EXAMEN DES CINQ CAS DANS LESQUELS, ETC. Q

donnée (50) pour déterminer le point Q' eonjugué de Q, l'on voit qu'il faut joindre QP', Iraeer sa conjuguée liarmoniqiu' par rapport au couple P', de même pour le coupl(> P, ee qui donne le troisième point d'intersection de la

ViV.- '9-

droite PP' et de la Hessicnne. De plus, si l'on ]oinl le point P à deux points conjugués quelconques R et R', les droites PR, PR' sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites P«c, P^^ {^^)- S' ^^' point R' s'approche indétiniment sur la courbe du point P' conjugué de P, le point R s'approche indéfiniment du point P, et la droite PR, tangente alors en P à la llessienne, est la conjuguée harmonique de PP' par rapport au couple P^c, Vhd-^ c'est-à-dire la droite PQ. De même la tangente en P' est la droite P'Q. Ce tjui permet d'énoncer les théorèmes suivants :

Théouème. — Les tangentes à la Hessienne en deux points conjugués se coupent en un point de la courbe, qui est le conjugué du troisième point d' intersection (wec la courbe de la droite qui joint les deux points considérés (' ).

(') Hesse, Uber Ciirvcn drittcn Orc/nuiiq [Crellc's Journal, t. XXXVI) cl Cremona, Introdiizione, etc., p. io8. C'est au moyen de ce tliéorèmo tjiie Hesse démontre que toute courbe du troisième degré peut être considérée de trois façons dillercntes comme la Hessienne d'un réseau, car d'un jioinl de la courbe on peut lui mener <|uatr(' taii(;entes, dont les i>oints de contact peuvent être ciinibin<''s deux ii di'u\ de trois manières difterentes pour

CfS CIlAl'iriiF V.

Corrélalivciiii'iit ;

Théorème. — Les ftoints de co/iUul de deux ta/i^e/ilc.s conjuguées de la Cny leye/i/ie sont situés sur une troisième tangente, qui est la conjuguée de la troisième tangente que l' on peut mener à la courbe j)ar le point de rencontre des deux tangentes considérées.

TfiÉonÈME. — La tangente en un point de la Ilessienne est la droite conjuguée Itarnionique par rapj)ort aux deux droites conjuguées qui se coupent en ce point de celle qui joint le point considéré à son conjugué.

Corrt'Ialivemcnt :

1 iiÉORÈME. — I^e point de contact d une tangente de la- Caylejenne est conjugué liarnwnique par rapport aux deu.r points conjugués situés sur elle, de celui oit elle re/ico/itre sa conjuguée ( ' ) .

Si nous considérons une lan2;cuU' ([uclconque PP' de la Cayleyennc, il résulte d'un théorcino précédent (97) que deux de ses points d'intersection avec la llessienne sont les points P et P' situés sur elle, conjugués communs à toutes les courbes du réseau ponctuel. Le troisième point d'intersection est évidemment le point où elle rencontre la seconde tangente de la Cavleyenne, qui forme avec elle conique du réseau ponctuel et qui est sa conjuguée, puisque la liessicnne est le lieu des centres des systèmes de deux droites formant coniques du premier réseau (51), ce qui [)i-ouve que la droite conjuguée de PP' la coupe au point Q' conjugué de Q. Donc :

Théorème. — Les trois points d'intersection d' une tan-

former un coujilo de points conju[;iu's, liMiuel pont aloi's servir à (loteiininrr Ions les autres si la courbe est décrite. Si elle ne l'est pas, nous avons donné le moyen de la décrire, étant connus trois couples ( 19). Enfin l'on voit par là que si la courbe est déterminée par neuf points, la ncliorclie de leurs conjiifjués sera un iiroblènio du troisième dcj^ré et ne scia ]ias île nature il eu siniiilifior la ( onstnietioii.

(') C\\LF.\, A iVi-inoir ii/i («/l'tA iif tlif tliird oritei , p. !\>.'i.

