ii\i'iTi\i: IV

On peut dom- ilirc que :

Théorème. — Le lieu des points d ci^ale puissance par rapport à deux courbes d' un faisceau ponctuel est l hyperbole équilatcre du faisceau. Elle est aussi la même par rapport à toutes les courbes du faisceau.

Chacun des points de l'hyperbole équilalère est donc le centre d'un cercle liarnionicjuenient inscrit à toutes les courbes du faisceau, et il n'y en a pas ailleurs. Ce sont, du reste, les cercles du système tangentiel du troisième ordre contravariant du faisceau considéré (70); on peut donc énoncer le théorème autrement, et dire :

TnÉonÈME. — Le lieu des centres des cercles d' un système tangentiçl du troisième ordre est l'hyperbole équilatère harmoniquement circonscrite à quatre d' entre eux .

78. Assujettir une conique à avoir par rapport à un point donné une certaine puissance, c'est dire qu'elle est harmoniquement circonscrite au cercle dont ce point est le centre et dont le rayon est la puissance donnée.

La puissance d'un point équivaut donc à une condition ponctuelle (69) ; toutes les coniques qui ont par rapport à (|uatre points donnés di;s puissances données forment donc un faisceau ponctuel et ont quatre points communs (17). C'est ce qui résulte également de ce que nous venons de voir, car toutes ces courbes devront se couper sur riiyperbole équilatère qui passe par les (pialre points (77).

On aurait donc à déterminer les n points communs aux coniques passant par 4 — " points donnés et par rapport au\(pielles on connaît les puissances de n points. JNous n'insisterons pas sur ces problèmes (|ui sont analogues à ceux qiu^ nous avons déjà résolus (il, 13, 15) à propos des couples de points conjugués communs. Pour // = i , nous résoudrons d'ailleurs le problème général, dans h* cas où la conique harmoniqueinenl ins(rile est quelconque (113).

IMIOTRIÉTÉS «;I^.KKI\ALKS DES «'.ON KJillES. RTC. ^5

79. Théorème. — Lorst/uuric coni(/iic vaiic en passant par (/uatrc points Jixes, le cercle lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point donné suj- les cordes de la conique vues de ce point sous un angle droit varie en passant par deux points Jixes.

Car si M est l'un des points d'intersection de deux de ces cercles, la perpendiculaire à SM menée par le point M interceptera dans les deux coniques correspondantes des cordes vues du point donné sous un angle droit \ donc ce point sera le sommet de l 'involution déterminée sur cette droite par le faisceau de coniques considéré ; donc toutes les autres cordes sei'ont aussi vues du point M sous un angle droit, c. q. f. d.

Si deux coniques sont données chacune par cinq points, on construira le cercle correspondant à chacune d'elles (76), et l'on aura ainsi leur axe radical. D'ailleurs cet axe radical <'st le cercle qui correspond à l'hyperbole équilatère du l'aisceau, car si par le point donné on mène deux parallèles à ses asymptotes, la corde intci'ceptée est tout entière à l'infini, et par suite le pied de la perpendicidaire : le rayon du cercle devieut alors infini.

En général, l'axe radical ne passera pas par le point donné \ pour cela, il faudrait qu'il eût même puissance par rapport à tous les cercles et par suite (76) même puissance ortlio])tique par rapport à toutes les coniques du faisceau; c'est-à-dire qu'il devra être sur l'hyperbole équilatère du faisceau (77), qui sera ainsi le lieu des points tels que l'axe radical résultant de chacun d'eux passe par le point dont il résulte. De plus, l'axe radical sera la tangente à l'hyperbole équilatère au point considéré, puisque le point est sur cette courbe (76).

80. Passons maintenant au réseau ponctuel. Nous avons vu (21 ) que les trois hyperboles équilatères qui passent par les points communs à trois coniques données prises deux à deux ont quatre points communs ; ces quatre

r.HAl'ITUE IV.

points auront par conséquent (77) niùmc puissance par rapport à toutes les courbes du réseau ponctuel défini par ces trois coniques, et l'on peut dire :

Théorème. — Il y a quatre points qui ont mente puissance par rapport à toutes les coniques d' un réseau ponctuel. Ce sont les sommets d' un triangle et le j/oint de rencontre des luiuteurs.

Aussi ne sont-ils pas distincts, car s'ils Tétaient, les conicjues formeraient faisceau ponctuel (78). La puissance de l'un d'eux peut aussi se déduire de celle des trois autres, car ils sont les centres des cercles cjui appartiennent au réseau tangentiel contravariant du réseau considéré, et si l'on connaît trois de ces cercles, on connait le centre du (|uatricnie, et l'on sait qu'il appartient au réseau tangentiel défini par les trois premiers ; il est donc déterminé, et nous verrons plus loin le moyen d'en déterminer le rayon (99). On peut aussi énoncer comme il suit le tliéorème précédent :

Théouème. — // existe dans un réseau tangentiel (paître cercles, dont les centres sont les sommets du faisceau ponctuel d' hyperboles équilateres appartenant au réseau ponctuel contravariant du réseau considéré.

Et l'on voit qu'un réseau ponctuel p(;ut aussi être considéré comme l'ensemble des coniques par rapport auxquelles trois points donnés ont des puissances données.

