CAS PARTICULIER OU LA CONIQUE HARMOJVIQUEMENT INSCRITE EST UN CERCLE

72. On peut toujours inscrire dans une conique une infinité de triangles ayant pour point de rencontre des hauteurs un point donné P^ si l'on considère l'un d'eux, la conique est harmoniquement circonscrite au cercle avant pour centre le point P et pour rayon la puissance du triangle (3), puisque le triangle est conjugué à ce cercle. Si l'on en considère un second, sa puissance sera la même, car si elle différait de la première, la conique serait harmoniquement circonscrite à uni; infinité de cercles concentriques au premier, ce qui est impossibh% le point P étant (jueh(>ii<|iir. On peut donc dire (jue :

64 CHAPITUK 1\ .

iHÉoRkME. — Tous les triangles inscrits dans une coriit/ue et ayani /)(>ur point de rencontre des hauteurs un point donné, ont même puissance.

Tous ces triaiii^los forment une involution plane circulaire; si le cercle triple est imaginaire, et si par son centre on élève sur le plan de l'involution une perpendiculaire égale à la puissance géométrique, de l'extrémité de cette perpendiculaire on verra sous un angle trièdre trirectangle tous les triangles de l'involution, conjugués au cercle et inscrits dans la conique (3). C'est pourquoi nous donnerons le nom de jndssance orthopticj ue de première espèce par rapport à la conique à cette longueur qui est fixe pour chaque point du plan, et qui est la puissance commune de tous les triangles inscrits dans la conique et dont ce point est le point de rencontre des hauteurs.

73. Du théorème précédent, on conclut immédiatement le suivant :

Théorème. — Si l'on peut mettre sur un cône du secojid degré les arêtes d'un trièdre trirectangle , on peut en nietlre une injinité.

Car si l'on coupe le tout ])ar un plan, ce trièdre est coupé suivant un triangle inscrit dans la conique d'intersection et ayant pour point de rencontre des hauteurs la projection sur le plan sécant du sommet du cône. Tous les triangles <]ui satisfont aux mêmes conditions , ayant même puissance (72), sont vus du sommet du cône sous un angle trièdre trirectangle. Nous dirons alors que le cône est équilatère de première espèce ( ' ) .

(') Nous avons déjà propose cette ilénoiniiiatioii (.louriial l'Itutiiiit, 20 déconibre lS6:); Coniptrx rcndtis de la Socirtt' iihUuittdthitjui'').

PROrniÉTÉS (ll^-.NrifAI.F.S DES COMOUES, ETC. 6j

DE L.\ PUISSANCE ORTHOPTIQl E DE PREMIERE ESPECE Dl N POINT PAU RAPPOUT A UNE CONIQUE.

li. Si un li'iaiii;l(' APjC {fii^- lo) csl insciil dans un

cercle, el si le point 1 est le point de rencontre des hauteurs, on a

d'ailleui-s la puissance ortlioptique p de ce point est égale à y/IA.lF; la longueur / de la tangente issue de ce point est égale à y'IA.lJJ ou à yJlAx 2 IF, d'où l'on conclut que l = p \Ji. Donc :

Théorème. — La puissance orthoptùjue d' an point par rapport à un cercle s'obtient en divisant par y 2 la longueur de la tangente issue de ce point (*).

Elle est nulle pour les points du cercle, imaginaire pour les points intérieurs. Dans ce dernier cas, sa longueur géométrique est égale à l'ordonnée de la sphère dont le cerch; serait un grand cercle, divisée par sji.^ et de l'extrémité de cette ordonnée ainsi réduite, on voit sous un angle trièdre trirectangle les triangles de linvolution correspondante (72).

(') Aussi, lorsqu'il s'ajjiia de la |)uissaiic(! orlliopti<|uc d'un ]j()iiil ]>;u rapport à un fcrclc, n'onictirons -nous jamais lo mol nnltojidfiur.

CHVI'lTItl. IV

75. riiÉORKMF.. — L(i i>iiis\(iiic(i ()/ l/t(>i>liifii<' il un point par rapport à une co/iit/ue est égale à la racine carrée du produit des segments comptés à partir du point sur une perpendiculaire à une asymptote Jusqu'aux points d'intersection de cette droite a\'ec la courbe.

