THKOKIE DE L INVOLUTION PLANE. D

5. 11 est encore une propriété de l'involution Hn('aire, relative au sommet de rin\olution, qui trouve son analogue dans l'involution plane. Dans la première, en eil'et, tous les cercles décrits sur les segments comme diamètres ont jnème axe radical. Dans la seconde, si l'on circonscrit un cercle à un triangle quelconque de l'involution, les sphères ayant ces cercles pour grands cercles ont même axe radical, et cela quelle que soit la conique triple.

C'est ce cjui résulte en eiï'et d'un théorème connu, savoir : La puissance du centrée d' une conique par rapport à un cercle circonscrit à un triangle conjugué est égale à la somme des carrés des demi-axes (*).

Si la conique est réelle, son centre est toujours extérieur à un triangle conjugué, et les sphères ne se couperont pas, de même que, dazis l'involution linéaire à points doubles réels, les cercles correspondants ne se coupent pas. Mais, si la conique est une ellipse imaginaire, les sphères se couperont en deux points symétriques par rapport au plan de linvolution, se projetant suivant son centre réel, et la longueur de la projetante sera \Ja'^-i- //-, « ^/ — i et ^ \J — i étant les demi-axes de l'ellipse. Néanmoins, dans le cas où (7 = è = R, ces points ainsi déterminés ditïèrent complètement du sommet précédemment déterminé (3), puisque leur projetante est R ya et que celle du sommet est égale àR.

G. JNous allons traiter maintenant les dilïéreuts problèmes que l'on peut se proposer sur l'involution plane.

Si la conique triple est donnée, l'involution sera déterminée et l'on pourra consti'uire un triangle quelconque de l'involution facilement. Sinon, l'involution sera déterminée toutes les foiscjue l'on connaîtra cinq éléments de la conique

(') Faci'.e, Nouvelles Annales de Mathématiques, t. XIX, p. 23.|- — M. P. Scrrct donne é(;alement uno démonstration géométrique de ce théorème [Géométrie de direction, j). 217).

triple, par cxcinplt;, si riiivolution doit être circulaire et (ju On en connaisse un tiiaiii;le. Si rinvolulion doit être (juclcouque, deux triangles la détermineront, mais leurs six sommets devront être sur une même conique, comme on le sait ( ' ).

PuoBLJiMK. — Construire la conique triple d' une involulion (iéterminée par deux triangles.

On peut dans ce cas-là se proposer de construire la coni(jue triple. Soient AHC, A'B'C [Jig. i), les deux trian-

Fig. ..

gles donnés. Le point a est évidemment le pôle de la droite AA'; donc les points a et |3 sont conjugués par rapport à la conique cherchée; elle passe donc par les points doubles de l'involution linéaire, déterminée sur la droite BC par les deux segmenîs BC, a^. Le problème est donc ramené au problème analogue de l'involution linéaire, et l'on pourrait d'ailleurs facilement en construire le centre, carie triangle Aafi étant conjugué par rapport à la conique, le centre radical des cercles circonscrits aux triangles ABC, A'B'C, Aa|3 est précisément le centre de la conique, d'après le théorème énoncé plus haut, et la longueur de la tangente menée de ce point à ces cercles est égale à \ja^ -t- b' . Ou bien encore d'après cette propriété : Etant donnés deux points et leurs polaires, si par chacun de ces points on mène une parallèle à la polaire de l'autre, la droite (jui

(') Chasles, Traité des Sections coniques, p. i.'iO.

THÉORIE DE l'iKVOLUTION PLANE. 7

passe par leur point de rencontre et celui des droites données passe aussi par le centre de la courbe (^).

Si plusieurs triangles conjugués ont un côté commun, leurs sommets forment sur ce coté une involution linéaire dont les points doiU^les sont ceux où il rencontre la conique; d'ailleurs, dans ce cas, les cercles circonscrits ont même axe radical. 11 en résulte ce théorème :

Théorème, — Si l' on consl/uit une série de ccicles (ijant même axe radical, lequel passe par le centre d'une conique, et tels que la puissance algébrique de ce centre par rapport à l' un quelconque d'entre eux soit égale à \ja^ -{- b^, la polaire d'un de leurs points communs par rapport à la. co/iique déte/niinera sur ces cercles une im'olulion linéaire dont les points doubles sont les points d' intersectioji de cette droite as^'ec la conique.

7. Problème. — Construire un triangle d' une ijiuolution plane déterminée par deux triangles.

On peut y arriver sans construire la conique triple : car, soient abc, a'b'c' {Jig. 2) les deux triangles donnés 5 il est

Fiff. 2.

facile, au moyen de ces deux triangles, d'en déterminer deux autres réciproquement conjugués par rapport à la conique cherchée, c'est-à-dire tels que la polaire d'un sommet

(') P. Serret, Géométrie de direction, p. i85.

8 CHAPITRE I. lUKOlUK UK l/ 1> VOI.t TIO?J PI.A?<E.

(le l'un d'eux soit le côté homologue de l'autre 5 par exemple, les triangles aj3y, a'jS'y', comme il est aisé de le véi ilier dans la jfignie; et, d'après un théorème connu, ces triangles sont hoiuologiques. Soient donc a, un sommet du triangle cherché, jS', et 7', les points d'intersection du côté opposé avec a.' y' et a'j3'; par le même théorème les triangles «ijSy et a'/3', y', seront homologiques, ce qui permettra de déterminer un point de la droite |3', y',, polaire du point «], par rapport l\ la conique triple. Il suilira de joindre ajy, qui rencontre a!-/ en ^, a, (3 qui rencontre a'jS'en y, la droite pq rencontrera ^j-/ au point /•, qui est un point de la droite cherchée; on pourrait de même en déterminer un second, au moyen du triangle aja|3 et de son iiomologique; on aura ainsi le côté opposé au sommet tx.^ choisi arbitrairement.

Sur ce côté, les deux autres sommets ne sont pas déterminés, ils forment une involution linéaire que l'on pourra déterminer au moyen de la construction suivante, tout à fait analogue à celle de l'involution linéaire.

On construira immédiatement, comme plus haut ,6), un troisième triangle A a|3 de l'involution 5 les sphères ayant pour grands cercles les cercles circonscrits à ces triangles auront même axe radical (5), et toutes les sphères de leur série qui passeront par le sommet choisi «j couperont le plan de l'involution suivant une série de cercles ayant même axe radical et déterminant sur la droite précédemment construite l'involution linéaire cherchée, dont deux points conjugués quelconques seront les deux autres sommets du triangle. Dans le plan, la construction se ramènera à la suivante : on décrira le ccixle orthogonal commun aux trois cercles circonscrits, et tous les cercles passant par le point a, et orthogonaux à ce dernier donneront chacun sur la polaire du point aj deux points répondant à la question.

CHAPITllE II. DES SYSTEMES PONCTUELS.

8. La théorie de l'involution plane, très-féconde eu eilemènie, le sera surtout par une autre théorie à laquelle elle va nous conduire, celle des coniques en involution. Mais, avant de l'aborder, il est nécessaire d'étudier certaines propriétés de ces courbes.