81. Théorème. — Pour chaque conique d'un réseau ponctuel, le cercle lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point jixe sur les cordes de la conique vues de ce point sous un angle droit varie en coupant orthogonalement un cercle fixe.

Tous les cercles analogues ont même centre radical : en clî'ct, le réseau se compose d'une in(init<' de faisceaux, dans cliacun desquels tous les cercles analogues, corres- [)ondant au point donné S, ont même axe radical (79)^ si floue C, C, C" sont les trois coniques qui déterminent le

l'ROIMUKTÉS GKNÉHALES DES CONIQUES, ETC.. yy

réseau, les axes radicaux résultant des trois faisceaux formés par ces courbes considérées dt'ux à deux ont un point commun C, centre radical des cercles correspondant aux trois coniques C, C, C". Ce point sera aussi commun à tous les autres axes radicaux ; car si nous considérons dans le réseau le faisceau déterminé par un point quelconque P, c'est-à-dire par les points communs aux trois coniques P [C, C], P [C, C"] et P [C", C] (18), les cercles correspondants aux deux premières passent respectivement par les points communs aux cercles correspondants aux coniques G, C et aux coniques C, C"; donc leur axe radical, qui est celui du faisceau déterminé par le point P, passe aussi par le point C.

Si le point S est un des points couununs aux livperljoles équilatères du réseau, il sera lui-même le centre radical commun, et dans chaque faisceau l'axe radical correspondant sera la tangente à l'hyperbole équilatère de ce faisceau (79).

82. Problème. — Déterniijwr parmi toutes les coiii- (jues d' un faisceau jwnctuel, celle par rapport à lai^uelle un point donne a une puissance donnée.

Le faisceau étant déterminé par deux coniques dont on connaît cinq points, on construira l'axe radical des ceixles correspondants, au moyen des cercles correspondants aux deux coniques. Cela posé, si les points A et B communs à tous ces cercles sont réels, il suffira, pour avoii' le cercle correspondant à la conique cherchée, de trouver sur la di'oite des centres un point C tel, que la longuevu- CA soit égale à la puissance du point C par rapport au cercle ayant pour centre le point S donné et pour rayon la puissance donnée, problème élémentaire : le cercle décrit du point C comme centre av(;c CA pour rayon sera le cercle cherché. Dans tous les cas, que les points A et H soient ou ne soient pas réels, on obtiendra le centre du cercle cherclié en décrivant un cercle quelconque coupant ortliogo-

y 8 »;uviMTi".i; iv.

nalemcnl tous tcux du faisceau [A, lî] et prenant le point d'intersection de la droite des centres avec son axe radical avec le cercle S. Puisque le cercle cherché coupe ce dernier orthogonalenient, il est déterminé. Soit alors P un point quelconque de ce cercle, la perpendiculaire élevée sur SP au point P coupera la conique cherchée suivant deux points vus du point S sous un angle droit, et suivant deux points conjugués de l'involution déterminée sur cette droite par ses points d'intersection avec les deux coniqu<'s données ; tes deux points sont donc déterminés, car les deux involulions dont ils form(;nt le segment commun ne coïncideraient que si le point P coïncidait avec l'un des points A et B.

Il est facile de voir que si le point S était sur rhvperhohéquilatère du faisceau, la puissance donnée n'aurait pas d'influence.

83. Problème. — Construire, la coniffue d'un réseau ponctuel [)ar rapport à laquelle deux points donnés ont des puissances données.

Les conditions données étant ponctuelles, il suffira de construire le faisc(!au déterminé dans le réseau par deux des trois coniques par rapport auxquelles un des points donnés a la puissance donnée et passant par les points d'intersection des trois coniques données prises deux à deux, et de eônsti^uire dans ce faisceau la conique par rapport à laquelle le second point donni'; a la puissance donnée (82).

84. On pourrait ainsi multiplier à l'infini les problèmes, suivant que les conditions données sont des points, des couples de points conjugués, ou des puissances, donnés directement ou [)ar les systèmes de; courbes qui y satisfont. Les solutions seraient analogues à celles que nous connaissons dé|à, et ne seraient paS plus simj)Ies(]ue celles <|ue nous donnerons dans le cas général où la conique hai'moni(juement inscrite est (juelconque. iNous a\ons

PUOl'RII^rn^S liÉ^ÉRALES UES COMQIF.S, KTC. . "Jl)

voulu indiquer le premier des deux problèmes préctklents, parce que le problème général de la construction d'une conique harmoniquement circonscrite à cinq coniques données se ramène toujours finalement, comme nous le verrons, à celle de la conique d'un certain faisceau ponctuel (|ui est harmoniquement circonscrite à une des cinq conifjues données. Or, si l'unes d'elles est un cercle, le problème pourra alors se ramener au premier des deux problèmes précédents, plus simple que le problème général, dans le cas où les deux cercles dont il exige la détermination sont réels.

Il n'existe pas, en général, de point par rapport auquel toutes les coniques d'un système ponctuel du troisième ordre aient la même puissance. Cela tient à ce que toutes ces courbes sont harmoniquement circonscrites à deux coniques données, et, par suite, à toutes celles du faisceau tangentiel qui en résulte, lequel est contravariant du système considéré (70). Or il n'y a pas, en général, de cercle dans un pareil système.

