TANGENTE
La formule générale
, do*
tang ii = p —
dp
devient
tang /// = -£.. = « a
La tangente de l'angle p est donc égale au développement de l'arc w. Or, w prend successivement les valeurs 2tt, 47t, 677... L'angle du rayon vecteur avec la tangente à la courbe augmente donc constamment et a pour limite l'angle droit. On en déduit que la courbe coupe l'axe polaire sous un angle aigu qui tend à devenir droit.
SOUS-TANGENTE
La formule générale
c « dfù v dp devient
Si = ttw 2
SOUS-NORMALE
La formule générale devient
ftft)
Sn = a La sous-normale est constante.
NORMALE
La formule générale
devient
RECTIFICATION
La formule générale
devient
s = aj doi V 1 +
s= fch, m /„, , (^
ou
Or
et
f du , ( ,
I , = log nep U+ k 1 +
/ , =«Vl+w l - dw \/ 1
Donc
s = 4- lo S né P « + Vl + w 2 -h ~- ^ 1 H- w 2 -H C
QUADRATURE
La formule générale
devient, de m' , à w"
Il faut observer que le rayon vecteur décrit à chaque révolution toute la surface comprise dans la dernière spire, c'est-à-dire celle des spires précédentes. Pour avoir la surface comprise dans la m ei spire, il faut donc intégrer, non de zéro-à27rm, mais de 2îr(m — I) à 27rm. On trouve ainsi
~8 7r â im*~(m-l)
De môme, on aurait pour la spire suivante :
La différence de ces deux valeurs exprime la surface du m -f 1 em anneau de spire :
Jïl 8 7T 3 ( ( m 4- 1 ) 3 - 2 m* H- ( m - 1 )
ou
c'est-à-dire la surface d'un rectangle ayant pour base constante 8 aV, et pour hauteur m; ou m fois la surface du second anneau.
Cette expression ne peut servir à la mesure du premier anneau, parce que celui-ci est égal à l'anneau qui le précède et qui appartient à la courbe symétrique des
m négatifs.
Ces formules se simplifient lorsque a= .—
