PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES CONIQUES EN INVOLUTION. CAS PARTICULIERS

65. Théobème. — Le carré de la puissance du centre d' une conique par rapport au cercle conjugué à un triangle circonscrit est égal à la somme des carrés de ses demi-axes.

Nous aurons à nous servir de cette proposition, qui n'est autre que le théorème de Steiner un peu modifié, sur le lieu des centres des coniques inscrites à un triangle et dont la somme des carrés des axes est constante : c'est pourquoi nous avons cru bon d'en donner la démonstration suivante :

Soit ABC ( fig. 9 ) un triangle circonscrit à une conique;

Fig. 9-

coupons-le par une (pialrièiiic; tangente ([uelconqiie uhc:, \y.w rapport au cercle coningue an triangle MîC, A est II' p»'»le (je lîC, donc les points A et a sont deux pointe-

CHAI'ITIU-: IV

conjugués, de même 15 cl /», C cl c ; [)ar suilc, les cercles ayant pour diamètres les segmenls Art, Bè, Cr, coupent orlliogonalemcnt le cercle conjugué au triangle ABC (20). Mais ces trois segments sont les diagonales du (juadrilalère des quatre tangentes considérées, les cercles dont ils sont les diamètres ont donc même axe radical f^O), et les deu^^oints communs à ces cercles sont aussi communs au cercle ortlioptique de la conique considérée, qui est inscrite dans ce quadrilatère (-40). Il s'ensuit que tous les cercles qui coupent orthogonalement les trois premiers, jouissent de la même; propriété par rapport à ce dernier; donc le cercle conjugué au triangle ABC coupe orthogonalement le cercle ortlioptique de la conique considérée, ce qui n'est qu'une autre manière d'énoncer la proposition.

Réciproquement : Si un cercle C coupe orthogonalement le cercle ortlioptique d'une conique, on peut circonscrire à la conique une injinité de triangles conj ugués au cercle.

Car si l'on imagine un quelconque des triangles circonscrits à la conique qui ont pour point de rencontre des hauteurs le centre du cercle C, le cercle conjugué à ce triangle <;oupera orthogonalement le cercle orthoplique de la conique, mais, puisqu'il est conjugué au triangle, il est conc(;ntrique avec le cercle C (3) •, d'ailleurs, ces deux cercles ont un cercle orthogonal commun, donc ils coïncident.

CONIQUE HAUMOMQUEMEKT inscrite ou CIRCONSCniTE A UNE AUTRE CONIQUE.

06. On sait que lorsque six points sont les sommets de deux triangles conjugués à une même conique C, ils sont eux-mêmes situés sur une conique C ('). Il existe alors une certaine dépendance entre les coniques C et C d'après

C) CliASLES, Traité des Sections coniques, p. i^o.

inoi'RiKTrs (;i;J<kKAi.f.s dKs roMyiiKS, ktc. .x)

liUjiu'lli' on pcul inscrire dans la conique C une inlinilé tic triangles conjugués à la conique C : on peut encore l'exprimer en disant que la polaire d'un point A' de la conique C par rapport à la conique C coupe ces deux courbes en quatre points IV, C, B, C qui sont en proportion harmonique, de telle sorte que le triangle A'B'C' inscrit dans la <oni([ue C est conjugué par rapport à la conique C. L'on dit alors que la conique C est liarmoniquement circonscrite à la conique C ( ' ) : corrélativement, une conique est liarmoniquement inscrite à une autre conique, lorsqu'elle est inscrite dans une infinité de triangles conjugués à la seconde, ou encore lorsque les tangentes issues aux deux courbes du pôle, par rapport à la seconde, d'une tangente (juelconque de la première sont en rapport harmonique. Cela posé, nous allons démontrer le théorème suivant :

Théorème. — Lorsqu une conique C est harnioniqueuient circonscrite à une conique C, la conique C est liarmoniquement inscrite à d (^).