. CAS ou LA CONIQUE HARMONIQUEMENT CIRCONSCRITE EST UN CERCLE.

85. On peut toujours circonscrire à une conique une infinité de triangles ayant pour point de rencontre des hauteurs un point donné P ; nous avons vu que le cercle conjugué à l'un quelconque de ces triangles coupe orthogonalemeut le cercle orthoptique de la conique (65); tous ces triangles ayant même point de rencontre des hauteurs, tous les cercles conjugués sont concentriques, et comme ils coupent orlhogonalement un même cercle, il faut (ju'ils coùicident ; d'où il suit (|ue tous les triangles ont iiièmr jouissance. Donc :

I'ukoiîème. — J\)ns Ifs liitiiii^lcs circoii.sci ils à une

(ruM'rri'.K IV.

cofn'(/ii(! f't aj a/it jïDiir point de icmontrc des /uiutcii/s un point donné ont nicnie j)uissance.

Tous CCS triangles forment une involution plane circulaire. — Si le cercle triple est imaginaire, ce qui arrivera lorsque le point P sera à l'intérieur du cercle orthoptique, quelle que soit la nature de la courbe, et si, par son centre, on élève sur le plan de l'involution une perpendiculaire égale à leur puissance géométrique, de l'extrémité de cette perpendiculaire on verra sous un angle trièdre trirectangle tous les triangles de l'involution conjugués au cercle et circonscrits à la conique (3). C'est pourquoi, nous donnerons le nom de puissance o/thopti(/ue de seconde espèce à cette longueur qui est fixe pour chaque point du })lan et qui est la puissance commune de tous les triangles circonscrits à la conique et dont ce point est le point de rencontre des hauteurs.

11 en résulte connue plus haut (73) que :

Si l'on peut clixonscriie à un cane du second degré les faces d'un angle trièdre trirectangle, on peut lui en circonscrire une infinité.

Nous dirons alors que le cône est éijuilatère de seconde espèce.

DE LA PUISSAKCE ORTHOPTIQLE DE SECO]\DE ESPixE d'l\\ POIKT PAU IIAPPORT A UNE CONIQUE.

86. Ce qui précède la délinit suflisamment : elle est égale à la longueur de la tangente! menée du point considéré au cercle orthoptique. Elle est donc réelle poin* tous les points extérieurs à ce cercle, nulle pour les points du cercle et imaginaire pour les points intérieurs. Dans ce dernier cas, sa longueur géométrique est égale à l'ordonnée .de la sphère dont le cercle orthoptique serait un grand cercle (85 \ et de tous les points de ci-ltc sphère on voit

l'ivovnir.TKS rri':M':n at.f.s dks comqtjrs, etc. oi

Ja conique sous un conc (''(|uilalèrc de seconde espèce ^8o\ Aussi donnerons-nous à cette sphère le nom de sphcre orthppliqiie de la conique, et dirons-nous :

L(i splù'tr nitlioptique d'iino conif/ue est le lieu des points de l espace doit l'on voit la courbe sous un cône équilatère de seconde espèce.

Si la courbe est une parabole, le cercle ortlioptique devient une droite, la directrice, et la splière orthoptique se réduit à un plan, qui est le plan perpendiculaire au plan de la courbe et dont la trace est la directrice.

D'où il suit que lorsqu'un triangle est circonscrit à une parabole, la directrice passe par le point de rencontre des hauteurs, puisqu'elle doit couper orthogonalement le cercle conjugué au triangle.

87. iVous avons vu (40) cpie les cercles orthoptiques de toutes les coniques d'un faisceau tangentiel ont deux points communs, d'où l'on voit conséquemment sous un angle droit toutes les courbes du faisceau. Par suite, les sphères orthoptiques auront un cercle commun, perpendiculaire au plan du faisceau, et ce théorème peut s'énoncer ainsi :

Théohîîme. — // existe un cercle, situé dans un plan perjyendiculaire au plan du faisceau, et de tous les points duquel on voit sous uji cône équilatère de seconde espèce toutes les co/iiques d' un faisceau tangentiel.

rSous aurons à en faire usage dans les applications de cette théorie aux surfaces du second degré, et nous lui donnerons le nom de cercle orthoptique du faisceau.

De la définition de la puissance orthoptique (86), il résulte qu'un point quel concpie de l'axe radical commun aux cercles orthoptiques du faisceau a la même puissance par rapport à toutes les coniques du faisceau, réelle pour les points situés eti dehois des deux points communs, imaginaire pour les autres, et égale alors à l'ordonnée correspondante du cercle orthoptique, ce qu'on peut énoncer <'omnie il suit :

TnÉonÈME. — IjC lieu des fioints il'c^alc puissance <>/l/io/>ti(/n(' (la seconde espèce par i appojt à deux coniifues est l' axe radical de leurs cercles orlhoptiques. Tous les points de cette droite ont aussi même puissance par rapport à toutes les courbes du faisceau tatigentiel déterminé par les deux premières.

Si de cliaquc point de cette droite, ou décrit un cercle avec la puissance commune pour rayon, ce cercle sera harmoniquement circonscrit à toutes les courbes du faisceau, puisque celles-ci lui sont liannoniquemcnt inscrites (06), de sorte (jue l'on peut dire aussi ^^70': :

Le lieu des centres des cercles d' un s]stème ponctuel du troisième ordie (qui est le système contravariant du l'aisceau considéré) est une droite.

