Il résulte de la réciproque ])récédeute
1° Que toutes les coniques qui ont trois tangentes communes et un système de droites conjuguées cornm.unes ont une quatrième tangente commune.
Soient abc le triangle des trois tangentes, et P, Q les deux droites conjuguées : on obtiendra la quatrième tangente en joignant un sommet c du triangle au point d d'intersection de P et Q, prenant la conjuguée iiarmonique de cd. par rapport à P, Q, et son point d'intersection e avec le côté ab ; on déterminera ainsi trois points e, y, g^ qui seront en ligne droite sur la tangente clierchée^ d'où ce théorème :
THÉORÎLME. — Etant donnés un triangle et un faisceau en inwolution linéaire, les trois points situés respectivem.ent à V intersection de chaque côté du triangle et du rayon de V involution conjugué de celui qui passe par le sommet opposé, sont en ligne droite.
40. Corollaire. — Si les droites P et Q sont les asymptotes d'un cercle, le premier énoncé devient le suivant:
Toutes les coniques qui sont tangentes à trois droites^ et qui sont vues d' un point dojiné sous wi angle droit, admettent une quatrième tangente commune.
On sait que le lieu des points d'où l'on voit sous un angle droit une conique donnée est un cercle concentrique à la courbe, et dont le carré du rayon est égal à la sonune des carrés de ses demi-axes (^). Comme nous aurons souvent ce cercle à considérer, nous lui donnerons le nom de cercle orthoptique de laconique (de op6os^ di'oit, et OTTTCj^/at, je vois). Les cercles ortlioptiques des deux coniques qui
(') Hesse, De ctirt'is et supei ficiebus sccundi ordinis {Jourtial de C relief t. XX, p. 3oi; i8',o).
(') Voici une démonstration pconietrique, trcs-siinpie, de cette prorictc : supposons, par exemple, que la courbe soit une ellipse, et sort M un
mes SYSÏEMKS TAAGKMIKLS. 4(
déliiiisseiit un i'aisceau tangeiitiel se couperont donc en deux points, d'où les couples de tangentes issues à ces deux courbes seront rectangulaires, et comme les tangentes issues de chacun de ces points à toutes les courbes du faisceau sont en involution, il en résulte que tous les autres couples sont également rectangulaires. La réciproque du théorème précédent est donc aussi vraie, et peut s'énoncer ainsi :
Il existe deux points [réels ou imaginaires) d'oii l'on voit, sous un angle droit, toutes les coniques tangentes à quatre droites données.
jNous leur donnerons le nom de soîuniets oi'tlioptiques du faisceau.
point d'où on la voit sous un angle droit {Jîg. 7) ; soient AB la corde de
Fig. 7.
contact, O le centre et a', b' les demi-diamètres conjugués parallèles à OM et à AB; on a
OM = OIh-IM = ^-i-IM; OM
mais l'angle M étant droit,
IM = lA = — Va" — 01 {Sections coniques, p. iJ.'i),
ou, en remplaçant OI par prr;' ■>
