EXAMFN DES CINQ CAS DANS LESQUELS, ETC

aïolrt's les six segments tels cpie ah auront mènic centre radical, centre du cercle du réseau ponctuel contravariant <lu réseau tanpentiel défini par les trois couples considérés, ce qui dop.ne lieu à ce théorème de géométrie élémentaire.

TnÉoniiME. — Etant donnes trois couples de droites, chacune des six droites donne lieu à une involution linéaire, par ses points d'intersection ai>ec les deux couples dont elle ne fait pas partie. Les six cercles ayant pour diamètres les seg/nents formés par les points doubles de ces six involutions ont même centre radical.

Et ce cjui permet de construire au moyen de trois de ces cercles leur cercle orthogonal commun, qui est le cercle du réseau ponctuel et, par suite, harnioniquement circonscrit à la conique cherchée, laquelle fait partie du second.

Si l'on agit de même pour trois autres couples , pai' exemple P-2Q21 PsQs? P4Q41 on aura un second cercle, et ainsi de suite en les combinant trois à trois, de toutes les manières possibles dont le nombre est égal à dix. Ces dix cercles, comme le premier, sont harmoniquemeut circonscrits à la conique chercliée ; ils ont donc même centre radical, et leur cercle orthogonal commun, c]ui sera déterminé par trois d'entre eux, sera le cercle orthoptique de la conique cherchée (86). On peut donc ainsi compléter h» théorème précédent :

rHÉoniiME. — Les dix cercles obtenus de celte nmnière en combinant trois à trois cinq couples f/uelco/u/ues ont aussi même centime radical.

Enfin on pourra construire facilement les quatre tangentes de la conique, (|ui résultent du fait qu'elle appartient au faisceau tangcntiel déterminé par h; cercle orthoptique et un des cinq couples donnés. Si l'on considère en ellet le cercle tangent aux deux droites P, et Q,, et coupant orthogonaleuient le ( ercle or.thoptique (|u'ou a construit. Cl' cercle est h;irii)(»ni(|ncm('Ml cii'consci'it a la coulcjui' i 85),

(.HAl'lTUK V.

par ronséquout la conique est 1 enveloppe îles dfoites telles que, de leur pôle par rapport à ce cercle, on pi'ut mener à elle et à ce cercle des tangentes en proportion harmonique (66). Mais puisque le cercle est tangent à P, et à Qj, qui sont conjuguées à la conique, cette proportion a lieu pour les tangentes issues à ces deux courbes du point Si d'intersection de Pj et de Q, ; donc la polaire du point S, par rapport à ce cercle est tangente à la conicpie.

106. Analysons le problème, et soient tracés les deux droites P, et Qi [fii^- 22) et le cercle orthoptique ; soient

Fif'. ?.'2.

S] A la bissectrice de l'angle P, Sj Qi égal à 2 a: et AB la perpendiculaire abaissée du point O sur celte bissectrice; soit O' le centre cherché sur Sj A-, on devra avoir

SiO'sin^a=-.00' — R=-rOA-i-(S,0'— SjA)'^— R-;

OA — R- est le carré t.^ de la tangente menée du jioint A au cercle O. On aura alors

S,0'cos=y — 2 S, O'. S, A 4- S, A -h ^' = 0,

d'où l'on tire pour S,0' deux valeurs, symétriques par rapport au point A', où la perpendiculaire élevée sur Si H au point H coupe la bissectrice, et faciles à construire. Ces valeurs sont réelles si l'on a AB>^. Mais remanpions (pu> <•(' (pie nous cherchons, c'est la ])olaire du poiut Si par