Considérons en eiïet deux cercles O et O' de rayons R et R', et supposons que le cercle O' soit liarmoniquement circonscrit au cercle O. Il résulte du théorème de M. Faure (5) que la puissance du centre du cercle O par rapport au cercle O'est égale à R y'a. D'autre part, nous avons vu que lorsqu'un cercle coupe orthogonalement le cercle orthoptique d une conique, la conique est liarmoniquement inscrite à ce cercle (63). Si l'on applique cette proposition au cercle O' qui coupe orthogonalement le cercle orthoplique du cercle O, il en résulte que le cercle O est liarmoniquement inscrit au cercle O'. La proposition étant démontrée pour deux cercles, s'étend au moyen de la perspective à deux coni([ues quelconques. jNous dirons alors que les deux coni(pies sont co/iju^uees rik-ij/roques.

' ' ) Smitii, Procccdiiii^s of thc Luiulon inutliciiuitual Society, ii" l.'|, p. 85. y'') Sai.mon, Sections coniques^ \i. 3'i6, et Chemona, Inlroduzionc, clc.^

6t) (HAPITKK IV.

CoROLLAïUE. — .SV un cciile Cl une h) i>erhole équilatère sont conjugues léciproques, celle des deux courbes qui est harmoniq uement cii'conscrile à l'autre passe par le centre de la seconde.

Car la droite de riiifiiii ((iiipe ces deux courbes suivant <[ualre points en proportion harmonique.

67. Théorème. — Lorsque deux coniques (^ et C" sont luirnioniqueinent circonscrites à une même conique C, il en est de même de toutes les cojiiques d u faisceau ponctuel [CC].

Car si l'on prend la polaire d'un des points communs aux coniques C et C" par rapport à la conique C, elle coupera ces deux coniques suivant deux segments d'une involution linéaire dont les points doubles sont ses points d'intersection avec la conique C, puisque chacun de ces segments doit former avec ces deux points un rapport harmonique (66). Mais il en sera de même pour toutes les coniques du faisceau ponctuel [C.C], car toutes les cordes déterminées dans ces courbes par cette droite sont des segments de cette involution 5 on peut donc choisir sur l'une (piclconque de ces courbes un point, qui est un de leurs [)()ints communs, dont la polaire par rapport à la conique C coupe; elle et la conique G suivant quatre points en rapport iiarmonique ; donc Tune quelconcjue de ces courbes est harraoniquement circonscrite à la conique C.

68. De là résulte immédiatement le théorème général suivant :

TnÉORiiME. — Lorsque les n coniques nécessaires à la détermination d'un système ponctuel d'ordre n — i sont harmoniquement circonscrites à une même conique C, toutes les coniques du sjstème jouissent de la même propriété.

On démontrerait d'un façon analogue le théorème corrélatif, savoir :

Théorîîme. — Lnrs<iuc les 11 co/iiqucs iu'ccss(iir('s à la

l'ROPRIl^TÉS r,l':iN1%RALKS UES COMQUKS, ETC. 6t

detei'minatioTi d'un système tangentiel d'ordre ii — i sont harnioniq uement inscrites à une même conique, toutes les coniques du système jouissent de la même propriété.

69. De CCS théorèmes résultent de curieuses propriétés d'involution. Le second des quatre tliéorèmes précédents peut en eiîet être considéré comme une généralisation du théorème de Desargues, qu'il sufiit d'énoncer ainsi pour s'en apercevoir : lorsque deux coniques sont conjuguées à deux points, toutes les coniques du faisceau ponctuel quelles déterminent sont également conjuguées à ces deux points, tout en remarquant qu'une conique conjuguée à deux points peut être regardée comme harmoniquement circonscrite à la conique réduite à ces deux points, laquelle d'après le premier théorème (66) est de son côté harmoniquement inscrite à toutes les coniques du faisceau.