D'une façon générale, on appelle sjstème de coni- (jues (^) l'ensemble de plusieurs coniques satisfaisant à des conditions communes et définies dans chaque cas suivant la nature du système. Il y a les systèmes ponctuels et les systèmes tangeritiels. JXous allons nous occuper d'abord des premiers. D'ailleurs, toutes les fois que nous ne désignerons pas la nature du système, c'est qu'il s'agira d'un système ponctuel.

DU SYSTÎiME PONCTUEL DU PUEMIEU ORDRE, OU FAISCEAU POKCTUKL.

£f/n/i(ion générale en coordonnées ordinaires : /C + pC = o.

9. On entend, par sjstème ponctuel du premier ordre, ou simplement par faisceau poncluel, l'ensemble des coniques qui ont quatre j)oints communs. La propriété caractéristique d'un faisceau résulte du tliéorème de De-

(') Smith, Proceedings of the London mathematical Society, n° 1 i, p. go.

sargues-Sturm, d'après lequel ces courbes sont coupées par une même droite suivant un système de points en involution linéaire. Ces courbes ont donc sur une droite (juelcoufjue un système de deux point coiijui^ués communs, (|ui sont les points doubles de l'involution linéaire correspondante. Ces courbes satisfaisant à quatre conditions, on peut se demander si, réciproquement, toutes les coniques qui ont quatre couples de points conjugués communs ont quatre points communs, et par suite une infinité de cou])les de points conjugués communs. C'est en effet ce qui a lieu (' ) : car, si nous considérons deux coniques C et C parmi celles qui admettent les quatre couples donnés, nous voyons d'abord que toutes les coniques du faisceau [C.C] (*) les admettront également. De plus il n'y en aura pas d'autre^ car, s'il y en avait une C", toutes les coniques des faisceaux en nombre infini déterminés par la conique C" et cliacune des coniques du faisceau [C.C], coniques dont l'indétermination est d'un ordre supérieur au premier, admettraient également les quatre couples donnés, ce qui ne saurait avoir lieu, à moins que ces quatre couples ne soient pas distincts, c'est-à-dire que trois d'entre eux n'entraînent le quatrième, (•as sur lequel nous reviendrons (19).

10. De quatre couples de points conjugués, on peut donc en conclure une infinité, qui, en somme, ne forment que quatre couples distincts. Nous verrons également (19) comment on peut en déduire une infinité au moyen de trois couples distincts. Enonçons enfin le théorème suivant, (jui indique le cas où trois couples ne sont pas distincts et comment on peut déduire l'un des deux autres :

Théouème. — Lorsqu une conique divise hornionique-

(') On trouve une autre démonstration de cette propriété par M. de Jonquicres {Nouvelles jinnales de Mathématiques, t. XIV, p. l^^Ç)).

(') Le faisceau fCC] sij;iiili(' le faisceau dcCorminé par les courbes C et C. La conique P[C.C'] siguifio la conique du faisceau [C.C] qui passe par le point P.

DES SYSTÈMES PONCTUELS. II

ment les deux diagonales d'un quadrilatère, elle divise aussi Iiarnionit/uenient la droite </ui joint les points de concours des côtés opposés (').

Eu d'autres termes, de deux eouples PiQ, et P2Q2 résidte uu troisième eouple fourni par le point d'intersection des droites Pj Qs et P, Qi et celui des droites Pi P. et

1 1 , Toutes les coniques qui passent par trois points pouvant être considérées comme ayant trois couples de points conjugués communs respectivement sur chacun des trois côtés du triangle des trois points, il en résulte que toutes les coniques qui passent par trois points et qui ont un système de points conjugués communs peuvent être considérées comme ayant quatre couples de points conjugués communs, et par suite passent par un quatrième point. 11 est facile à déterminer : car soient «, ^, c les trois points donnés [fîg- 3)

Fig. 3.

<'l P, Q les points conjugués communs^ le système des coniques considérées formant un faisceau, il suffit, pour avoir le quatrième point r/, de trouver celles d'entre elles qui se réduisent à deux droites; or, si la droite ac coupe en j3 la droite PQ et qu'on détermine le point (3' conjugué de /3 par rapport aux points P et Q, il est évident que le système des droites ac, &j3' répond à la question 5 on aura de même les

(*) Hesse, De curi'/s et super/îciebus secuiidi ordinis {Journal de C relie, l. XX, p. 3oi; i8',o).

systèmes ab^ cy' et bc^ «a', et les trois droites aa', b^\ cy' passeront par un même point cl^ qui est le quatrième point cherché. On retrouve donc ainsi les théorèmes suivants.

Théouème. — Etant donnés un triangle et une invuLution linéaire, les trois droites q ai joignent un sommet du triangle au point de l'involution conjugué de celui par où. passe le côté opposé concourent en un même point.

Théorïome. — Ce point est commun à toutes les coniques circonscrites au triangle et conjuguées par rapport aux points doubles de l'iiwolution.

Corollaire. — Si les points P et Q sont les points circulaires de l'inlini, la conique devient une hyperbole é([uilatère, le point d devient le point de rencontre des hauteurs du triangle ahc et les énoncés deviennent :

Théorème. — Les trois hauteurs d' un triangle se coupent en un même point.

TiiÉORÎîME. — Toutes les hyperboles éc/uilatères circonscrites à un triangle passent par le point de rencontre des hauteurs.

12. Problème. — Construire une conique, connaissant quatre points et un sj sième de points conjugués.

1° Si les quatre points sont donnés par l'intersection de deux coniques C et C, la droite sur laquelle se ti'ouvent les deux points conjugués coupera la conique cherchée suivant les deux points conjugués communs à deux involutions linéaires, dont l'une est déterminée sur la droite par toutes les courbes du faisceau [C.C], et dont l'autre a pour points doubles les points conjugués donnés^ dans ce cas, la construction est quadratique;

:>y Si les quatre points sont donnés directement, au moyen des deux points conjugués et de trois quelconques des quatre points donnés, on construira un cinquième point de la conique (il)", ici, elle est linéaire (').

(') M. de Jonquièies résout le même prot)lèmo (Nouvelles annales de

DES SYSTÈMES PONCTUELS. l3

Problème. — CoJïSti'uire une conique, connaissant trois points et deux couples de points conjugués.

Au moyen des irois points donnés et de chaque couple de points conjugués, on constrnira successivement un quatrième et un cin(piième point de la conique (H )• La construction est linéaire.

13. Deux points pouvant être déterminés par la condition d'être conjugués dans deux involutions données, il en résulte que toutes les coniques qui passent par deux points peuvent être regardées comme ayant deux couples de points conjugués communs sur la droite qui joint ces deux points-, donc, toutes les coniques qui passent par deux points et qui ont deux couples de points conjugués communs peuvent être regardées comme ayant quatre couples de points conjugués communs et conséquemment ont deux autres points communs (9). On peut facilement les obtenir par une construction quadratique; car si l'on se donne un troisième point C d'une de ces courbes sur la droite où se trouve l'un des couples de points conjugués, on en conclura un (|uatrième point D sur cette droite, et l'on pourra en consti'uire un cinquième point au moyen de ces deux points, des deux points donnés A et B et du second couple (11). En changeant le point C sur la droite CD, ou construira de la même façon une conique qui coupera la première en A et B, et aux deux points cherchés. On peut donc dircî qu(î :

TnÉonicME. — Toutes les coniques qui ont deux points communs et deux couples de points conjugués communs passent par deux autres points fixes (*).