EXAMEN DES CINQ CAS DANS LESQUELS, ETC. i)g

gentc à la Cnyleyenne nwec la Hessienne sont les points conj usines conununs au premier réseau situés sur elle, et le point où. elle rencontie sa ronjui^uée.

(Corrélativement :

Théorème. — Les trois tangentes à la C'ajlej enne issues d'un point de la Hessienne sont les droites conjuguées communes au second réseau qui se coupent en ce point, et la droite qui joint ce point à son conjugué (*).

Ces deux théorèmes complètent les deux précédents et font voir que sur chaque tangente à la Cayleyenne il y a quatre points en proportion harmonique, les deux points <onjugués, le troisième point d'intersection avec la Hessienne et le point de contact. De même pour les quatre droites corrélatives issues de chaque point de la Hessienne.

Il est facile de construire autrement le point de contact d'une tangente de la Cayleyenne, et d'une façon plus commode si les deux points conjugués situés sur elle sont imaginaires. Considérons en elï'et la droite PP' qui joint le point P à son conjugué P' ; cette tangente rencontre sa conjuguée en un certain point Q', et ces deux droites formant conique du réseau ponctuel doivent couper la tangente Vbd en deux points conjugués harmoniques par rapport aux deux points conjugués situés sur elle (19) 5 l'un de ces points étant le point P, l'autre sera le conjugué harmonique de P par rapport à ces deux points, c'est-à-dire le point de contact. Donc :

Théorème. — On peut obtenir le point de co/itact d'une tangente Vbd. de la Cayleyenne en cherchant le point P où elle rencontre sa conjuguée, et joignant ce point à son conjugué P' par une droite PP' dont la conjuguée rencontre la tangente considérée au point de contact.

C^ Cr.EMONA, tntrndiizionc. etc., p. loi).

t M MMIIU:

Cori'i'lativi'mcul :

Tiif.onkMr.. — (hi fx'iil ohuiiu- la IdHi^cnic en uti jH)ini V (le la Jlessicmir en joignant ce jtoiiil à son coriinmié V par une droite i/iii rencontre sa conjuguée en un certain point iV dont le conjugué est sur la tangente cherchée.

Ce procédé sert lorsque les deux droilcs <()ii|iii:n(''('s issues du jiolnl P soûl iiuai;iuaires.

99. Si lou eoustruit les poiuts P' cl i^' eou|iii;iu''S de (K'ux poiuts (louu(''S P el O de la Hessieune. ou oUlieiulra lui quadrilatère dout les deux autres sonuuets 11 et 11' apparlieudrout égaleiueul à la llcssieuue d'après le théorème de liesse, uiaisl'uu d'eiix est sur la droite VQ qui |()int les lieux poiuls douui'S. L ou peiU doue dire que :

Théorïîmf,. — Si trois points de la Hessienne sont en ligne droite, leurs points conjugués forment un triangle dont les trois côtés passent respectis'enwnt par ces trois j)oints ('V

CorrélaU\ emeul :

Théorème. — Si trois tangentes de la Co) leyenne passent par un même point, leurs conjuguées forment un triangle dont les sommets sont situés respect i\'ement surces //'o/.v droites.

Eiiliu il est évideul (uu* si lou considère uu laiseeau ijueleouque laisaut jiartie du réseau ponctuel, les six eortles couuuuui\s aux coni(pu>s du ("aisceau seroul taui^eutes à la Caylevcuue, et les sonuuets dn triaui;le conjuyué commun seront sur la Hessienne. ])e même, si l'on considère un faisceau du réseau langentiel, les six ond)ilics communs aux coniques du faisceau seront sur la Hessienne cl les cotés du triaui;le conjugué comnnin seront tangents à la Cavleyeuue.

Les détails qui piécèdc^U suiiiseul pour iaire l'épure el

(') IIkssr, Ul>er Curver (triltcii Ord/iiinif, ci Cr.EMoNA, Intioiliizionc. etc., p. 109.