Tous ces cercles, étant orthogonaux à une série de cercles avant même axe radical, ont eux-mêmes même axe radi- « al, qui est la droite des centres des premiers, ce qui n'est pas étonnant, la condition d'être un cercle étant une condition ponctuelle double (17), et, par suite, les cercles d'un système ponctuel du troisième ordre devant donner lieu à un faisceau ponctuel.

Les cercles orthoptiques ayant même axe radical, toutes les coniques du faisceau, qui leur sont respectivement concentriques, ont leur centre sur la droite des centres des cercles, ce qui démontre le théorème de Newton, savoir :

Le lieu des centres des conicjues tangentes à quatre droites est une droite.

Si le faisceau est donné par les quatre tangentes communes, on aura immédiatement cette droite, qui est la droite qui joint les milieux des diagonales, et l'axe radical des cercles orthoptiques sera celui des cercles ayant pour diamètres respectifs les trois diagonales (40). Cet axe radical, étant le cercle ortliopli(jue qui se réduit à une droite, est é\ idt'iument la dii-ectrice de la parabole du laisceau, et passe consétpieiumcol pai- les points de r<'n<'onlf(' des li.iu-

PnOPIUKTÉS r.ÉNKRALES DES COMQUES, ETC. 83

U'urs des quatre triangles formés par les quatre tangentes considérées tiois à trois (86y, ce qui donne une nouvelle manière de le déterminer et conduit au théorème suivant :

Les cjiiaîie points de rencontre des hauteurs des triangles formés par quatre droites considérées trois à trois sont en ligne droite ('}.

Ces quatre triangles donnent lieu à quatre cercles circonscrits, lesquels ont un point commun, savoir le foyer de la parabole tangente aux quatre droites, puisque le cercle circonscrit à un triangle circonscrit à une parabole passe par le foyer. Il s'ensuit que les quatre points symétriques du point commun à ces quatre cercles par rapport aux quatre tangentes sont en ligne droite sur l'axe radical des cercles ortlioptiques.

Lorsqu'une conique est inscrite dans un triangle, la puissance du centre de la conique par rapport au cercle conjugué au triangle est égale à la soram.e des carrés des demi-axes f65). Une conséquence immédiate ce cette propriété est le théorème de Steiner, savoir :

Le lieu des centres des coniques inscrites dans un triajigle et dont la somme des carrés des axes est constante est un cercle concentrique au cercle conjugué au triaîigle et dont le rajon est \p^ ■+- K*, p étant la puissance du triangle, et K* la soînme des carrés des demiaxes.

Pour K = o :

Le lieu des centres des hj'perboles équilatères inscrites dans un triangle est le cercle conjugué au triangle.

Par conséquent, un faisceau tangentiel étant déterminé par les quatre tangentes communes, les quatre cercles conjugués aux triangles formés par ces quatre di^oitcs considérées trois à trois auront deux points communs sur la

(') Mention, Xom-rUrs Annales clt- Mathématiques, i. V, p. i iî ; i'èffi.

(Iicnlf dis cciilus, Icscjucls siruul les (ciitri-s des clt'ux hyperboles ('(jiiilatèrcs du faisceau. Puisque ces quatre cercles font partie de la série des cercles orthogonaux aux cercles orlhoptiques i65), leurs deux points communs sont les points conjugués communs aux seconds, points situés sur la droite des centres de ces derniers.

S'ils sont réels, les points communs aux cercles orthoptiques seront imaginaires et réciproquenu-nt : et, en cllél, c'est qu'alors les deux hyperboles équilatères sont réelles, et elles ne peuvent être vues sous un angle droit que de leurs centres respectifs. Dans le même cas, le segment d<' la droite des centres compris entre ces deux points correspond aux hyperboles du faisceau dans lesquelles l'angle des asymptotes qui eompiend la courbe est plus ouvert ([u'un angle droit.

88. Considérons maintenant un réseau langentiel ; on peut voir de plusieurs façons que les cercles orthoplicpu-s de toutes les courbes du réseau ont même centre radical. On pourrait d'abord faire un raisonnement analogue à ((•lui que nous avons déjà fait pour une autre série de cercles (8i). Indépendamment de cela, dans le réseau ponctuel contra variant du réseau considéré (70), il existe un cercle et un seul (20), et toutes les courbes du réseau tangentiel lui sont harmoniquement inscrites; conséquemment, il coupe orthogonalement tous leurs cercles orthoptiques (65) qui ont dès lors même centre radical. Enfin, l'on peut dire encore que toutes les paraboles du réseau langentiel ayant trois tangentes communes (54), leurs directrices auront un point conmiun (86), point de rencontre des hauteurs du triangle des trois tangentes, qui aura dès lors même puissance orthopticpie par rapj)ort à toutes les courbes du réseau (87), puisque dans chaque faisceau du réseau, la directrice de la parabole correspondante est le lieu des points d'égale puissance. On peul donc dire que :

iM'.oi'iîiKrr.s (;i''..M'.r, Ai.i:s dks (O.n ku ks, irrr. S.">

TiiÉoiŒ.ME. — // ) a un point, qui a tnënw puissnnca f}(ir rappoit à toutes les conitfues cV un réseau tamjçentiel, ou que :

Théorème. — Le centre du cercle du réseau ponctuel co7itravariant d'un réseau tam^e/itiel est le point de rencontre des hauteurs du triangle des trois tangentes coinrnunes à toutes les paraboles de ce dernier.

