APPLICATIONS

1. On demande ï équation d'une courbe telle que les extrémités de ses normales engendrent une circonférence de rayon a dont le centre soit au pôle.

Il suffit pour cela que la sous-normale soit constante et égale à a, c'est-à-dire que l'on ait

OU

dp = a doi

On sait que lorsque deux quantités sont égales leurs fonctions primitives ne peuvent différer que par une constante. On a donc

Cette équation représente une conchoïde dont la base est une spirale d'Archimède. Lorsque C = o, on a une spirale d'Archimède, et pour a = o, on a un cercle de rayon C, dont le centre est au pôle.

2. On demande un moyen de tracer par un mouvement continu la conchoïde p == a cos oo + 6.

Le sommet d'un angle droit, dont les côtés sont assujettis à passer par les extrémités d'une ligne a, décrit

un cercle de rayon -. On voit qu'un point situé à une

distance b du sommet, sur le prolongement d'un côté, décrira la €onchoïde à base circulaire.

3. Trisection de l'angle par la conchoïde de Nicomède. Soit l'angle PON ( planche XIII, fig. II ) dont on veut

avoir le tiers. Décrivons de comme centre, et avec un rayon quelconque OP, le cercle NPM. De P comme pôle, et avec ON pour base, traçons une conchoïde p = a sec 6) — 6, en prenant b = OP, et a égal à la distance de P à ON. Soit M l'intersection du cercle et de la conchoïde; joignons MP, et prolongeons cette ligne jusqu'à l'intersection K. A cause de la propriété de la conchoïde, on a OP = KM = 6. En joignant OM, on verra facilement que l'angle MKO est le tiers de l'angle PON, à cause des triangles isoscèles KMO, MOP.

4. L'asymptote d'une branche infinie se détermine : a) en direction, en ce qu'elle est parallèle au rayon vecteur infini; b) en position, par sa distance au rayon vecteur infini, distance qu'on obtient en faisant « égal à l'angle qui correspond au rayon vecteur infini, dans l'expression générale de la distance d'un point de la branche au rayon vecteur infini.

On demande de déterminer l'asymptote d'une branche de la courbe p = a tang (2w).

On sait d'abord que l'asymptote doit faire un angle de 45° avec l'axe polaire, puisque le rayon vecteur inftni est incliné à 45°.

On voit ensuite que l'expression générale de la distance d'un point de la courbe au rayon vecteur infini est

P sin (45 — od. )

OU

a tang (2&>) sin (45 — &>)

ou

sin (%>) (sin 45 . cos w — sin w . cos 45 )

cos (2w) c'est-à-dire

a sm (2&>) — V 2 :

1 2 cos 2 w — sin 2 w

OU

sin(^)±V¥ a

cos &> -f- sin w

et en posant co = 45°,

L'asymptote est donc à une distance - du rayon

vecteur infini.

5. On demande de déterminer l'asymptote de la spirale hyperbolique.

L'asymptote est parallèle à Taxe polaire. La distance d'un point quelconque de la branche, à l'axe, est p sin w, ou

sin w

pour o) = o, on a = 4 ; la distance de l'asymptote

à l'axe est donc a.