F.\AMK^ ItKS CINQ CAS U,V>S l.KSQT i;i.S, KTC. lOI

construire les doux courbes lorscju'on eu eouuail ies eli'iuents, qui sont au nombre de ueul", points de l'une, ou (angentes de l'autre, ou éléments mêlés, car l'uiu" tles courbes entraine l'autre. Par exemple, trois couples de points conjugués, déterminant le réseau ponctuel, Iburnissenl si\ points de la Hessienne c't trois tangentes de la Cayleyenne. Trois couples de droites conjuguées, déterminant le réseau tauirentiel, fournissent immédiatement six tangentes de la Cayleyenne et trois points de la Hessienne (M. Ces trois couples de droites forment trois coniques du réseau ponctuel, qui se trouve par là même déterminé. Mais on peut varier les données d'une infinité de manières, et nous verrons tout à l'heure quelles sont celles que nous avons trouvé le plus commode de choisir pour l'exi'cution de l'épure (P/. //).

Si, par exemple, l'on se donne le quadrilatère des quatre tangentes communes aux courbes d'un faisceau du réseau tangentiel, les extrémités d'une même diagonale seront sur ia Hessienne^ on en connaît donc six points, mais tpii non forment que quatre distincts (10); de même, on connaît trois tangentes de la Cavlevenne, dont l'une résulte des deux autres, et qui sont les diagonales du quadrilatère ; on se donne donc en tout six conditions. De même pour \c cpiadrilatère des quatre points communs aux courbes d'un laisceau du réseau ponctuel.

(' ) On [loiit se demander comment il se l'ait qu'il ne l'aille que neuf conditions pour déterminer l'un des systèmes et l'autre qui en résulte, puisqu'iî {'aut trois coniques pour déterminer l'un d'eux. Mais il l'aut remarquer <i«e chacune de ces courbes est soumise à une indétermination du second ordre, ce qui réduit à trois le nombre des conditions qui la déterminent isolément. Kn général, un système d'ordre n est déterminé par n-\- i coniques vlont rindéterminalion est d'ordre ii ; il faudra donc, pour la conuiiissancc coini)léle du système 3 ( « ~t- i) — « (« -t- 0 ou (5 — ii) (« -+- i) conditions. Omme vérilication, pour ii ■— o ou n -.^ !\ on doit trouver 5; pour n ~^ i ou n r— j on doit tiouvei' le même nombre; enlin, pour 7*1^2 on doit liouver () ; c'est en elVet ce qui a lieu.

CHAPITIlE V

100. Si l'on coupe la Hessienne par une druile quelconque, on obtient le théorème suivant :

Théorème. — Il existe sur une droite quelconque trois points tels que chacun d'eux est un des points doubles de l' im'ulution linéaire déterminée par une certaine droite passant par ce point dans toutes les coniques d'un réseau ponctuel.

Ou encore :

Tels que de chacun d'eux on peut mener à toutes les coniques d'un réseau tangentiel des tangentes formant un faisceau en im^olution linéaire.

Corrélativement :

Théorème. — Par un point quelconque du plan passent trois droites, telles que chacune d'elles est un des rayons doubles du faisceau en involution linéaire obtenu en menant par un certain point de cette droite des tangentes à toutes les coniques d'un réseau tangentiel.

Ou encore :

2'elles que chacune d' elles coupe, suiva/it une involution linéaire, toutes les coniques d' un réseau ponctuel.

Si, flans le premier énoncé, l'on suppose la droite à l'inlini, il devient :

Théorème. — Il j a trois droites qui déterminent dans toutes les coniques d'un réseau ponctuel des cordes ayant même point milieu. Ce sojit les directions asymptotiques de la Hessienne, et les couples de tangentes parallèles à l' une de ces directions, menées aux courbes du réseau tangentiel, forment un faisceau en i/wolutio/i linéaire.