Si l'on cousidt'i'(; les splières orthopliqiics au lieu, des cereles ortiioptiques^ il est évident qu'elles auront même axe radical, par conséquent :

TiiÉoiîÈME. — // existe dans l'espace deux points, réels ou imaginaires, doit loti voit sous un cône équilatère de seconde espèce toutes les coniques d'un réseau

tamre/itiel.

Nous aurons à considérer ces deux points dans les ap[>licalions aux surfaces de second degré, et nous les appelleions sonunets ortlioptiques du réseau (*).

Puisqu'il existe un cercle qui est harmoniquement ciri»»nscrit à toutes les courbes du réseau, le centre d'une quelconque de ces courbes a pour puissance par rapport à ce cercle la somme des carrés des demi-axes de la courbe (65), c'est-à-dire que le théorème de Steiner, relatif à touli-s les coniqui'S inscrites dans un trianyle, peut s'appiiipui- a toutes les courbes d'un réseau tangentiel, et l'on [)eut dire :

TnÉouiiviK. — Le lieu des centres des coniques d'un réseau tangentiel et dont la sonnne des carrés des axes est

(') Ce thcorciiie et celui qui est relalil' au cer<-lc ortlioptiqiie d'uu faisceau taii{;enliel (87), ne sont que des cas particuliers de lliéorèines plus ijéiiéraux, relatil's aux surfaces du second dej;ré tangentes à sept et à huit plans, (juc nous avons publics dans les Comptes rendus de la Société pfiiloinatliique de Paris {]0\\rnA\ l'Institut, 'io décembre iSf);")), et ([ue M. I*. Serrcl n'a pas dédaif;né de s'approprier, nial(jré nos justes réclamations (^»t"ométrie de direction, p. i-n et rj5; i8G(j). — Voir également le liiij'port sur les progrès de la Géométrie ( CuASi-Es, p. i'O; i.87('V

8d < HAl'lTHK IV.

cunstantc csL un cercle concentrif/ne au cercle harinorn- (juement circonscrit à toutes ces courbes, et dont le rayon

est \jp^ -f- K^, p et uni le rayon de ce dcrnic r cercle et K* la somme des carrés des denn-axes ( ' ) .

Eu particulier, pour K = o :

Théorème. — Le lieu des centres des In perholes écfuilatères d'un réseau ta/i^e/itiel est le cercle du réseau ponctuel contravariant .

Ce cercle est par conséquent conceuliique avec le cercle conjugué au triangle des trois tangentes communes aux paraboles du réseau, mais il ne coïncidera pas généralement avec lui, conune on pourrait le croire en remarquant que ce triangle, étant circonscrit à une infinité de coniques du réseau, la puissance de son point de rencontre des hauteurs par rapport à ces coniques doit èlre précisément la puissance du triangle (85). Ce raisonnement tombe de luimême si l'on réfléchit que la puissance orthoptique de seconde espèce d'un point pai' rapport à une parabole est infinie si le point est ailleurs que sur la directrice, indéterminée dans le cas contraire. C'est la même chose qui arrive pour la puissance orthoptique de première espèce d'un point par rapport à une hyperbole équilatère selon qu'il est ou qu'il n'est pas sur celte courbe, aussi n'arrivet-il pas généralement que l'un des points communs aux hyperboles équilatères d'un réseau ponctuel ail pour puissance commune par rapport à toutes les coniques du réseau la puissance du triangle des trois autres dont il est le point de rencontre des hauteurs.

89. PnoBLÎiME. — Construire une conique d' un faisceau tangentiel, connaissant la puissance d' un point.

On construira les cercles orthoptiques des deux coniques

(') M. P. Serret a énoncé, dans sa (iéométrie de direction, p. i5ô, 1869, cette généralisation du théorème de Stciner.

pROPniKTKs (;i!:.M':n.vJ.ES dks r.o.Mt^n ks, i-.t» . 8^

([ui Jolermiiu'iil le laisicau, cl l(; corclc oilhopliinic de la roni(|ii(' (•lici'clu'f sera celui qui a menu; a\o radical (|uc les deux prcMiici-s ( iO) cl qui coujx- à angle droit le cercle avaul pour cenlre le poinl donne cl la puissance donnée [)Our rayon. Ce cercle une lois délerniiné, d'un poinl du cercle on mènera des tangentes aux coniques données, les- (pu'Iles détermineront un faisceau en involulion linéaire dont les rayons conjugués rectangulaires seront tangents à la conique cherchée.

90. Problème. — CoJislruirc la conique d' un réseau langenticl, par rapport à lacjuelle deux points donnés ont des puissances données.

