THÉORIE DE LINVOLUTION PLA.NE

car une conique et un triangle conjugué ont pour perspective une conique et un triangle conjugué.

3. Nous avons ainsi retrouvé les propriétés anaiogu<'s à toutes les propriétés (l(\scripti\ es de l'involution linéaire, centre, points doubles, segment commun à deux iuvolutions, projectivité; il ne manque que celle qui est relative au sommet de l'involution, d'où l'on voit tous les segments sous un angle droit. Nous allons rencontrer la propriété analogue dans l'involution plane circulaire ^ mais, de même que dans l'involution linéaire les points doubles doi\ent être imaginaires pour que le sommet soit réel, il faudra ici que le cercle triple soit imaginaire.

On sait en elïet que, si du point de l'cncontre des hauteurs d'un triangle comme centre, on décrit un cercle dont le carré du rayon soit égal au produit des deux segments de chaque hauteur comptés à partir de ce point, produit constant pour chaque hauteur et positif ou négatif suivant que le point de rencontre des hauteurs est extérieur ou intérieur au triangle, on sait que le triangle est conjugué par rapport à ce cercle.

Nous donnerons à la racine carrée de ce produit le nom de puissance du triangle; suivant lun ou l'autre cas, al-^ gébriquement parlant, elle sera réelle ou imaginaire; mais il nous arrivera souvent, dans le second cas, de lui restituer son caractère de longueur géométrique, et de ne pas tenir compte des signes des segments. Quoi qu'il en soit, ou peut énoncer le théorème suivant :

Théorîîme. — Tous les triangles qui ont même j'oiitl (Je rencontre des Itauteurs et même puissance algébrique jormeni une involulion plane dont la conujue triple est un cercle réel ou imaginaire, suivant que le point de rencontre des hauteurs est extérieur ou intérieur à ces triangles. Il a ce poitit pour centre et la puissance algébrique pour raj on.

J) ailleurs il est facile de faire voir que, lorsqu'un

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trièdre trirectangle est coupé par un plan suivant un triangle, le sommet se projette à rintéri(;ur du triangle suivant il! j)oint de rencontre des hauteurs, et la longueur di* la projetante est égale à la puissance géométrique du triangle, il en résulte (jue, si l'on considère une involution plane circulaire imaginaire, et qu'au centre de l'involution on élève à son plan une perpendiculaire égale à la puissance géométrique de tous les triangles de l'involution, de l'extrémité de cette perpendiculaire on verra tous ces triangl(;s sous un angle trièdre trireclangle.

4. C'est ce système de triangles, conjugués à un même cercl(î, que M. Poudra a considéré le premier sous le nom Hl involution i)lane (*), et il a dit que sa pex'peclive était aussi une involution plane, dans le sens qu'il attachait à ce mot, ce qui parait faux, puisque le cercle imaginaire par rapport auquel ils sont tous conjugués a pour perspective une ellipsi; imaginaire, et que tous ces triangles ne peuvent être à la Ibis conjugués par rapjiort à un cercle (>t par rapport à une ellipse. Voici prohaljlement la cause de son erreur: si l'on prend le sommet de l'involution pourpoint de vue, tous les trièdres, étant trirectangles, se projetteront sur un plan quelconque suivant des triangles ayant même point de rencontre des hauteurs et même puissance, pai' conséquent suivant une involution plane circulaire imaginaire; c'est (ju'alors le vùnc (jui projette le cercle imaginaire, étant coupé par un [)lan(pielconque suivant un cercle, sera une sphère réduite à son centre, ce qu'on vérihe d'ailh'urs en \oyant que le centre du cercle d'intersection de ce cône avec un plan quelconque est le pied de la perpc;ndicul aire p abaissée du point lixe sur ce pi an , et que son rayon, qui est égal, pour une sphère de rayon R, à y/R" — /,>-, est ici égal à y/ — /^^

(') Nouvelles Annales de Mathématiques , 2" série, l. III, p. /|()S. — CuASLES, Rapport sur les progrès de la Géométrie, p. 3o8; 1870.