THÉORIE DE L'INVOLUTION PLANE

1 . Nous dirons que des points conjugués trois à trois sont en insolation plane lorsqu'ils sont les sommets de triangles conjugués à une même conique. Si, au lieu de considérer les sommets de ces triangles, nous en consitlérous les côtés, également conjugués trois à trois, nous dirons encore que ces droites sont en involulion plane. Suivant que la coni(|ue qui détermine ainsi l'involulion sera un cercle, une ellipse,... nous dirons que l'involution est circulaire, elliptif/iie

Ces définitions admises, nous allons étudier les proj)riétés de l'involution plane et ses analogies avec l'involution linéaire. Nous étudierons plus spécialement le cas où l'involution est circulaire, qui est celui où ces analogies sont le plus remarquables.

2. Nous ne discuterons pas les différents cas particuliers qui peuvent se présenter dans la position du triangle^

ils résultent de la théorie des sections coniques; ndiis les énoncerons seuli-nient :

i" Lin sommet pent être à l'indni ; alors les den\ auti-es sont snr nn diamètre, et le di\isent liarmoniquemenl :

2° Un coté peut être à l'inlini; alurs le sommet opposé est le centre de la courbe et les deux autres cotés en sont deux diamètres conjugués;

S*' Un sommet peut être sur la courLe ; alors un second sommet se confond avec lui sur la tangente en ce point, et le troisième est un point quelconque de cette droite, paiexemple le point de contact; de sorte que la conique peut être considérée comme le lieu des points douJjles ou des points triples de l'involution. JNous l'appellerons, pour cette raison, la cu/iK/iir ln'j>le de l' iii\'oliilion.

Lorsque deux sommets du triangle sont confondus sur la conique, deux côtés sont aussi confondus et sont la tangente en ce point, le troisième est la polaire du troisième sommet qui est sur la tangente. Si ce point est aussi le point de contact, on voit que la tangente forme à elle seule les trois côtés. De sorte qne, lorsque des droites sont en involution plane, la conique triple est également l'enveloppe des droites doubles ou des droites triples de l'involution.

Deux coniques ayant généralement un triangle conjugué commun et un seul, il en résulte que deux involutions planes ont généralement un triangle commun. Les cas d'exceptions sont celui où les deux coniques triples ont un point de contact, alors deux côtés du triangle conjugué commun se confondent avec la tangente en ce point; cl celui où elles sont doublement tangentes, alors il y a une infinité de triangles conjugués connnuns, constitués par la corde de contact et par deux droites conjuguées passant par le pôle de cette droite : comme cas particulier de ce dernier, les coniques peuvent être concentriques et avoir les mêmes directions asymptotiques.

Enfin une involution plane est évidemment projcctive ;