On ne peut pas se donner par rapport à une conique les puissances de seconde espèce de quatre points, car trois d'entre elles déterminent le cercle orlhoptique, et les puissances de tous les autres points du plan en résultent. Néanmoins, la puissance d'un point est une condilion tangenlielle, car si l'on se donne trois de ces conditions, et une tangente, cette tangente donne lieu à un rectangle inscrit dans le cercle orlhoptique qui est déterminé par lc;s trois premières conditions, et circonscrit à la com^be cherchée. Toutes les courbes satisfaisant aux conditions données forment donc faisceau tangentiel, ce qui est le caractère de la condilion langcntielle (48). Pour résoudre le problème cherché, il suffira donc de construire deux des trois coniques admettant les mêmes langenles cpu' trois des coniipies du réseau donné, considérées deux à deux, et par ra])[)orl auxcjuelles l'un des points donnés ait la puissance donnée. Elles (h'teiinineront un laisceau dans le(piel la c(jnique cherihée aura par rapport au second poinl la puissance donnée (89).

91. jNous avons vu ( iO) (jue la condilion langcntielle la plus générale donne lieu à beaucoup de cas paiticulieis. On pourrait d"a|)rès cela varier à 1 infini la nature des pro-

(HAI'ITIIK I\

blêmes iclatits à ce sujet, et clita-clier la solution particulière correspondante à chaque cas. Toutes ces solutions rentreront dans la solution i;énéral(' du problcnie qui consiste à construire la conique liarmoniquement inscrite à cinq coniques données.

KXAMKA DES CiAQ CAS UAAS LES<^»tELS, ETC. 8y

EXAMEN DES CINQ CAS DANS LESQUELS DEUX SYSTÈMES PEUVENT ÊTRE CONTRA VARL\NTS.

92. Nous avons vu (70) comme conséquence d'un théorème général, que l'on peut considérer de cinq manières distinctes deux systèmes d'espèces différentes , tels que toutes les coniques du système ponctuel sont harmoniquement circonscrites à celles du système tangentiel, et réciproquement, celles du second s^^stème sont liarmoniquement inscrites à toutes celles du premier : a et n étant les ordres des deux systèmes, on a «•+-«' =45 il suffit pour obtenir chacun des cas de faire varier n ou /i' de o à 4- Jusqu'à présent, nous n'avons étudié que les cas particidiers où les coniques harmoniquement circonscrites ou inscrites sont un système de deux points ou de deux droites, ou bien des cercles ; nous allons maintenant aborder le cas général.

PiiEMiEH CAS. — Une coiii(jiw hannonufiniuienl circonscrite à toutes les courbes d' un système tangentiel du ijuatrihne ordre.

9t{. Dans ce cas, la conique doit être considérée comme formant système ponctuel d'ordre zéro, et nous disons que toutes les coniques du système tangentiel sont en involution (70), parce qu'il suffit qu'une conique soit inscrite dans l'un queIcon(|uc des trianghîs de l'imolution ])lane

go (HAl'lTRF \ .

doiil la loiiùjiic iloiincc,' rst la (•(iiii(jiic liipU; pour (ju Clic lasse pallie du systèiuc. Ce syslènK- présente d'ailleui's des analogies iVappanles avec le svslènie des sei;nients conjugués à un segment lixe, c'est-à-dire l'orniant une involution linéaire ; car c'est l'ensemble des coniques harmoniquement inscrites à une conique fixe. De plus, si cette conique est un (>(>rcle, il coupe orthogonalement les cercles ortlioptiques de toutes les courbes du système tangentiel ^85), de même que dans l'involution linéaire, le cercle avant pour diamètre le segment des points doubles, coupe ortliogonalement les cercles ayant pour diamètres tous les autres segments : dans le même cas, le centre du cercle a même puissance de seconde espèce par rap2)ort aux courbes du système (85), propriété analogue à celle du centre de l'involution linéaire-, enfin, si c'est un cercle imaginaire, il v a deux points d'où l'on voit toutes les courbes du système sous un cône équilatère de seconde espèce (85), propriété analogue à celle des deux sonnnets de l'involution linéaire. Dans l'involution linéaire, on peut construire un segment quelconque lorsqu'on en connaît deux ; ici nous pourrons construire une conique quelconque, lorsque nous en connaîtrons cinq ; c'est ce que nous a appris l'étude du système tangentiel du quatrième ordre (64). Enfin la construction de la conique triple revient à rechercher la conique harmoniquement circonscrite à cinq coniques données, problème dont nous donnerons la solution ultérieurement (H8). La condition géométrique à laquelle satisfont toutes les coniques d'un système tangentiel du quatrième ordre, et dont nous avons prouvé implicitement l'existence (64), est donc d'être harmoniquement inscrites à une (îonique donnée; et connue il n'arrive pas générah'ment que cette conique soit un système de deux droites, nous n'avions pas découvert cette condition à uu moment où nous n'examinions (jue le cas où les (ondilious tangentielles étaient des couples de droites conjuguées, ou.

F.XAME>) DES C.IX^» (AS U\\S LF.S(^H E1..S, ETC. (j I

ce qui revient au même, des coniques harmoniquemcnt circonscrites réduites à deux droites. De même, un système de deux points conjugués à une conique peut être regardé comme conique harmoniquemcnt inscrite réduite à deux points. Ces deux remarques sont fondamentales dans cette théorie. Si, par exemph', on veut construire une conique du système qui nous occupe réduite à deux points, il suiïira de prendre deux points conjugués à la conique triple^ et si les deux points comcident, il suffira de prendre un point de cette courbe ( * ) . Un cercle du système s'obtiendra en prenant arbitrairement le centre et pour rayon la puissance de premièix' espèce du point choisi par rapport à la conique triple ; réciproquement, tous les cercles ainsi construits avec une même conicjue font partie d'un système tangentiel du quatrième ordre.