Mathématiques, t. XIV, p. ((h')) chuis K- second cas, où les quati'c points sont donnés directement, en construisant le faisceau déterminé par ces quatre points, ce qui rentre dans le premier cas. Il substitue ainsi une solution quadratique à une solution linéaire.

(') M. de Joiiquières démontre également cette propriété {Nouvelles Annales de Mathématiques, t. XIV, p. 438).

l4 CHAPITRE II.

\A. Problème. — Construire une conique, connaissant deux points et trois couples de points conjugués.

Pour ct'la, on consiruira d'abord, ainsi qu'il vient d'être dit, deux des coniques passant parles deux points donnés, et admettant deux des couples donnés. Elles détermineront un faisceau dans lequel ou construira la conique qui admet le troisième couple (IS); la construction est quadratique (*}.

15. Toujours par la même raison, toutes les coniques qui passent par un point et qui ont trois couples de points conjugués communs, ont trois autres points communs. Leur détermination est évidemment un problème cubique et on peut le résoudre par l'intersection de deux coniques dont on connaît un point. 11 suflira, pour cela, de construiredeux de ces coniques, par exemple celle qui passe par le point d'intersection de deux des droites qui renferment les couples donnés-, il en résultera deux points, ce qui Icra quatre; enfin le troisième couple et trois de ces points en fourniront un cinquième (H). On en construira de même une seconde \ ces deux courbes auront un point commun A connu, les trois autres seront les trois points cherchés.

16. Problème. — Construire une conique connaisscint un point et quatre couples de points conjugués.

11 sulfira de construire deux coniques passant par le point donné et admettant trois des couples donnés, en s'en donnant un second point qui soit à l'intersection des droites qui renferment deux des couples donnés \ on en connaîtra cinq points, comme nous venons de le voir (15), au moyen du troisième couple. Ces courbes détermineront un faisceau dans le(piel on obtiendra quadratiquement la conique qui admet le quatrième couple (12\

Problème. — Construire une co/iiqur connaissant cinq couples de points conjugués.

(*) Ce problème est également résolu {Nouvelles Annales de Blathéiiuitiques, t. XIV, p. 436).

On construira une conique admettant quatre des couples donnés, en s'en donnant un point à l'intersection des droites qui renferment deux des couples donnés. Il en résultera deux autres points, puis un quatrième au moyen du troisième couple (IJ), et un cinquième au moyen du quatrième couple ( H ) ^ on construira de même une secondes conique qui admette ces quatre couples; ces deux courbes détermineront un faisceau dans lequel on obtiendra quadiatiqucment la conique qui admet le cinquième couple

Pour faire voir combien cette solution est simple, soient Pi Q,,..., P5Q5 les cinq couples donnés; si l'on considère la conique C qui admet les quatre premiers, et qui passe par le point A d'intersection des droites PiQi et P^Qa? elle passe par les points Aj et A2, conjugués de A par rapport à Pi Qi et à P2Q2; ces trois points et le couple P3Q3 en donnent un quatrième A3 (H), le couple P4Q4 un cinquième. On a donc immédiatement cinq points de cette conique, de même pour la seconde; on clierchera leurs points d intersection par la droite PgQg, et on en conclura immédiatement ceux de cette droite et de la conique cherchée. On connaîtra alors deux points de cette coui^be et nn faisceau auquel elle appartient.

17. Nous appellerons condition ponctuelle toute condition telle que quatre quelconques d'entre elles déterminent un faisceau ponctuel, c'est-à-dire toutes les coniques qui ont quatre points communs.

Nous voyons donc que, un point, un couple de points conjugués sont des conditions j)onctuelles, et nous avons résolu, au moyen de la règle et du compas, tous les problèmes dans lesquels on peut se proposer de construire utu; conique connaissant cinq de ces conditions. Nous verrons

(') On trouve une auln' si)Iution de ce problème par M. de Jonquières (^Nouvelles armâtes de Matlicmatiques, t. XIV, j>. /|38).

lO CHAPITRE II.

plus loin ((j9) qu'il en existe d'autres, et en particulier quelle est la condition ponctuelh; la plus générale.

Mais il peut se faire que ces conditions, au lieu dèlrc; données directement, le soient parla connaissance d'un certain nombre de coniques, satisfaisant à plusieurs d'entre elles; dans ce cas, la solution des problèmes précédents est dillérente et également simple. Pour y arriver, nous allons étudier les propriétés des systèmes de coniques, que l'on peut définir par trois, quatre ou cincj de ces courbes-, ces propriétés nous seront d'une; utilité analogue à celles du tbéorème de Desargues, <pii pi'rmet de construire une conique déterminéi' par cintj points, dont quatre sont connus implicitement, comme étant communs à deux coniques déterminées. Toutefois, avant d'abandonner l'étude du faisceau, nous remarquerons :

1° Que, tous les cercles ayant deux points communs à l'infini, l'ensemble des cci'cles (jui ont deux points communs à distance finie constitue un cas particulii'r du faisceau ;

2" Qu'en général aucun cercle ne; fait partie d'un faisceau donné; ce cas particulier peut se présenter, mais, s'il y en a deux, toutes les courbes du faisceau sont des cercles;

3" Qu'en général un faisceau admet une liyperbole équilatère, et qvu;, s'il y en a deux, toutes les courbes du faisceau sont des hyperboles équilatères, parce (pi'une paleille courbe admet pour couple de j)oints con|Ugués les points circulaires de l'inlini.

ne SYSTÎiATE PONCTUEL T)V SECOND ORDIIK , OD TIÉSEAU PONCTUEL.

Equation génrralc en coordonnées ordinaires :

)X + y.C'-+-vC" = o.

18. Ktant données trois coniques, C', (/, C", on sait qu(; si l'on fait passer par un point P trois autres coni(]ues pas-

DES SYSTÈMES PONCTtlELS. IJ

saut respectivement par les points d intersection de ces coniques prises deux à deux, ces trois nouvelles courbes ont trois autres points communs, et appartiennent ainsi à un même faisceau ('). L'ensemble de toutes les coniques que l'on peut ainsi construire, au nioyxMi des trois coniques d(jnnces, en faisant varier le point P d'une façon quelconque dans le plan, constitue un sjslci/ic /)o/utacl du second ordie^ ou, plus simplement, un réseau ponctuel. On voit (|ue toutes les courbes d'un réseau satisfont à trois conditions; car, si l'on s'en donne un point, on obtient un faisceau dout toutes les courbes appartiennent évidemment au réseau, et dans lequel on peut encore déterminer une conique par un point. Nous allons faire voir : i° que toutes les coniques qui admettent trois couples de points conjui^ués communs forment un réseau; 2" réciproquement, que toutes les coniques d'un réseau admettent une infinité dv couples de points conjugués communs, mais non distincts, et déterminés lorsqu'on en connait trois.

Soient, en effet, PiQi, PaQa^ *"t- P3Q3 les trois couples donnés, ou pourra construire une conique répondant à la question, en s'en donnant un point A sur la droite PiQj, d'où l'on conclura un point B sur cette droite, un point A' sur P2Q27 qiii donnera un point B', et l'on sait d'ailleurs construire la conique C, passant par les points A, B, A', IV. et conjuguée au couple P3Q3 (lî2) ; on pourra construire de la même façon deux autres coniques C et C" admettant également les trois premier couples, et l'on pourra toujours faire en sorte que ces trois coniques n'appartiennent ])as à un faisceau; il suflira de prendie les deux points arhitraiies qui définissent la conique C" ailleurs que sur une conique du faisceau [C.C]. Cela posé, il est évident (pie si l'on construit une conique quelconque du réseau [C . C. C"], elle atlmcttra les mêmes trois couples de j»oints conjugués ; car,

C) CiiASLts, Traité dfs Sections coniques, p. y^G.