Les trois points d'intersection d'une droite quelconc|ue avec la Hessienne sont les points où elle rencontre les trois autres tangentes communes à toutes les courbes du réseau tangentiel, cpii sont tangentes à la droite considérée. Par suite :

Théorème. — Les directions asjmptoliques de la Ilessienne sont données par les trois tangentes communes aux paraboles du réseau tangentiel.

EXAMEN OES CIAQ CVS HAAS l.KSQrK.I.S, ICJC. | o3

Les asyniptok's l'Ilos-mcnics se clotcrniiiicroul pur \r pn»- <étl(' £;éneral ipii duiuio la taiigenlo <ni un point (piclcon- (pic (98).

101. Li*s donnôos cpii prccisenl le plus nellcnu-nl l;t lorinr d une courbe sont en général ses directions asyniplotiques, et comme ici leur détermination linéaire n'est pas pt)ssible lorsque l'on se donne, par exemple, trois couples di' points ou trois couples de droites conjugués, nous nous sommes donne, pour exécuter l'épure (P/. //) (*), le triaui;le des trois tangentes communes aux paraboles du réseau tangentiel, triangle qui forme avec la droite de l'inlini le <juadriiatère des tangentes communes aux courbes d'un l'aisceau du réseau et équivaut conséquemment à six conditions (99). Les six points de la Hessienne sont les trois sommets du triangle et les trois points situés à l'infini sur chaque côté, et les trois tangentes de la Cayleyenne sont les trois parallèles menées respectivement par chaque sommet au côté opposé. Pour compléter les neuf conditions nécessaires, nous nous sommes donné en outre un couple de points conjugués, ce qui fait deux points et une tangente. Le reste de l'épure s'en déduit facilement : le cercle du réseau ponctuel, par exemple, est le cercle qui a pour centre le point de rencontre des hauteurs du triangle des tangentes communes aux paraboles du réseau tangentiel (88), et qui coupe orthogonalement le cercle ayant pour diamètre le segment formé par le couple donné (20). De même, pour tous les éléments (pie 1 on peut construire par la règle et le compas.

(' ) Léijeiide de la planche II :

AR, BC, CA, Tangentes comimiiii.'s aux |)aral)oloï. du roheaii. A^, H^., C^, Points de contait des deux courbes. A,, K-, C,, Points d'inilexion de la Hessienne. A,. H, , C, , Points de rehioussenienl de la Cayleyenne /^ Anyle do deux dioites conjuguées.

Segment lin nie par deux poinls t:(>nju!;ués

lo4 ciHAPirr.F. V.

402. 11 nous reste à parler de eertaiiis points ou tangentes singuliers de nos deux courbes. jNous avons vu (98) eonimcnt r)n trouve le point de contact d'une tangente à la Cayleyenne. Il s'ensuit que les deux courbes sont nécessairement tangentes, car la tangente à la Cayleyenne en un de leurs points communs AI coupe la Hessienne en deux autres points A et B. Si ce sont les deux points conjugués situés sur cette tangente, le point de contact M étant conjugué harmonique du troisième point d'intersection INI par rapport au couple AB, il faut que le point M coïncide avec l'un des points A et B, c'est-à-dire que la droite considérée soit tangente à la Hessienne au point M. Si les deux points conjugués communs situés sur la tangente considérée sont M et A, il faut que le point de contact M soit conjugué harmonique de B par rapport au couple MA, c'est-à-dire que M coïncide avec B, ce qui conduit au même résultat et fait voir qu'un point de contact des deux courb(;s est tel que la droite qui le joint à son conjugvié, laquelle est la tangente commune, rencontre sa conjuguée précisément en ce point. Corrélativement, il ne jjcut pas y avoir de tangente commune aux deux courbes pour laquelle les points de contact soient difïérents, et une tangente commune est telle que son point d'intersection avec sa conjuguée étant joint à son conjugué donne précisément la droite considérée;.

La Cayleyenne étant du sixième degré, les deux courbes doivent avoir dix-huit points d'intersection, et conséquemmcnt neuf points de contact, mais nous allons voir qu'il y en a toujours six qui sont imaginaires.