Soil p {Jig- 1 i) la puissanrc d'un point M, on a

p^ = MA.\m;

car si C est le point à l'infini sur l'asymptote, on voit cpie le triangle ABC, inscrit dans la courije a pour point de rencontre des hauteurs un point qui'lconqne de la droite Alî. Si M est ce point, la puissance du triani;le est égale à y/ M A. M h.

il en résulte que, dans tous les cas, cette puissance est nidle si ]v. point est sur la courbe. Si la courbe est dans l'angle obtus des asymptotes, les deux segments sont comptés dans le même sens pour un point situé à l'intérieur de la courbe, et la puissance est réelle; imaginaire dans le cas contiaiic. Si la courbe est dans l'aiigle aigu, comme sur la (ignre, c'est le contraire (pii a lieu.

Si la couibe est une parabole dont les asymptotes (pioiipie à linlini ont une direction déterminée, le théorème devient :

La puissance orthoptiijue d un point par rapport à une parabole est égale à la racine mirrc du produit des seg-

HROIMUKTÉS (;ÉM^UALKS UK6 CONIODKS, KTC. 67

nienls comptes à partir du point sur une perpendiculaire à l'axe, jusqu'aux j>oints d' intersection de cette droite ai'ec la courbe.

Oa a [fiff- 13

MA. MB;

d'où l'on conclut ([uc la puissance est réelle pour les points situés à l'extérieur de la courbe, imaginaire dans le cas contraire. Pour les points situés à l'intérieur de la courbe, il est visible que la puissance géométrique est égale à l'ordonnée d(; la surface engendrée par la révolution àv. la parabole autour de son axe.

Enfin dans le cas de l'ellipse le tbéorème subsiste toujours par continuité, bien que n'ayant plus de représentation graphique. La courbe sépare donc toujours les points du plan dont la puissance est réelle de ceux pour lesquels elle est imaginaire, et il est facile de voir par des cas particuliers qu'elle est imaginaire pour les points intérieurs, réelle pour les points extérieurs, qm;, par exemple, la puis-

sance du centre est éirale à

sjn'

gV-

(*) L'analyse fait voir que

f{x, j) = \x' -h -iKjLj -+- C7- -h 2 Dx -t- -î Ej -H F = o «kaiit l'équation df la courbe, la puissance du point (s<,«/3') est égale a.

ClIAI'lTUli IV .

Si la courbe est une hypeiljole éfjuilalèn', le lliéorème fait voir que la puissance d'un jtoiiit est infinie si le point n'est pas sur la courbe, indéterminée dans le cas contraire. Elle est égale à l'ordonnée d'un cylindre droit ayant la courbe pour base, ce qu'on peut encore traduire en disant qu'il est impossible d'inscrire dans une hyperbole écjuilatère un triangle dont le point de rencontre des hauteurs ne soit pas sur la courbe, ce qui est conforme au théorème connu ( H ) .

76. Théorème. — Le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d' un point S sur les cordes d' une coniijue <vues de ce point sous un angle droit est un cercle. La puissance orthopticjue du point S par rapport à la conique est égale à la longueur de la tangente menée du point S à ce cercle.

Pour démontrer cette proposition, considérons un angle droit dont le sommet soit en S et abaissons du point S des perpendiculaires sur les cjuatre cotés du quadrilatère complet ABCD, A, B, C, D étant cjuatre points pris deux par

Fig. .3.

deux sur les côtés de l'angle. Soient a, b, c, d les pieds de ces perpendiculaires. Nous allons faire voir que ces quatre points sont sur. un même cercle. On a, en ellet [fig- i3).

thc z= o/''' — yi\h(i -H iî/^rj.

PROPRIÉTÉS (;É>ÉRALES DKS CONIQUES, ETC. 69

Or les quadrilatères ihscriptibles ASab^ BSèc donnent

Aba = AS a et BZ»c = 13Sc, donc

/ /^ r^^\ /XI

f =: 2'''' [ I '''" — aS c\ = 1 ''' ~h(lSc.

On a, de même dans les quadrilatères inscriptiblesCSc^, J)S ad

Cdc ou Cda -h ndc = a'''" — CSc

Ajoutant

Uda ou D de -+- adc = 2''' — DSa.

C da -t- D ^c H- 2 adc

d'où

(2) adc =z i'''^ — aSc.

Comparant les égalités (i) et (2), on voit que les angles opposés du quadrilatère abcd sont supplémentaires, et par conséquent il est inscriptible.