CIIAI'ITIU; II.

soit P un point ilc ccltt- conique; clic appartiendra, d'après la délinitioii du réseau, au faisceau [P[C1.C'], P[C'.Cy']j et adnielti'a. par conséquent, les uièuies couples de points conjugués que les coniques P[C.C'] et P[C/.C"], lesquelles admettent toutes deux les trois couples donnés. D'ailleurs, si une conique étrangère au réseau admettait aussi les trois couples donnés, toutes les coniques des faisceaux en nombi'c inlini déterminés par cette courbe et chacune des coniques du réseau [C.C'.C"], coniques dont l'indétermination est d'un ordre supérieur au second, admettraient également ii's trois couples donnés, ce qui nv saurait avoir lieu, à moins que ces trois couples ne constituent pas trois conditions distinctes, cas sur lequel nous reviendrons (27). Donc :

THÉoi\i:MK. — 'Joutes les coniques qui admetteril t/ois couples dislincls de points conjugues cotjutiuns fornicnl un réseau.

19. Considérons maintenant toutes les coniques d un réseau, et cherchons à quelle condition doit satislaire luie droite ])Our les couper suivant une involulion linéaire, c'est-à-dire pour renfermer deux couples de ])oints conjugués à toutes les coniques du rési^au. On peut n'en considérer que trois, C, C, C"; pour qu'une droite les coupe suivant six points en involution, il suffit évidemment qu'elhî coupe la conique C suivant deux jîoints situés sur une conique du faisceau [C'.C"], ce qui n'assujettit cette droite qu'à une condition, et prouve qu'il en existe une inlinité. L'indc'lcrniination de ces droites est du preniier ordre; elles envehjppiiul donc une certaine courbe qu'il est facih' de construire par tangentes, lorsqu'on en connait trois. ainsi que les couples situés sur elles. C'est en efïct ce qui doit avoir lieu : puisque les courbes d'un rés(>au satisfont à trois conditions, il faut (pie tous les couples de points conjugués communs K-sullent de trois d'entre eux, et c'est ce qui ^a n<nis donnei' en même temps le moyen de sa\()ir lorscjue quatre couples de points conjugués ne sont pas dis-

DES SYSTÈMES PONCTUELS. IQ

tlucts. Prenons un point P sur la conique C : la conique du faisceau [C. C"] qui passe par ce point la coupe en trois autres points A, B, C*, les droites PA, PH, PC répondent évidemment à la question, on pourra donc, de chaque point du plan, mener trois tangentes à la courbe considérée, lesquelles sont les trois droites qui joignent ce point aux trois autres points par où passent aussi toutes les coniques du réseau [C .C'.C"], qui passent par le premier. Cette courbe est donc de la troisième classe, et c'est la courbe générale de cette classe, puisqu'elle est déiînie par la connaissance de trois tangentes et de deux points particuliers sur cliacune d'elles, ce qui fait l)ien les neuf conditions nécessaires pour la déterminer, ^lous désignerons désormais cette courbe sous le nom de Cajleyenne (') du réseau.

Pour examiner les choses de plus près, nous allons supposer connus les trois couples de points conjugués communs, et nous verrons qu'en effet il est facile de déterminer liuéairenuuit une infinité d'autres couples de points ('gaiement conjugués par rapport à toutes les coniques conjuguées aux trois premiers. Soient PiQi, P2Q21 P3Q3 l^'s trois couples donnés (P/. /), situés respectivement siu' les côtés d'un triangle ABC. Puisque de chaque point du plan on peut mener trois tangentes à la Cajleyenne, on peut se se proposer de chercher la troisième tangente issue du point A. Elle est fai-ile à déterminer ; car toutes les coniques du réseau qui passent par le point A passeront aussi par les points Ag et A3, conjugués harmoniques de A par rappoit aux couples P9Q2 ^'t PsQs- Etai'.t de plus conjuguées

(') Du nom do l'auteur qui en a démontré analyliquement les proprié lés [Caylev, a Mcinoir on curves of the thrid order {Philosopliical Traniaclions, partie II; London, 1857, p. /|ij-/|^(i)]. Nous ne faisons que nous conformer à une dénomination déjà adoptée (Cremona, Introduzione ad nna teoria geometrica délie ctirve plane ; Bologne, 1862). Dans cet ouvrage, M. Crcmona démontre géométriquement les propriétés de la Cayleyenne d'un réseau ponctuol, comme conséquences de théorèmes généraux sur les courbes.

20 CHAPITUE II.

par rapport au couple PjQi, elles passeront par un quatrième point que l'on ])eut construire (H). il suHit pour cela de chercher les trois points «j, Bj, Cj, conjugués harmoniques par rapport au couple PiQi des points a, lî, C, où les côtés du triangle AA, A3 rencontrent la droite PiQii les trois droites Ay-i, AjBj, et A3C, passeront par un même point a qui est le jîoiiit cherché, et la troisième tangente, issue du point A, est la droite Ka c[ui est la même que Acr,; on délei^miucrait de même les tangentes B|3i et Cyj, ainsi que les points h et r, analogues de «, situés respectivement sur CCS deux tangentes, et la figure montre bien que les trois tangentes issues du point A sont les trois droites qui joignent ce point aux points «, A,, A3 par où passent toutes les coniques du réseau qui passent par le point A.

On voit aussi qu'il sulîit, pour conslniire cette troisième tangente, de joindre les conjugués harmoniques du sommet considéré sur les deux côtés du triangle dont il est l'intersection, de prendre le point d'intersection de la droite ainsi obtenue avec le troisième côté, et de joindre le sommet choisi au point conjugué harmonique de ce point sur ce troisième côté.

^ous a\ons ainsi six tangent(\s de la courbe, iuais il est facile d'en trouver six autres sur la figure. Ya\ eilêt les tangentes issucîs d'un point P étant les trois droites qui joignent ce point aux trois autres sommets du faisceau défini dans le réseau par le point P, il en résulte que, dans chacun des faisceaux dont l'ensemble constitue le réseau, les trois systèmes de deux (boites qui sont des coniques de ce faisceau sont six tangeiilcs de hi Cavleyennc; en un mot, que tous les systènu's de; ch-ux droites, qui sont des coniques du réseau que nous étudions, sont des tangentes de cette courbe, qui de son côté en est l'enveloppe; d'où ce théorème :

TrfÉORÈMK. — Les dix-Jndt cordes communes à trois cotii(/iies (/ue/co/u/iies, prises deux à deux, sont tangentes à une mante cou/be de la troisième classe.