De même, en eifet, que la Hessienne a neuf points d'inflexion dont six sont toujours imaginaires et les trois autres en ligne droite, la Cayleyeinu; a neuf points de rebroussejucnl dont six sont toujours imaginaires, elles trois autres tangentes de rebi'oussemenl ont un point connnun. Considérons alors un point de rebroussement réel M {Ji^- 20) et

FMAME^ DES CINQ CAS DAINS LESQt/ELS, ETC. lO.)

la laiigonto on ce point; celle droite rencontre la Hcssienne en trois points dont deux A et lî sont conjugués et l'autre C est celui où elle leuconlre sa conjuguée (98V

Fig. K).

Mais le caractère du point de rebroussenient est cpie, si la tangente en ce point roule inliuiment peu sur la courbe, le point de coJitact reste toujours le même, et elle demeure tangente de rebroussenient. Mais alors le point C vient en C, et la conjuguée de la tangente de rebroussenient est la droite CC, c'est-à-dire la tangente en C h la Hessienne ; mais cette droite étant conjuguée de la tangente de rebroussement est aussi tangente à la Cayleyenne, c'est donc une tangente commune, et le point de contact commun est en C. Ainsi, ta un point de rebroussenient correspond un point de contact, et la droite qui les joint est la tangente de rebroussenient correspondante, il y a donc toujours six points de contact imaginaires. Corrélativement, chaque tangente commune passe par un point d'inllexion de la Hessienne, qui est le conjugué du point de contact, et sa conjuguée, ([u'elle rencontre au point de contact, est la tangente de rebroussenient correspondante. De telle sorte qu'un point (le contact des deux courbes est toujours le point de contact avec la Hessienne d une langcnle menée à telle courbe [)ar

to6 CHAIMTUK V.

le point d'inflexion coiiespondant, ou encore un des points d'interseelion avee la Cayleyenne de la tangente de rebroussement correspoiidante. On peut résuniei «es propriétés par le théorème suivant :

Théoup:.me. — La JJessienne et la Cayleyenne de deux réseaux conlravarianls ont tieuf points de contact dont six sont toujouis iinai^inaires. Les points d'inflexion, de contact et de rehroussenient se correspondent . (ne tani^entc de rebroussement passe par le point de contact correspondant, là elle rencontre sa conjuguée (fui est la tangente commune, lacpielle passe par le point d' inflexion correspondant, (jui est le conjugué du point de contact ( ' ) .

Fie- il.

103. Soient A,, lî,, C, [Jig- -^i) l^^s points tl'inllexion (pii sont en ligne droite, A^., B^., C^. les points de contact, et Ar, B,.') ^r h'S points de rebroussement. L'on voit ainsi fjue la droite A,.Ac est tangente de rebroussement, et la

(') M. Crcmona démontre également <iuo la Hessienno et la Cayleyenne sont tangentes entre elles aux neuf jioints conjugués des points d'indexiun de la Ilessienne {Introduzione, etc., p. i iG). 11 traite très-eleganimont toute cette théorie en considérant la Hessienne comme le lieu des centres des couples de droites formant conique polaire d'une courbe du troisième degré qu'il apj)eile la courbe fondamentale et la Cayleyenne comme l'enveloppe des droites qui joignent deux points conjugués de la Hessienne; le reseau ponctuel intervient alors comme l'ensemble des coniques iiolaircs de la couibe fondamentale : ainsi, il ne fait pas intervenir de réseau tangentiel. Toutefois, nous croyons, avec M. Smith {Proccediiigs, n" 14, \u y.'i), ((ue les relations qui existent entre deux réseaux contravarianls offrent le nuiyin le plus naturel d'expliquer les propriétés remarquables dont jouis- .^ent ces deux courbes, l'une par lapport à l'autre.