Si l'on considère toutes les coniques qui passent par les quatre points A, B, C, D, deux de ces coniques sont les couples de droites AD, BC et AB, CD. Les puissances orthoptiques du point S par rapport à ces deux couples de droites sont respectivement \JSa.Sf et \jSb.Sg (75). Or il est facile de faire voir que les points /^ et g sont situés sur le cercle circonscrit au quadrilatère abcd^ car on a

ofc = CS/-+- SC/i

yo rnwiTin: iv.

parce que ces deux angles ont leurs côtés perpendiculaires -, donc

afc = CSf-+- BSc =^ i'"^ — aSc.

L'angle afc est donc aussi supplémentaire de l'angle abc en vertu de l'égalité (i) et le point ^ est sur le cercle^ de même pour le point g.

Il en résulte que deux coniques du faisceau ponctuel x\BCD sont harmoniquement circonscrites au cercle ayant pour centre le point S et orthogonal au cercle abcd, puisque, par le fait même qu'un point a une certaine puissance par rapport à une conique, la conique est harmoniquement circonscrite au cercle ayant pour centre ce point et pour rayon celte puissance (72).

Par suite, toutes les coniques du faisceau sont aussi harmoniquement circonscrites à ce cercle (67), c'est-à-dire que le produit sJSa.Sf^ ou hien la longueur de la tangente menée du point S au cercle abcd est aussi la puissance du points par rapport à toutes les coniques du faisceau.

En outre, la polaire du point S^ qui est la même par rapport à toutes les coniques du faisceau puisque le point S est un sommet de leur triangle conjugué commun SIF, sera aussi la même par rapport au cercle abcd, puisque deux des cordes communes à ce cercle et à la conique AIC, par exemple, passent par le point S : ce sera la droite IF.

Pour une conique quelconque du faisceau, les cordes communes à celte courbe et au cercle abcd^ cordes passant par le point S, seraient les perpendiculaires abaissées du point S sur les asymptotes d(î la courbe, car chacun des points d'inlerseclion de l'une de ces perpendiculaires avec la conique est un point du lieu, ce qui fait voir encore que la puissance du point S par rapport à la conique, qui peut se

IT.OIMÎIKTKS <;K.M':UA1,F.S MHS »:(J.\ FJ^) l KS, KTC. yi

iiiosuror sur l'une de ces perpendiculaires (75), est égale à la longueur de la tangente menée du point S au cercle abcd.

Supposons Miainlenant que l'on ait uni; conique iixe et que les points A, B, C, 13 soient les points d'intersection des côtés de l'angle S avec la conique pour une position de cet angle tournant autour du point S. Pour chaque position de l'angle, le cercle correspondant sera un cercle par rapport auquel le point S a une puissance et une polaire données, savoir : la puissance orthoptique et la polaire du point S par rapport à la conique fixe, c'est-à-dire que le cercle ne variera pas et cjue pour toutes les positions de l'angle S, le lieu des points «, ^, c, d sera un cercle coupant orthogonalenient le cercle décrit du point S comme centre avec un rayon égal à la puissance du point S par rapport à la conique, c. q. f. d.

De plus, l'axe radical de ces deux cercles, qui est la polaire du point S par rapport au cercle abcd^ sera aussi sa polaire par rapport k la conique, et le cercle abcd aura avec la conique deux cordes communes passant par le point S cl respectivement perpendiculaires sur ses asymptotes.

Si une conique est donnée par cinq points, il suflira [)oui' construire ce cercle de faire passer par le point S les côtés indéfinis d'ini angle droit ^ on en cherchera les points d intersection avec la conique par l'une des méthodes connues, et l'on abaissera sur les quatre cordes ainsi obtenues des perpendiculaires, dont les pieds seront sur le cercle cherché et le détermineront amplement (').

77. La puissance orthoptique d'un point par rapport à une conique étant ainsi parlailement définie par plusieurs propriétés du cercle harmoniquemeuL inscrit correspondant dont ce point est le centre, et sa puissance le rayon, étudions la puissance d'un point par rapport à loules les

(') Ce cercle n'est pas toujours réel, et il est l'acile do voir fine lorsque le point S est sur le cercle orthoptique de la conique, il se réduit ù un point.

^3 rini'nT.E iv.