94. Des remarques également importantes, et sur lesquelles il n'est pas inutile d'insister, sont les suivantes :

1° Une parabole harmoniquemcnt inscrite à une conique admet ses asymptotes pour couple de droites conjuguées.

2^ Lorsqu'une hyperbole équilatère et un cercle sont conjugués réciproques , celle des deux courbes qui est harmoniquemcnt circonscrite passe par le centre de l'autre.

3° Corrélativement, lorsqu'un fover d'une conique est sur le cercle orthoptique d'une autre et que ces deux coniques sont conjuguées réciproques, celle des deux qui est harmoniquemcnt inscrite est tangente à la polaire de ce point par rapport à l'autre.

II en résulte que toutes ]cs paraboles d'un système tangentiel du quatrième ordre, lesquelles forment un svstème

(') C'est ce que M. Smith démontre analyliquement [Proceeelings, p. 91}, après avoir également fait les remarques géométriques d'où nous déduisons cette propriété ( p. 8(), art. 3 ).

iii\i'nî;i- \

langt'iilic'l du linisic'iue ortlic, admciltt-iil jkuu (oiiidr de droites conjuguées les asymptotes de la coiii(|U(' ii i[)lc.

Si, parmi les courbes du système, on considère celles (jui ont pour foyer un point donné, elles forment un réseau tangenliel, puisqu'elles satisfont à trois conditions tangentielles; mais si le foyer est sur le cercle ortlioptique de la conique triple, en vertu de la troisième remarque, ce léseau est particulier, car toutes les courbes ont une tangente commune, sa^oir la polaire du point considéré par rapport à la conique triple.

Si l'on considère toutes les courbes du système qui sont \ ues d'un point donné sous un angle droit, elles forment un système du troisième ordre.

Si ce point est un foyer de la conique triple, en vertu de la même remarque, ce système est particulii'r,car toutes ses courbes ont une tangente commune, qui est la directrice correspondante.

Nous avons vu que si la conique triple est un cercli;, \c système est particulier, et la condition à laqiu'lle satisfont ses courbes est la puissance de seconde csj)èce d'un point 5 tous lt!S cercles ortlioptiqnes ont même centre radical, ce qui n'a lieu généralement que pour un réseau langentiel. En particulier, cette puissance peut être nulle ^ ces cercles ont alors un point commun. En vertu de la seconde remarque, le cercle est dans tous les cas le lieu des centres des hyperboles équilatères du système.

Si c'est une hyperbole équiiatèi-e. lui point quelconque ne p(!Ut plus être pris pour ceiiti'e d'un cercle du svslème, [)uis(pi'<)n ne peut pas inscrire dans l'hyperbole un triangle dont elle ne renferme pas le point de rencontre des lianti'urs, et, en vertu de la même remarcjne, le lien de leurs centres est l'hyperbole équilatère elle-même : le centre; étant choisi, le rayon est alors indéterminé.

Si elle est réduite à deux droites confondues, les combes du système auront luic tangente coinminu".

IXVMKTS mes CIAQ CVS DANS LESQlKl.s, lie. ij.^

DiTXiÈMK CAS. — [J/i j'aisccdu ponctuel {•onticn-inidiil (1 un s)sli^nic tungeniicl du lioisiènH^ ordre.

95. Dans ce cas, les trois couj)k's de droites c-oiijiigiu'cs aux courbes du second système (60) sont précisément les trois cou[)]es f'onnatit coniques du premier (93), de telle sorte que la reelierclie des trois couples de droites conjui^uées à (pialre coniques données n'est autre que la recherche des points communs à deux autres coniques hai-niojîiquement circonscrites aux premières : elle n'est pas possible linéairement (*).

Si c'est le système ponctuel qui est donne-, on eu conclura le second en construisant quatre coniques cjuelconques harnionifpxement inscrites à deux coniques du premier ; par exemple, quatre systèmes de deux points, en coupant par quatre droites quelconques les deux coniques données; si c'est le s(>eond, le premier sera détenuiué par deux coniques quelconques harmoniquement circonscrites à quatre coniques du second : nous résoudrons ces problèmes plus loin .

Une droite quelconque coup(î les courbes du premier faisceau suivant des points en involution linéaire, ce qui prouve qu'il y a sur une droite quelconque deux points réels ou imaginaires formant conique du second. Si la droite passe par l'un des points communs aux courbes du premier, les deux points conjugués communs à ces courbes, situés sur elles, se confondent. 11 y a donc quatre points, réels ou imaginaires, qui forment individuellement conique (lu second systènie; ce sont les quatre points coninuins aux trois couples de droites conjuguées (^).

L'hyperbole équilatère du faisceau ponctuel esl le lieu

^ SsilTH, PrnrrriIinsfV, p. ()t.

y 4 CHAIM'IHK \

des centiTS des rtMxlcs du si'cond , lesquels satisfont ;t quatre conditions, mais ne forment pas système, ear la condition d'être un cercle est une condition ponctuelle double (17;.

