AB

p = — sin 2*>

or, l'équation de la courbe est

p — a sin 2w par conséquent

Donc la droite AB , perpendiculaire au rayon vecteur, a une longueur constante et égale à 2a, ou à Taxe CD. La courbe est donc le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées, du pôle, sur la droite AB dont les extrémités se meuvent sur les côtés d'un angle droit, le sommet élant au pôle.

L'équation' de cette courbe rapportée à des coordonnées rectilignes est du sixième degré; on la nomme scarabée équilatère.

Étude de la courbe p = a tang (nw) -h b.

( Tangentoïdes polaires du premier degré. ) •

L'étude de la courbe p = a tang (nw) + b se ramène à celle de la courbe p = a tang (nw). Les tangentoïdes se divisent en deux classes :

1° Les tangentoïdes entières, dans l'équation desquelles n représente un nombre entier.

2° Les tangentoïdes fractionnaires, clans l'équation desquelles n est fractionnaire;

TANGENTOÏDES ENTIERES.

.4° Lorsque dans l'équation p = a tang (no), l'angle nw atteint les valeurs 0°, 1 80°, 360° , 540°... , le rayon vecteur est nul, et par conséquent la courbe passe par le pôle. Entre chacune de ces valeurs se trouvent deux valeurs infinies de p, l'une positive et l'autre négative. Ces deux valeurs sont simultanées.

2° On obtient ainsi des branches de courbes infinies, qui passent toutes parle pôle. Elles ont une distance

angulaire constante, contenue un nombre exact de fois

dans 90° et égale à — n

3° Les branches de rang impair seront positives, et celles de rang pair négatives.

4° Le nombre total des branches sera 4n, que n soit pair ou impair, puisque la 2n ème branche étant toujours de rang pair, la 2 n + 1 ème sera impaire et par conséquent positive; elle ne pourra donc jamais venir se confondre avec la première branche, comme cela a lieu pour la courbe p = a cos (nw).

5° On voit aisément par ce qui précède qu'il est impossible d'obtenir une tangentoïde entière ayant c branches, si c n'est pas exactement divisible par 4.

TANGENTOÏDES FRACTIONNAIRES.

Lorsque n est une fraction que nous représenterons

par — > en posant — go' = 90, on obtient pour la dis-

90 q tance co' des branches, «' = Si cet angle entre

P un nombre exact de fois dans 360° ou dans un multiple exact de 360°, la courbe aura un nombre fini de branches, sinon le nombre de branches infinies sera infini.

Étude de la courbe p — a cotang (ww) 4- b.

( Cotang entoïdes polaires du premier degré. )

On trouvera aisément le moyen de ramener l'étude des cotangenloïdes à celle des tangentoïdes, par un simple changement angulaire clans la position de l'axe.

Étude de la courbe p = a séc (w&>) + b.

( Sécantoïdes polaires du premier degré. )

Les sécantoïdes se divisent en deux classes : 1° Les sécantoïdes entières, dans l'équation desquelles n est un nombre entier.

2° Les sécantoïdes fractionnaires, dans l'équation desquelles n est un nombre fractionnaire.

SEGANT01DES ENTIERES.

On voit que, dans l'équation p = a sec (nw) :

1° La sécante n'étant jamais plus petite que le rayon, p ne sera jamais nul ; la courbe ne passera donc pas par le pôle. Lorsque l'angle m» atteint 0,1 80°, 360°, 540°..., le rayon vecteur devient égal à a; entre chacune de ces valeurs se trouvent deux valeurs infinies de p, lune positive, l'autre négative. Ces deux valeurs sont simultanées.

2° On obtient ainsi des branches de courbes infinies, dont le point le plus rapproché du pôle en est à une dislance a. Elles ont une distance angulaire constante, contenue un nombre exact de fois dans 90°, et égale à n

3° La 4 re branche sera positive, la 2 e et la 3 e négatives, la 4 e et la 5 e positives, et ainsi de suite.

4° Le nombre total des branches sera 4n ; avec cette réserve que si 2rc appartient à la série des nombres 2, 6, 10, 1 4.. , la 2n + 1 ème branche appartiendra à la série 3, 7, 11 , 15... , et sera par conséquent négative; elle viendra donc retomber sur la première, et Ton n'aura que 2n branches.

5° On voit aisément par ce qui précède qu'il est impossible d'obtenir une sécantoïde entière ayant c branches, si c n'est pas divisible par 4, ou s'il n'est divisible par 2 en appartenant à la série 2, 6, 10...

6° Lorsque n =• 1 , la sécantoïde est une ligne droite,

SEGANT01DES FRACTIONNAIRES.

Lorsque n est une fraclion que nous représentons

par — > en posant — '&>' = 90 on obtient, pour la disq q

tance w' des branches, w' = — -• Si cet angle entre

un nombre exact de fois dans 360° ou dans un nombre

exact de fois 360°, la courbe aura un nombre fini de

branches, sinon le nombre des branches infinies est

infini*

Étude de la courbe f — a coséc (nw) 4- b.

( Cosécantoïdes polaires du premier degré.)

On trouvera aisément le moyen de ramener l'élude des cosécantoïdes à celle des sécantoïdes.

Des spirales.

On nomme spirale toute courbe qui fait an nombre infini de révolutions autour du pôle, en s'en éloignant constamment.

Chaque révolution constitue une spire.

On voit au premier abord que le nombre des équations qui représentent des spirales est infini. Nous examinerons les deux suivantes :

1° p — « w m ; cas où m = 1. (Spirale d'ArchimèdeJ 2° p '= aw m ; cas où m = — 1 . (Spirale hyperbolique.)

SPIRALE d'aRCHIMÈDE.

L'équation de la spirale d'Archimède est p = a-w.' Lorsque w est nul, le rayon vecteur est nul; la courbe passe donc au pôle. Lorsque w prend toutes les valeurs comprises entre zéro et l'infini, p prend des valeurs toujours croissantes; la courbe fera donc une infinité de révolutions autour du pôle en s'en éloignant constamment.

Toute droite passant par le pôle est coupée par la courbe en segments égaux, dont la longueur est %ia.

La spirale d'Archimède est la courbe décrite par un mobile animé d'une vitesse constante sur une trajectoire rectiligne, lorsque cette trajectoire est animée d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un de ses points.

Application des formules générales à la spirale d'Archimède.