(•oni(|U('s d'un laisct'au pomtiK!!. Si l'on coiisulrrc di'iix coiirhes de ce faisceau, un point d<jnné aura généralement des puissances diiférentes par rapport à elles, et l'on peut «lierclier le lieu des points d'égale puissance cpii sera alors la même pour toutes les coniques du faisceau (67). Ce lieu est une courLe qui passe par les quatre points d'intersection des deux premières, puisque ces points ont par rapport aux

qui est le pied de la perpendiculaire abaissée du point S {fif;. l'i) sur la polaire de ce point. Par suite, il sera réel lorsque le point S sera dans l'une des deux régions du plan dont le cercle orthoplique est la limite et ima|^;inaire dans l'autre. Si la conique est une ellipse, il sera réel pt)ur tous

Fig. i/|.

les points intérieurs au cercle orthoptique. Si c'est une hyperbole, juuir tous les points extérieurs. Si c'est une parabole, pour tous les points situés du même coté de la directrice que la courbe. Il en résulte que, le cercle orthoplique étant imaginaire lorsque l'aiiglc des asynijilotes est plus grand qu'un angle droit, il sera toujours réel dans ce cas. La construction cpie nous en avons donnée est toujours applicable quand il est réel. S'il est imaginaire, il est facile d'en construire le centre, lequel est toujours réel, et de trouver la valeur géométrique du rayon. En ell'et, supposons (pie la courbe soit une hyperbole et abaissons du point donné S des perpendiculaires sur les asymptotes OA, OB de la courbe; elles déterminent dans la courbe et dans le cercle deux cordes communes (76) dont les points milieux G et H sont les mômes que ceux des cordes AB, CD déterminées dans les asymptotes; si par ces points on mène des perpendiculaires ii ces cordes, on aura le centre I du cercle en leur point d'intersection, qui est évidemment le milieu de la droite BD : d'où il résulte (jue BD est parallèle au diamètre conjugué de la droite qui joint le rentre t) de la courbe au centre I du cercle; mais le point () est le point de rencontre des liauteurs du triangle SIU), clnru' SO est perpendiculaire sur Bl) ; de sorte que si par le ixiinl O on

rRorniK'j l'-.s (;Ki\i':r..vi,KS dks (.oiNiyiiKS, ktc. j3

lieux couujucs une puissance nulle, et il ne saurait être autre que l'IiYperLole équilatère qui passe par ces quatre points, car le cercle qui a pour centre un point du lieu, et pour rayon la puissance correspondante, étant liarinoniquenicnt circonscrit à toutes les courbes du faisceau, et par t'onsé(juent à cette hyperbole équilatère, a nécessairement son centre sur cette courbe (06).

mène une perpendiculaire à OS, le diamètre CQnjufjiié 01 de celte perpendiculaire passera par le centre du cercle ; dans le cas de la parabole, ce point sera toujours sur l'axe. D'ailleurs, il est aussi sur la perpendiculaire abaissée du point S sur la polaire de ce point (76); il est donc déterminé. Quant au rayon, il est clair que, pour une même conique et lorsque le l>oint S varie, il est proportionnel à la longueur de la tangente menée de ce point au cercle orthoptiquc, puisqu'il est nul en même temps qu'elle. Or il est facile de trouver la proportion, car si la courbe est par exemple une ellipse et qu'on prenne le point S au centre, le rayon du cercle cor-

Fig. .5.

rcspondant est égal à OP i^fg. tj), la puissance géométrique du point O par rapport au cercle orthoptique est BC = ^«^ H- 6^; ce rapport constant

OP . , , . uh est donc goometri((ucnient -— ;, arithmetiquemcnt — ^ —\ par suite, pour

iin point ([uelconque S situé en dehors du cercle orthoptique, le rayon

imaginaire sera égal à I -r^ — y/ — i, /étant la longueur de la tangente

menée de ce point au cercle orthoptique. Pour une hyperbole et pour un point iiitéiieur il ce cercle, le rayon serait / —, —\J — i, / étant l'ordonnée de la sphère dont ce cercle serait un grand cercle. Pour la parabole, le rayon est égal à \ ipd, d étant la distance du point à la directrice.

I»emar<iuons enlin ipie, si le point S est sur la courbe, le cercle correspondant est tangent .a la courbe en ce point et a pour diamètre le segment de la normale compris entre ce point et le point lixe par où passent toutes les cordes de la courbe vues du point S sous un angle droit. Si, dans le même cas, la courbe est une hyperbole ctjuilalèrc, il se réduit à la tangente ii la • ouriio en ce point.