Parmi les courbes de ce système, il v aura n\\ sys

1>KS SYSTEMES l'ONCTCELS. S''

ù'nic (lu lioisièiiie ordre J' hyperboles écjuilalères, dont <Hialr<' ( oiiihi's sei-oiit les tjualre hyperboles équilatèrtîs ijni passent par les points d'intersection des coniques :C,C'], [C',C"], [C",C"] et [C",C""]; et un réseau de cercles que l'on pourra construire en se donnant deux <i)U[)Ie.s de points conjugués situés à l'infini, dans des dire(Mions per|)endiculaires ; soient Pj Qi et PjQ, ces deux (ouples déteruiinant ainsi implicitement les points circulaires de riniini, il sullira de construire d'abord les quatre coniques P.QjC,C], P.Q,[C',C"], P,Q.[C",C"] cl Pi(^i [C"',C""] ; trois des coniques qui admettent le couple PaQî, t;t qui passent par les points d'intersection de ces ((uatre courbes prises deux à deux, seront des cercles, puis- <ju'i'lles seront à la fois conjuguées aux deux couples PiQi <:t P2Q2,et appartiendront au système du cjuatrième ordre, puisqu'elles appartiennent au système du troisième ordre, <léterminé par les quatre coniques précédentes (28), lequel lait lui-même partie du système du quatrième ordre (34).

On résoudrait de la même façon tous les problèmes relatifs à ce système, tt dans lesquels il s'agirait de construire <les coniques au moyen de points ou de couples de points conjugués,

36. PROBLiiME. — Cotistruire im sjstètne de deux droites formant, conique d'un, système du quatrième ordre.

On pourra d'abord se donner une des deux droites et un point de l'autre droite, puisque cette conique est déjà assujettie à deux conditions qui sont de faire partie du système vX d'être un système de deux droites. Soient A et B les points d'intersection de la droite donnée et d'une conique (jui'lconquc du système; toutes les coniques du système qui passent par ces deux points forment un réseau à deux points <()mmuns, que l'on pourra déterminer par trois de ses courbes (35), et dans lequel on pourra construire le point O f2o\ puisque l'on connait les deux points A et B. J^a di'oitc qui joindi'a le point donné à ce point (^ lornieja.

38 CHAPITIU; II. DES SYSTEMES 1H).\CTVELS.

avec la droite donnée, une conique qui iera partie du réseau (2o), et, conséquemment, du système du quatiièine ordre. On peut même dire qu'une droite quelcoiujue passant par le point Q forme avec la droite donnée conique du réseau (25).

Ce point Q serait donc le même, quels que soient les deux points A et B sur la droite donnée; nous en verrons la raison géométrique (119).

La recherche de ce point exige la détermination par points de cinq coniques, car, si A et B sont les points d'intersection de la droite donnée avec la conique C"'', il faudra construire les coniques A[C.C'], A[C'.C"] et A[C".C"], qui, avec C'"', détermineront un système du troisième ordre, dans lequel les coniques B[A(C.C'^ . A (C'.C")] et B[A(C'.C"). A(C".C")] détermineront avec C"" le réseau cherché. Dans ce dernier, on pourra trouver h; point (^, puisqu'on connaît les points A et B.

37. Ici se termine ce que nous avons à dire sur les systèmes ponctuels 5 l'on peut, comme nous l'avions annoncé, remarquer que leur étude, outre qu'elle était nécessaire pour les applications que nous en ferons, nous a permis de résoudre des problèmes, consistant à construire une conique dont on connaît cinq éléments, points ou couples de points conjugués, problèmes que nous avions déjà résolus lorsque ces éléments sont donnés directement, nous a permis de les résoudre dans le cas beaucoup plus génc-ral où ils sont donnés implicitement, par exemple, quatre points par l'intersection de deux coniques dont on connaît les éléments, trois ou deux couples par trois ou quatre coniques auxquels ils sont communs et également déterminées, ^lous reviendrons sur ces systèmes à propos d(.' la condition ponctuelle la plus générale.

DIS svsrixn.s i \ >(;i;>riEl.s. 39

CMAPlTUi: IIJ.

L)i:S SVSTi:Ml£S TAMil-:NTll-:LS.

m SYSTEM!-: TANC.KM'IKL DE l'IlEMlER OIlPIiE, 0\ lAISCEAl lAiVGEKTIEL.

/:i/i/a(io/i ^rriéralc en coordonnccx taiigcnticUcA: ).C + aC'= O.

38. ]\ous allons passer inaintenaiit à 1 eluclc; des svsloiiics laiii;oiiticls; nous v retrouverons toutes les propriétés corr'elati\es des précédentes, par voie de dualité, ce (jui nous pernu'ttra d abréger un peu.

Ln s}stènie tangentiel du pronier ordre, ou jdiscean larii^eiiLiel est l'enseuible des coniques tangentes à (juatre droites. D'après le théorème corrélatif de celui de Desargues- Sturni, les tangentes menées à ces courbes d'un même poiiil (|uelcon(pie forment un laisceau eu in\o]ulioii, dont, par suite, les ravous doubles sont un svstème de droites ionjuguées communes à toutes ces coniques^ et l'on verrait, par un raisoiiuemcnt analogue à c<>lui (pie nous a\()ns fait poiu" le faisceau ponctuel (9), (pu-, réciproquement, toutes les coni(pu\s (|ui admettent quatre couples distincts de droites conjuguées ont quatre tangentes communes. Trois «ouples distincts en enlrainent également une infinité, ainsi que nous le verrons plus loin ; enfin, deux couples en entraînent un troisième, ainsi (jue cela résulte du théorème sui\arit :

THÉoi'.i.AiE. — Si les deux couples de côtes opposes d un (Quadrilatère sont conjugues par rapport à une

4o (H AI' nui; m.

coniifiw, les diagoruila sont cnissi conjuguées pur rapport à cette courbe ( ' ) .