EXAMEJN DES CIKIQ CAS DAKS LESQUELS, ETC. IO7

droite A^A, tangente commune. Les trois points d'inflexion sont les trois points où la droite qui les joint rencontre li\s trois droites qui sont tangentes à toutes les coniques du réseau tangentiel admettant aussi la première pour tangente commune (51 \ Cherchons ces trois droites : elles Ibrment avec la droite d'inflexion un quadrilatère complet, dans lequel le sommet opposé à l'un des points d'inflexion est le conjugué de ce point (99 j ; donc les trois autres sommets du quadrilatère complet sont A^., B^, Ce (102), ce qui t'ait voir que non-seulement la tangente commune au point de contact A,, passe par le jx)int d'inflexion A,-, mais encore la droite BcC^ qui joint les deux autres points de contact réels. 11 V a donc trois couples particuliers de droites issus de chaque point d'inflexion : i° les deux droites conjuguées issues de ce point comme de tout point de la Ilessienne; 2*^ la droite d'inflexion A,B,C, et la droite qui joint les points de contact qui ne correspondent pas au point d'inflexion considéré. Ces deux droites sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux premières, puisqu'elles ne sont pas tangentes à une seule conique du réseau tangentiel, mais à toutes celles d'un faisceau ; 3° la tangente commune au point de contact correspondant et la tangente d'inflexion à la Hessienne qui sont aussi conjuguées harmoniques par rapport au premier couple, puisque la tangente commune joint le point d'inflexion à son conjugué (98). Enfin la droite d'inflexion et les côtés du triangle des trois points de contact forment les quatre tangentes communes d'un faisceau du réseau tangentiel.

Corrélativement, il y a sur chaque tangente de rehroussement trois couples particuliers de points, qui sont : i° les deux points conjugués situés sur cette tangente comme sur toutes les tangentes de la Cayleyenne; 2° le point de rencontre des tangentes de rebroussement et le point d iiiU'rsectiondes deux tangentes communes qui ne corresponthiil pas à la tangente de rehroussement -, ces deux points sont

io8 (iivrirnK V,

conjugues hai'in()ni(|ui's par rapport aux ilcux [H'cniicis ; 3" le point de contact correspondant et le point de lebroussement qui sont aussi conjugués liaiinonicjues par rapport au premier couple (98\ Enfin le point de rencontre des tangc'ntes de rebroussement et les trois points de contact sont les sonnnets d'un faisceau du réseau ponctuel. L'examen de l'épure achèvera de rendre claires et précises ces remarcjuables propriétés .

10-4. Le cercle du réseau ponctuel est le cercle orthogonal commun aux cercles orlhoptiques de toutes les courbes du réseau tangentiel (88) ^ ce qui est évident d'ailleurs puisqu'il coupe orthogonalement les cercles ayant pour diamètres les segments dont les extrémités sont les <'ouples de points conjugués communs aux cour!)es du prctnier réseau, c est-à-clire les cercles orthopticjucs des conitpies du second réduites à deux points. Celte piopriété \ a nous fournir une coiistrucliou simple de la conicjuo con- |uguée à cinq couples de droites, laquelh* pourra remplacer au besoin la construction déjà simple donnée plus haut (47), parce qu'elle n'exige la construction d'aucune conique auxiliaire,

105. Problème. — Construire la conique conjuguée à cinq couples de droites.

Soient PiQi, PaQavi PbQs-' ^^^ c\ni\ couples donnés, et Si, Ssv'î Ss7 leurs sommets (41). Considérons les trois premiers, par exemple : ils donnent lii'u à nn ivseau tangentiel et sur chacune des six droites Pj, Qj, P.2,Qî, P3,Q3, il Y ^ deux points formant coniques du réseau (97): soient a et b les deux points situés sur V^ : nous savons aussi que Sjrt et Ss^ sont conjuguées harmoniques par rapport au couple P..Q5, et S;, cz, S3 /> par rapport au couj)le Pjija. Donc les points n et h sont les points doubles de rin\ohition linéaire déterminée; par ces deux couples sur la (h'oite l\ et peuvent se construire facilement : de même pour chacune des cinq autres droites. Les cercles ayant jiour (lia-