A cliacuno dos tangentes de la Gaylcyenne en correspond donc nne seconde, qui forme avec elle une conique du réseau, et ce système de deux droites est couséqucmment conjugué par rapport à tous les couples situés respectivement sur chaque tangente, c'est-à-dire que l'on peut énoncer sur cette courbe le théorème suivant :

Théorème. — Si Ivn piciid sur chdijue tangente à hi Cayleyenne le point conjugué luirnionique, par rapport aux deux points conjugués situés sur elle, du point oîi elle est rencontrée par une tangente fixe, tous ces points sont en ligne droite sur une secoiide tangctite, formant avec la prennèrc une conique du réseau.

Par couséc|uent, pour construire la tangente qui résulte ainsi d'une tangente connue, il suffit de joindre les points conjugués harmoniques des points où elle rencontre deux autres tangentes également connues 5 d'où l'on conclut que la droite Bi A, forme avec la droite AB une conique du réseau et est tangente à la courhe ; de même pour les droites B3C2 et Cl As avec les droites BC et CA. Il est également facile de voir que les trois tangentes précédemment déterminées Aa,, B/3, et Cyi ont respectivement pour tangentes correspondantes les droites A, A3, Bi B3 et Ci Ca- JNous avons ainsi douze tangentes de la courbe, accouplées par deux,, et on pourrait en construire, par le même procédé, une infinité d'autres. La courbe est donc bien déterminée par les trois tangentes données, et, pour construire sur chacune d'elles les deux points conjugués, il suffit de construire les points doubles de l'involution linéaire déterminée sur cette droite par tous les systèmes des deux droites formant coniques du réseau.

Le théorème énoncé plus haut est l'expression des dépendances qui existent entre toutes les tangentes de la courbe remarquable qui nous occupe. C'est lui qui permet de reconnaître si quatre couples de points conjugués donnés sont distincts (10); il faut pour cela que l'une des droites

Il CHAPITRE II.

sur lesquelles ils sont situés rencontre les trois autres eu trois points tels, que si l'on prend respectivement leurs conjugués iiarinoiiiques sur la (Iroitt; correspondante, ces trois nou\eau\ points ne soient pas en ligne droite. Dans le cas contraii'c, ces quatre C(juples de points conjugués ne sont pas distincts, et déteriniiicnt nue courbe delà troisième classe du genre de la précédente^ par suite, les coniques correspondantes forment un réseau au lieu d'un faisceau.

De ce qui précède, résulte une démonstration géométrique du théorème de Hesse (10). En effet on voii d'ahord que, quel que soit le couple Pj Qj, la droite AoAj est tangente à la Cayleyenne; reste à faire voir que les points conjugués situés sur elle sont les soinnicls opposés du (piadrilatère Pg Qg P3 Q3, dont elle est la diagtjnale. En elfet les couples de points AA3, J^Hs appartiennent à l'iuvolution dont les points doubles sont P3 et Q3; de mèmi; AA.2. CCg à celle dont les points doubles sont Pg et Qj \ les droites P, Q2 et P3 Q3 se coupent en un point A qui se correspond à lui-même dans les deux involutions; donc rune de ces involulions est la perspective de l'autre, et le poiul de -wir est le point a coninuin aux droites A2A3, Clî, C'>2 IÎ3 ; donc les droites P2P3 et Q2Q3, qui projettent les points doubles, se coupent en a sur A^ A3. INIais nous verrons (97) que le point a fait partie du lieu des couples de points conjugués, comme étant le sommet d'un couple [BC, 1^303]^ l'autre, étant son conjugué harmonique par rapport à A, et A3, où la droite A, A3 rencontre le couple [A^Hj, A3 H], est l'autn* extrémité de la diagonale.

20. Il existe également des dépendances entre tous les couples de points conjugués situés sur les tangentes de la Cayleyenne, abstraction faittî d(î ces droites, sur lesquelles ils sont répartis par couples. On sait en elfet qiu", lorsque deux points sont conjugués par rapport à un cercle, le cercle ayant poui- diamètre le segment de (hoite foi iné par ces deux points coupe le premier orthogonalement. Or il

UKS SYSTKMES POJVCTJKLS. 23

existe toujours un cercle parmi les coniques du réseau , puisque leur indétei-uiination est du second ordre, et u>i seul, parce qu'il est déterminé par cinq conditions ponctuelles (17^^ il en résulte que les cercles ayant pour diamètri's les segments de droites formés par tons les conples de points conjugués coupent ortliogonalement le cercle du réseau, el, par suite, ont même centre radical. Ce cercle est donc immédiatement déterminé ^ c'est le cercle ortliogonal à trois cercles donnés. Si les quatre cercles résultant de quatre couples de points avaient même centre radical, cela prouverait ou que les quatre couples ne sont pas distincts, ou qu'ils déterminent un faiscean dont une conique est un cercle, ce qui n'a généralement pas lieu (17\

2J . Enfin, une hyperbole équilatère étant conjuguée par rapport aux points circulaires de l'infini, il en résulte que toutes les hyperboles équilatères d'un réseau ont quatre couples de points conjugués communs, et, par suite, qnati-e points communs (9). D'où ce théorème :

Théouï-ime. — Si par les points d' intersectioji de irais iO/ii(/ucs prises deux à deux, on fait passer trois hyperholes équilatères, ces trois courbes ont (juatre points contniuns.

8i cependant les milieux des trois couples de points conjugués, qni peuvent définir un réseau, étaient en ligne droite, ce qui prouverait que la droite de l'infini est tangente à la Cayleyenne du réseau; si de plus les points conjugués situés sur cette droite étaient les points circulaires de l'infini, ces deux points formeraient avec les trois premiers couples vui système de quali'e cou])lt;s non distincts (19), c'(;st-à-dire que Ifuiles les courbes du réseau seraient des hyperboles équilatères. II sullit pour cela qu'il v ait dans h,' réseau trois hypeiboles équilatères qui n'aient pas quatre points communs.

Si les deux points conjugués sni- la diuile de linlini ne sont pas les points circulaires de linfini, mais deux points

(jiu'Ironques, le cercle du réseau, passant Ibrcéineut par les points cir('ulaires de l'inlini, passera aussi par leurs points conjugués liariiiouicpies par raj)porl à ces deux points, c'est-à-dire (pi il secoiuposeia de la droite à l'iniini et d'une aulre droite à distance Unie, celle qui joint les milieux des couples des points conjugués. C'est ce qui arrive- aussi dans le premier cas considéré; mais cela ne donne lieu à aucune dilliculté : car ces deux droites, pouvant être consitlérées comme perpendiculaires, constituent aussi bien une hyperbole équilatère qu'un cercle.

Enfin, si ces deux points sont dans deux directions ])erpendiculaires, c'est-à-dire conjugués par rapport aux points circulaires de l'iidini, tous les cercles, ayant même axe radical , qui coupent orlliogonalement deux des trois cercles ayant pour diamètres les segments déterminés par les trois couples de points conjugués font partie du réseau, et ces trois cercles ont eux-inènu;s nièuie axe radical.

22. PuoBi.iiMK. — Construii'c dans un réseau le faisceau délerniiné par un point.

Jl suffit de construire deux des ti-ois coniques passant par ce point et les points d'intersection des trois coniques qui définissent le réseau, prises deux à deux (1<S).

PROBLÈME. — Coiislruiie dans un réseau le faisceau délerniiné j)ar un syslenie de deux points conjugués.

Il suffit de fairtî passer par les points d'intersection des trois coniques qui définissent le réseau, prises deux à deux, deux coniques admettant ce système de points conjugués (12). Jl est évident qu'elles admettront également les îi-ois couples de points conjugués du réseau, et conséqueniment auront quatre points communs.