La réciproque se démontrerait absolument comme celle du théorème de Desargues (9), et peut s'énoncer ainsi :

Théouèime. — Toutes les coniques harmoniquement circonscrites à quatre coniques données forment un faisceau ponctuel.

D'où il résulte :

I** Que parmi les coniques harmoniquement inscrites à deux coniques données il n'y en a que quatre de dictinctes, de même que parmi les couples de points conjugués communs (9).

2° Que la condition d'être harmoniquement circonscrite à une conique donnée est une condition ponctuelle, et c'est la plus générale que nous ayons rencontrée, car les cas que nous avons traités sont ceux où la conique donnée se réduit à un point ou à deux points.

Corrélativement, la condition d'èlrt; harmoniquement inscrite à une conique donnée est une condition tangentielle, ])ar suite toutes les coniques harmo)iiquement inscrites à deux coniques données et dont nous venons de voir (pic ([ualrc sculenieul sont distinctes, lormcul un sys-

62 f.irAI'ITIIF. IV.

tèmt! langcntifl du troisiôiuo oiilre, résultais ronipaliblcs puisqu'il faut quatre courbes pour déterniiuer ce système. J) une façon générale, en supposant qu'une eouifjue représenle un svstèiiu' d'ordre zéro, on ])eut énoncei- le théorème suivant :

Théouème. — Si deux systèmes de co7ii(/ues sont tels que chacune des courbes du premier soit luirmoniquement circonscrite à toutes celles du second, chacune de ces dernières est harmoniquement inscrite à toutes celles du preuner. Le premier système est ponctuel, le second est tangentiel et la somme de leurs ordres est égale à quatre (').

70. Suivant l'expression de M. Smith, ces coniques forment dt'ux systèmes contravariants. jNous dirons de plus que les coniques d'un même système, étant conjuguées réciproques (66) d'un certain nombre de coniques fixes, sont en involutioji. De sorte que nous avons à étudier les dépendances qui existent entre deux systèmes contravariants, dans les cinq cas fournis par le théorème précédent, et signalés par M. Smith :

i*' Une conique, formant systèjne ponctuel d'ordre zéro, harmoniquement circonscrite à toutes les courbes d'un système tangentiel du quatrième ordre.

2° Un faisceau ponctuel, contravariant d'un système tangentiel du troisième ordre.

3° Deux réseaux contravariants, l'un ponctuel, l'autre tangentiel.

4° Un système ponctuel du troisième ordre contravariant d'un faisceau tangentiel.

(' ) Au moment de faire paraître ce travail, nous avons appris, par l'obligeance de M. Cremona, que cet important théorème, ainsi que les précédents (67), (68), étaient déjà énoncés par M. Smith. On some i^cometric/il constructions {Proceedings, n" i/|). C'est en eflot h lui qu'ils apparliennont, ■et c'est après avoir lu cet intéressant article que nous avons adopté les déïiomin.ntions do cet auteur.

PKOPRIÉTÉS r-ÉNÉRALES DES CONIQUES, ETC. 6Î3

5° Un système ponctuel du fjuatrième ordre dont toutes les courbes sont liarnioniquement circonscrites à une même conique, laquelle forme système tangentiel d'ordre zéro, et de son côté est liarmoniquement inscrite à cinq coniques données.

Ces cinq cas constituent l'ensemble de la théorie des coniqiu^s en involution, à laquelle conduit celle de l'involution plane, et qui est la généralisation des propriétés des segments en involution linéaire.

On voit que l'étude des différents systèmes avait sa place marquée devant elle, et qu'elle en constitue un cas particulier.

71 . Avant de passer en revue les différents cas que nous venons d'exposer, nous étudierons plus spécialement celui où l'involution est circulaire, c'est-à-dire où les courbes liarmoniquement inscrites ou circonscrites sont des cercles. Ainsi arriverons-nous plus facilement à trouver les relations qui existent entre les éléments au moyen desquels on peut déterminer deux faisceaux contravariants.