (x + n)—32 16) Kio dbrrten. + Au(a? + n)5/2 — e—tcotho—u—(cotbu—uw)] — #h(cothu—cothu) + où —Tu & & E d ( d 4 | +: 2nVcoth w, coth w FF be NT TUNX Ua Re CR ue ; ! ë je NA A l’intérieur du cylindre (r < a),ona:u > uget 2 2 FE + n° Ge Log = È =. ts À © F(u) = coth uo— uw — (coth u— u) > 0. RÉ ‘ Avec Cas particulier. — Sur la surface du cylindre : u— up, les expressions précédentes se simplifient (5) ee ES ee ee alors considérablement. Reprenant le calcul avec et un terme supplémentaire en 1/n, utile pour la (6) 1 + per + pur +. = (1 + ox + Au? +...) discussion on-obtient,:

Ces formules sont valables quel que soit x réel positif. En limitant le nombre des termes dans les développements l’approximation est d'autant meilleure que n est grand. En particulier, pour n convenable, on peut, en s’arrêtant au premier ordre, obtenir des expressions remarquablement simples :

M At) | 1/V2rvVr+ne)e Va nè—(n/2)Log| (V2 n° +n)/( Va +ni—n) ]

(& K,() /rNVr re eV +ni + (n/2) Loël (Van + n)/(Va+ni—n)]

Expressions de /,:+(y.r) et K,:5(Yna):

Les expréssions (V-14) à (V-16) du champ de hélice contiennent des termes en 1,:+(Ynr) et K,6(Yna) où les indices p et T ont les valeurs — 1,0, 1. D'autre part pour n positif et grand, on a:

(9) ya =V(n/h—B}—-k=nh—$6—-khf2n+.

A0) yu=Vimh+B EC n/h+p—Rh2nt…

Pour appliquer les formules (7) et (8) on est donc amené à considérer des expressions telles que :

(AT) yér2 + (n + 0)? = n° (r?/R2 + 1)

— 2n(Br?/h— 0) + (82 —

Il est commode, pour la suite des calculs, d’introduire la variable auxiliaire u :

(12) shu— hr hi

avec u = up pour r = 4.

Ainsi :

Var? + (n+ 0) © n° coth? u —2 n(fB h/sh? u — 6) +...

I vient alors en appliquant (7) et (8) :

(13 Lu+7(ynr) = (V2rn coth u) gn(cothu—u)—{#cothu + Ta) (14)

Kn+o(yna) = (r/V2n coth up) e—r(cothue—t) + sneothu + ou d’où :

(5) Kusa(aa) Ir (ynr)

e—"{cothu—%)— (cothu—"u)] +8 (cothu,—cothu) +ou—Tu [e.. "2

2 nVcoth w-coth w

Kn+0 (Yn à) In+7 (Yn&) 1+

on coth w 28R[1+(0—7T)sh uchwo]—-(0+7T)sh?u0+(02—7?)sh chu 2nch?w e(S—T)% Yn Kn+o (Yn@) In+T (YnA) rte)

—t)chu—-shu]—-(0+7T) sh u +

su 2nchw

(o—7?)chw |

En changeant 8 en — 8 il vient les expressions relatives à ÿ». Ainsi on aura :

Yan Kia KL 5 hcothu [1 FE

2ncothw %

et relativement à l'argument ÿ :

(2 Bh— 1) ee % sh 271 2hcothw

à 2nch?w (26h + 1) e% sh w 2nch?w

Bh—osh? = |

n Ch? w

Von

Kr+o li+o

(20) à nie por [1 — CEA ne Rene à ses «| 2hcoth w 2nch° w E—% (26h— 1) e% sh uw Y-n Ën hrs Uo Li 2nch w | 4 Bh+oshw Ka+o In+o me | |