23. Ces deux problèmes couiluisenl. sans j)lus de détails, à la solution des trois suivants :

Construire une co/iit/ue d'un réseau connaissa/it :

1° Deu.v poi/its;

2° Lhi point et un système de points conjugués :

3° Deux systèn/es de points conjugués.

La solution du premier Je ces trois |)ro])lènics ne si-rait pas applicable au cas où les deux points seraient imaginaires. Mais s'ils sont imaginaires conjugués, on pourra remplacer leur connaissance par deux couples réels de points conjugués par rapport à ces deux points. Ainsi, pour construire le cercle d'un réseau défini par trois coniques, il suffira de se donner deux couples de points conjugués à l'infini dans des directions rectangulaires, ce qui donnera lieu au troisième des problèmes précédents. Toutes ces constructions sont quadratiques.

24. Cns particuliers du reseau. — Toutes les coniques qui ont deux couples de points conjugués communs et qui passent par un point fixe peuvent être considérées comme ayant trois couples de points conjugués communs, le troisième couple étant pris sur une droite quelconque passant par le point fixe, et l'involution linéaire correspondante ayant ses points doubles confondus.

Il en résulte que ce système de courbes constitue un cas particulier du réseau ; parmi les trois tangentes issues d'un point quelconque du pian à la Cayleyenne, se trouve évidemment la droite qui joint ce point au point fixe 5 cette courbe se compose donc de ce point et d'une conique, puisque de chaque point du plan on peut mener deux tangentes à la seconde partie de la courbe. 11 est facile, d'ailleurs de trouver cinq tangentes de cette conique. Jl y a d'abord les deux droites qui renferment les deux couples donnés Pi Qi et P2(^2; J<^ plus, si l'on applique la construction donnée plus baut de la troisième tangente issue d'un point donné (19), on voit que, pour avoir la seconde tangente menée à ('ctte conique par un point (jueleonque M {fig- 4) de l'une de ces droites, il suffit de prendre le point M', conjugué harmonique du point IM par rapport au couple Pi(^i, situé sur cette droite, de le joindre au point fixe A par une dioite qui rencontre la droite PjQî en un point R, dont on prcn-

(Ira le conjugué iiariuoiiique R'par rapport au couple 1*2 Qs, enliu de joindre MR'. Si l'on applique eettc conshiuliou au |)oiiil iîo, t^onjugué harnionicpic du poiut d iiiferseeliou des

Fi(;. 4.

deux droites données par rapport au couple P2Q27 on voit que, quel que soit le point A, elle fournit la droite l>i Hj qui joint le point Bj au point Bj, conjugué harmonique du point B par rapport au couple P, Qj, laquelle n'est autre (pie la diagonal(^ Cl) du quadrilatère PiQiP2Q2-( f^^ tl^ii t'st uiu' consé(pi('nc(; dii-i^cU- du llicorème de liesse (10). CelUî droite est donc tangente à la conique. ])e plus il résulte de cette construction que les tangentes issues du point A rencontrent chacune des droites PiQ,,P2Q2, en deux points conjugués harmoniques par rapport au couple situé sur chacune d'elles 5 c'est-à-dire que ce sont les rayons doubles du faisceau m iuvolution linéaire, dont deux couples de rayons c(jnjugués sont AP, , AQi et AP2, AQ,. Cette conique est donc parfaitement définie, et les coiq)l('s de points conjugués situés s;u" chaque tangente s'ohtlcndront l'acilement, puisque les droites AB, B, B, constilueuL une coni(]uc du réseau, ainsi que ABj, BBj et ABo, BBj.

Aijisi, à clia(pi(' droite passant par le point A, correspond une tangente à la conicpie, formant avec elle conique du

réseau ; de plus le rapport anharmonique de quatre des premières est égal à celui des points d'interseetioii des quatre tangentes correspondantes avec une cinquième tangente quelconque; car, si l'on prend pour cette tangente la droite PiQj, les quatre premières la coupent en ([uatre points et les quatre tangentes correspondantes en quatre autres qui sont respectivement leurs conjugués harmoniques par rapport au couple PtQi, et ces deux systèmes de quatre points ont même rapport auliarmouique. Donc :

Théorème. — Etant données deux involutions linéaires sur deux droites dif^jérentes et un point, si une droite tourne autour du point , la droite qui joint les points conjui^ués de ceux ou elle rencontre cluujue involution enveloppe une conique que l'on sait construire, et le rapport anharmonique de quatre droites passant par le point fixe est égal à celui des quatre points d' intersection des quatre tangentes correspondantes a\'ec une ci/iquiènie tangente quelconque.

On peut encore dire : Si une conique est tangente aux trois diagonales d' un quadrilatère et aux. raj ons doubles du faisceau en involulion linéaire, dont deux couples de rayons conjugués sont les droites qui joignent un point fixe aux sommets opposés du quadrilatère, à chaque droite passant par le point fixe correspond ime tangente de la conique, qui avec elle coupe harnioinquement les trois diagonales, et le rapjjort anharmonique, etc.

Le cercle du réseau sera le cercle passant par le point A et coupant ortliogonalement les deux cercles ay.uit pour diamètres PiQj et Pa^^ai il se réduira à une droite quand la conique sera une parabole, ou quand le point A sera à 1 inlini, avr,'cles mêmes restrictions que dans le cas général. Eniin le théorème général énoncé plus haut (19) devient:

Ihéorème. — Etant données trois coniques quelcoTiques ajdiit un jxji/il co/n/nu/i, elles ont deux à deux dixhuit coi-des communes, dont neuf passent par le point

covinnin ; les neuf dutres sont tangentes à une rneine conique.

25. Un second cas particulier dn réseau est celui où toutes les coniques qui le constituent ont deux points communs A et B. La Cayleyenne se compose donc d'abord de ces deux points; car toute droite passant par l'un d'eux coupe le réseau suivant une involution linéaire, dont les points doubles sont confondus. J)eux des trois tangentcîs issues d'un point quelconque P sont donc les deux droites PA et PB; d'où il suit Cjue le reste de la courl»; est une courbe telle, que d'un point quelconque du plan on ne peut lui mener qu'une tangente, c'est-à-dire également un point; reste à déterminer ce point. Nous allons faire voir que c'est le point Q commun aux trois cordes communes, ne passant pas par les deux points A et B des trois coniques considérées deux à deux qui déterminent le réseau. Soient en ell'et C, C, C" ces trois coniqu(;s; considérées deux à deux, elles ont neuf systèmes de deux cordes communes qui forment coniques du réseau (19), et qui sont tangentes à la courbe cbercbée ; donc celles de ces cordes qui ne passent pas par les deux points A et B passent par le troisième point cberclié, lequel est conséquemment le point Q; ce qui prouve ce que nous avions avancé, et pourrait au besoin servir de démonstration au tbéorème relatif à ces cordes communes. Jl (,'n résulte qu'une droite quelconque passant })ar ce point coupe toutes les courbes du réseau suivant une involution linéaire, à points doubles distincts cette fois, et dans laquelle le point Q et le point d'intersection de cette droite avec la droite AB sont conjugués; car ce senties points d'intersection de la droite avec la conique du réseau formée de la droite AB et d'une droite arbitraire passant par le point Q.