Toutes les paraboles du second système Ibrment un réseau dont deux conditions déterminantes sont deux couples de droites con|U£;uées, savoir les asymptotes de deux des coniques du premier, et la troisième une tangente commune à l'infini (94).

96. S'il y a un cercle dans le faisceau ponctuel, une des conditions déterminantes du second système est la puissance d'un point. Ce cercle est alors le lieu des centres des hj^erboles équilatères de ce système (94-). S'il y en a deux, c'est-à-dire si c'est un faisceau ponctuel de cercles, les deux conditions sont les puissances de deux points; les cercles orthoptiques du second système ont par suite même axe radical, et le lieu des centres des coniques de ce système est une droite. A chaque centre correspond une infinité de coniques ayant toutes même cercle ortlioptique; les centres des hyperboles équilatères sont les deux points communs aux cercles du faisceau ponctuel .

Si le faisceau ponctuel est un faisceau d'iiypirbolcs équilatères, un cei'cle du second ne peut avoir son centre qu'en un de leurs points communs (94), et ce centre étant choisi, le rayon du ceixle demeure indéterminé ; cela arrive lorsque les trois couples de droites conjuguées sont rectangulaires.

Le faisceau ponctuel peut se composer de toutes les courbes formées par une droite fixe et une droite variable passant par un point fixe. Les courbes du second sont alors conjuguées à deux cou])les ^de droites dans lesquelles une même droite fait partie des deux couples; il faut alors nécessairement que le point fixe soit pai- rapport à elles le pôle de la di-oile fixe.

Il peut se faire (juc d<'ux des droites formant conifjue du

KXAMi;.> DKS l.WU t \S l»A.\.S I.ESgURI.S, FJT. Q.)

taisix'au poiuUiol coiiuiclrnt, (!l que celui-ci se compose de toutes les coniques tangentes à deux droites données en des points donnés. Les courbes du second système sont alors tangentes à cette droite qui détermine les points de contact (les courbi's du premier. Si celle droite unique, foriiianl couple de droites conjuguées, est parallèle à l'une des bisseclriccs de l'autre couple, auquel cas il y a un cercle dans le faisceau ponctuel, les deux conditions déterminant le second système sont alors une tangente et la puissance il'uu point (95). Si les droites SA, SB (Jig- i6) joiguent le |ti)ini S aux ])oints circulaires tle l'inlini, les courbes du

lig. i(i. FifT. 17. Fig. iS.

faisceau ponctuel ont le point S pour foyer et la droite AB pour directrice correspondante; celles du second système sont tangentes à la droite AB { fig. 17) et yues du ])oint S sous un angle droit.

S'il arrive également que deux autres droites coïncident, les courbes du second système admettent alors deux tangentes communes [fig- 18) et les courbes du premier sont tous les couples de rayons conjugués du faisceau en involution linéaire dont les deux droites restantes sont les rayons doubles. Ces deux droites peuvent joindre un point donné aux points circulaires de l'infini, alors les courbes du second système ont pour foyer un point donné, et celles du premier sont tous les couples de droites rectangulaires issues de ce point.

Si l'une des tangenles comiiumes est à riiidni. i>n a iiis svslème de paial)f)les.

g6 cini'iTi;:. v.

TnoISIÈ^^F. c\s. — l fi rrspaii j>i)itctiinl contrnrdrinnf d un rc-seau tani^riitwl .

97. Ce cas est le plus svinélricjue et donne lieu dans chaque système à des propriétés corrélatives, puisque les deux systèmes sont du même ordre. La Caylcyenne du réseau ponctuel est l'enveloppe; des droites sur lesquelles se trouvent dcmx points conjugués communs h toutes les courbes du réseau (19), et ces deux points forment une coniciue liarmoniqnement inscrite à toutes ces courbes (93\ par conséquent le lieu de ces points conjugués est le lieu des coniques du réseau tangentiel contravariant réduites à deux points, cest-à-dire précisément la Hessienne de ce second réseau ; 5i\ Ainsi l'on peut énoncer ce théorème :

Théorèmk. — Lorsque deux réseaux sont, contravariants, la Cnjleyenne du réseau ponctuel est l'enveloppe des coniques du réseau réduites à deux droites, et la. Hessienne du réseau tangentiel est le lieu des coniques du réseau réduites à deux points. La seconde courbe peut aussi être considérée comme le lieu des couples de points conjugués coniniuns à toutes les coniques du premier réseau, et la. première comme V enveloppe des couples de droites conjuguées conimunes à toutes les coniques du second.

98. Soient P et P' {fig. 19) deux points conjugués de la Hessienne : de même que sur chaque tangente de la Caylc\enne il y a deux points conjugués aux coniques du premier réseau, de chaque point de la Hessienne partent deux (li'oites conjuguées à celles de second. Soient V ah^ V'cd^ et Pm^, PZ>c/les deux couples issus des points P et P': d'après le théorème de liesse (10), si ces deux couples se coupent eu a, />, e, <V, les droites ad, hc seront aussi deux tangentes eoniuguées de la Caylcyenne, et leur point d'intersection Q seia par suite sur la Hessienne. Si l'on applique la règh'