Le réseau peut être défini par trois coniques ou par les deux points A et B et un système de points conjugués 1)D, ; dans le premier cas, on en conclura facilement le système

UES SYSTEMES PONCTUELS. 29

DDi, si l'on coiinail les deux points A et B, au moyen dune droite queleonque passant j)ar le point Q^ et, dans le seeond, on construira le point Q, conjugué harmonique jjar rappoit à D et Dj du point d'intersection des droites AB, DD] . Le cercle du réseau sera, dans tous les cas, le; cercle qui passe par les points A et B, et qui coupe ortliogonalcmcnt le cercle déc! it sur DDj comme diamètre, et pourra du reste toujours se réduire à une droite ou n'être pas seul de son espèce (21).

Toutes les hyperboles ('quilatères du réseau ont, outre les points A et B, deux autres points communs S et S', situés sur la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite AB, puisque l'ensemble de ces deux droites en constitue une. On peut les construire facilement.

En elîet, puisque ces courbes appartiennent au réseau, ils font d'abord partie d'une involution linéaire dont deux couples de points conjugués sont les points Q, R {fi^- 5),

Fig. 5.

et les points P, P' où la droite QR rencontre le cercle du réseau^ déplus, devant former avec les points A et B les trois sommets et le point de rencontre des hauteurs d'un triangle, ils sont conjugués par rapport au cercle décrit sui- AB comme diamètre; ils sont donc les extrémités Au segment connnun à d(;ux involutions linéaires déterminées, il suffira, pour les obtenir, de faire passer un cercle quelconque par les points Q et R, et par ses points d'iutersec-

3o chai'itui: m.

tion avec Je cercle du roseau, uu cercle qui coupe orlliogonaleiuent le cercle avant Ali pour diamètre.

On peut encore les obtenir, moins siniplenunt, c'est vrai, par un autre raisonnement tpii donne lieu à quchpies conséquences. Cherchons à construire le point d'int(;rsection des droites AS, BS' et celui des droites AS', BS; d'abord ils sont sur le cercle avant ABpour diamètre, pnistpic S' est \c point de rencontre des hauteurs du triaui^Ie AHS, de plus ces deux couples de droites lorinaiit coniques du réseau rencontrent la droite DDi en deux cou])les de points conjugués à D et à Dj. Si donc l'on joint le point A aux points de l'involution linéaire dont les points doubles sont D et Di et le point B à leurs conjugués, on aura deux faisceaux homographiques, dont le lieu des points d'intersection des rayons homologues est une conique sur laquelle se trouvent les deux points cherchés. Elle passe par les points A et B; on peut donc consliuire sa seconde corde commune avec le cercle décrit sur AO comme diamètre. Mais elle passe aussi parles points D ctDi, et cela, quelle que soit la droite DDj passant par le point Q-^ donc le lieu des points doubles des involutions linéaires déterminées dans le réseau par toutes les droites passant par le point Q est une conique qui passe par les points A et B.

Si trois coniques du réseau sont des hypi'rbolc-s équilatères, il en est de même des autres^ et, comme elles ont une corde commune Ali, elles ont aussi deux à deux une autre corde commune; perpendiculaire à AB, et le point Q est alors à l'infini dans celte direction; c'est-à-dire que :

Théorîcme. — Lorsque trois hyperboles étjiiilatères ont deux /foiuts communs, toute droite perpendiculaire à In corde connnune les coupe sui\'ant si.r points en in\'idutioii.

iXous verrons plus loin (107) que le lieu des points doubles est alors le (cercle décrit sur AB comme diamètre.

Si les points A et B sont les points circulaires de l'intini,

DES SYSTÈMES PONCTUELS. 3l

le rés<MU l'st l'ensemble des eereles qui coupent ortliogonalenient un même cercle; la eoni(jue, lieu des points doubles, est leur cercle orlhoyonal commun^ ce cercle est aussi le lieu des points de contact des tangentes issues du point Q aux cei-cles du réseau; d'où ion peut conclure que, dans le cas général, par continuité, la conique lieu des points doubles est aussi le lieu des ])oints de contact des tangentes issues du point Q à toutes les courbes du réseau.

26. II reste enfin le cas le plus simple, où toutes les courbes du réseau ont trois ])oints communs, et où la Cayleyenne se compose de ces trois points.

nu SYSTÈME PONCTUEL DU TEOISIÈME Olinr.E.

Equation ç^cnéralc en coordonnées ordinaires :

27. Considérons quatre coniques quelconques C, C, C", C"; cliacun des deux réseaux [CCC] et [C'.C".C'"] donne lieu à une Cayleyenne; ces deux courbes, étant de la troisiènn' classe, admettent neuf" tangentes communes, qui rencontreront les coniques de cbacun des deux réseaux suivant une involution linéaire (19). Parmi ces neuf tangentes, il y en a six qui sont les cordes communes aux coniques C et C", qui font partie des deux réseaux (19), et pour lesquelles les involutions suivant lesquelles elles coupent chaque réseau ne coïncident pas, puisqu'elles n'ont qu'un segment commun, celni qui est déterminé par les deux points communs aux coniques C et C"-, pour les trois autres, les deux involutions coïncident, car elles ont deux segments communs, déterminés sur chacune d'elles par les coniques C et (S/' . Il y a donc trois droites qui rencontrent quatre coniques quelcon(|ues suivant huit points en inv(dution5 en un mot, ces (juatre couibes admettent trois couples de points conjugués; mais ils ne sont pas distincts, et l'un d'eux résulte des deux autres, comme l'exprinu; le théorème de liesse {\0).

Ces trois couples n'étant pas distincts, les cercles ayant pour diamètres les segments qu'ils interceptent doivent avoir même axe radical; ce qui résulte également d'un théorème connu sur le quadrilatère complet.

Nous allons étudier l'ensemble des coniques qui admettent ces trois couples non distincts et qui satisfont ainsi à deux conditions : c'est le sj sterne ponctuel du troisictne ord/e. Comme on le voit, il peut être défini : soit par deux couples, alors on peut en construire liiu-ai renient une courbe; quelconque 5 soit par quatre de ses courbes, alors la détermination des deux couples est un problème du troisième degré. Dans tous les cas, on peut énoncer le théorème suivant :

Théorîcme. — Jetant doiiuées quatre coniques quelconques, on peut les coi?ihiner trois à trois de quatre manie/ es. On obtient ainsi (juatre réseaux et quatre Ca') lejennes. Ces (juatre courbes ont trois tangentes conununes qui coujient les quat/e co/iiques suivant une inwolution linéaire.

28. Cherchons maintenant à construire une courbe quelconque d'un pareil système, défini par quatre de ses courbes. Si nous nous en donnons un point, ou un couple de points conjugués, les courbes correspondantes, admettant trois couples distincts, formeront un réseau (18). D'ailleurs trois de ces courbes sont évidemment les trois courbes qui admettent le couple donné et qui passent respectivement par l'intersection des coniques C et C, C et C", C" et C'"*, nous pourrons donc ainsi construire autant àv. courbes du système que nous le voudrons, et nous arrivons en même temps au théorème suivant :

Théorème. — Etant données quatre coniques quelconques, les six coniques (jui passent par l intersection de ces quatre courbes combinées deux à deux, et qui admettent un couple donné de points conjugués, ou qui passent par un point donné, appartiennent à un même réseau.

DES SYSTÈMES PONCTUELS. 3.i

29. Un couple quelconque de points conjugués déterminant dans un système du troisième ordre un réseau dont la Cayleyenne est tangente aux trois droites sitr lesquelles se trouvent les trois couples de points conjugués du système du troisième ordre, il en résulte, en vertu des propriétés de cette courbe (19), que cette quatrième droite quelconque, qui renferme le couple, rencontrera les trois premières en trois points dont les conjugués harmoniques sur chacune d'elles sont en ligne droite 5 c'est une démonstration de ce théorème connu :

Théorème. — Si l'on coupe par une droite quelconque le triangle dont les côtés sont les diagonales d'un quadrilatère complet, les trois points situés sur chaque côté et /cspectii'enient conjugués harmoniques par rapport aux extrémités de la diagonale du point d' intersection de ce côté avec la droite sont en ligne droite.

30. Les courbes d'un système du troisième ordre étant assujetties à deux conditions, il y aura dans le système une infinité de cercles ayant même axe radical. Ils formeront un faisceau orthogonal aux deux cercles ayant pour diamètres les segments déterminés par les couples de points conjugués.

11 y aura aussi un réseau d'hyperboles équilatères, déterminé par trois quelconques des six hyperboles équilatères qui passent par les points d'intersection des quatre coniques données prises deux à deux (28).

31 . Comme cas particulier du système du troisième ordre, on pourra avoir à considérer toutes les coniques qui passent par un point donné et qui admettent un couple donné. Soient alors C, C, C", C" les quatre courbes qui déterminent le système: les deux réseaux (C, C, C") et (C, C'C") donnent lieu chacun à une Cayleyenne, composée du point fixe et d'une conique (24). Ces deux courbes admettent neuf tangentes communes qui sont les quatre tangentes communes aux deux coniques S et S', les quatre

34 «iiAiMTiîp; ri.

tangentes iu<'iu''<'s à tes courhes du |)i»inl lixe et une (li'<Mt»' quek'onquo passant par le poi)U ii\c. Mais nous savons ([uc sur CCS neuf tangentes communes, il va les six cordes communes aux coniques C et C", qui ne coupent pas les courbes du système suivant une involution. Sur ces six cordes, trois ne passent pas par le point tixeet sont conséqueminent tangentes communes à Z et S'; les trois tangentes communes qui coupent les courbes du svstème suivant une involution sont donc la quatrième tangente commune ù S et à L', poui' la<[uelle liiivolulion ne présente rien de particuliei-. et deux droites (jnelconques passant par le point fixe, pour lesquelles l'involution a ses points douilles confondus. Ou peut concevoir ce cas comme une limite du précédent, en supposant que le point P, se confonde avec le point Qj, le couple P, (^1 ne changeant ])as, alors le point P3 vient se confondre au même point avec le point Q^- l^a tangente commune à E et à S' serait alors P, Qi, et le point commun serait Q^.

On peut concevoir eu outre que le point P, vienne se confondre avec le point Q,, ce qui donne lieu au cas le plus simple, celui où le système du troisième ordre se compose de toutes les coniques qui ont deux points communs.

32. Citons encore le cas où deux sommets du quadrilatèi-e PiQi^^sQsi ^fiS- ^^' sommets n'appartenant pas an même

Fip. 6.

roupie, viendraient à se (^onloiidic, par exemple, Pj et P. Alors le point A se confondrait en ce ])oint aver le point Q$.

DKS SYSTÈMES PONCTUELS. 35

et Pj l'taiit à la t'ois conjugiu' de P3, de Qi et de Qj, il en résulte que la droilc QiQ? serait la polaire de ce point; le système se composerait donc de toutes les courbes pour lesquelles ou connaît la polaire d'un point.

33. Problème. — Construire la droite, qui forme a\>ec une droite donnée conique d' un système du troisième ordre.

Il suffira, pour cela, de chercher les points d'intersections yV et B de la droite donnée avec une conique du système, et de construire les deux autres points par où passent toutes les coniques du système qui passent par les points A et B (1 3) ^ la droite qui joint ces deux points est la droite cherchée. Ce problème exige la détermination par points de trois coniques; car si A et B sont les points d'intersection de la droite donnée avec la conique C", il faudra construire les coniques A (C, C), A (C, C"), qui forment avec C" un réseau, dans lequel le faisceau dont deux coniques sont C" et B [A(C, C'),A(C',C")] détermine les deux points cliercliés que l'on peut construire quadratiquement, puisque l'on connaît déjà A et B.

Si le système est déterminé par le quadrilatère Pj Q, Pj Q2 , la droite cherchée sera celle qui joint les points conjugués harmoniques sur chaque diagonale et par rapport à ses extrémités de son point d'intersection avec la droite donnée. La construction est alors linéaire.

nu SYSTÈME PONCTUEL DU QUATRIÈME ORDRE.

Equation générale en coordonnées ordinaires :

).C + ^G -f- vC"-f- pC"'-+- (7C""= o.

34. Si enfin l'on considère cinq coniques quelconques C, C, C", C", C"", cette fois, il n'arrivera pas généralement qu'il existe une droite qui les coupe suivant dix points en involution ; il faudrait pour cela que l'un des trois couples du svstènir de troisième ordre [C,C',C",C'"] coïncidât avec

36 CHAVITRK n.

l'un des trois couples du système [C',C",C'",C""]. Néanmoins, ces cinq courbes satisfont à une condition commune, qui nous apparaîtra plus tard explicitement (119\ et dont nous allons implicitement faire voir l'existence. Supposons, en eHVt, que l'on se donne un couple de points conjugues, PjQ,, ou un point, et que l'on construise les quatre coniques qui admettent ce couple ou passent pai" ce point, et qui passent respectivement par rinlerseclion des coniques [C,C'], [C,C"], [C",C'], [C'",C'"]. On peut combiner ces cinq coniques deux à deux de six autres manières, et construire six autres coniques analogues^ considérons, parmi elles, la conique qui admet le même couple et passe par l'intersection des coniques C et C"; elle appartient au svstème (lu troisième ordre, déterminé par les quatre })remières. En ellet, les trois coniques P, O, [C,C'], P,Q, [C',C"] et PjQ, [C",C], ayant en commun le couple PiQi, et les trois couples communs aux coniques C,C', C" appartiennent à un même faisceau (10) ; par suite, les quatre coniques P.Q.[C,C'], P,QaC',C"], P,Q,[C",C], P,Q.[C",C'"] appartiennent à un môme réseau-, enfin, les cinq coniques en question appartiennent à un même système du troisième ordre, et de même les cinq autres. On donne le nom di' système du cjuatrièine ordre à rensemble des coniques (jue l'on peut ainsi construire de cette façon, au moyen des cinq premières; elles sont assujetties à une condition, puisque celles d'entre elles qui admettent un couple de points conjugués en admettent un autre distinct du premier, et nous énoncerons le théorème suivant :

THÉORÈME. — Si l'on coinhûie deux à deux, de dix manières différentes, cinq conir/ues quelconques, et que r on construise les dix coniques qui /tassent par les points d' intersection de deux d'entre elles et admettent un même couple de points conjugués, ces dix courbes appartiennent à un même système du troisième ordre.