IM

Kempla<;ant IM par cette valeur, et simplitiatil, il reste

OM' ==a" -t-/!'"^'i' -»- ft'. r.. q. y. 0,

/[1 CHAI ITI'.h III.

Nous icv iiMuli'oiis plus loin (87) >iir telle piDjU'ii-ti- rein.ir(|iial)I(' el sur ses eonscqueuces ( ' ).

Les trois tliai^ouales du (juatlrilalèie des quatre tani^cutes pouvant être regardées connue des coniques du laisceau. nous retombons ainsi sur ce théorème connu :

Les cercles ayant pour diamètres les trois diagonales d'un quadrilatère complet ont ?nème axe radical.

41 . 2" Que toutes les coniques qui ont deux tangentes communes et deux couples de droites conjuguées comrinines admettent deux autres Lnngenies communes .

Pour les construire, on se donnera une troisième tangente passant parle point d'intersection des deux droites formant un des couples donnés (^), on en conclura une quatrième tangente passant j)ar le même point, et l'on pourra en construire une cinquième tangente au moyen de trois de ces quatre tangentes et du second couple (39). En changeant la troisième tangente, on construira de la mènu' façon une seconde conique, qui aura avec la première les deux tangentes communes données et les deux tangentes communes cherchées.

i2. 3^ Que toutes les coniques qui o/it une iangcnlr commune et trois couples de droites conjuguées co/ninunes admettent trois autres tangentes communes.

On ne peut les construire linéairement; mais on peut

(' ) ]N'ous avons publié ce Ihéorénie dans los Comptes rendus de la Sociàtc philomnthitfuc (journal l' Institut, 20 décembre i8()j), croyant l'avoir remarque le i)reniier. Depuis, nous l'avons rencontré dans un ouvrage de Plucker intitulé : yinalitisch-ifeoinetrisclie Entwickliinifen, t. Il, p. igS ; i83i. Plucker l'a démontré analytiquement, ainsi que M. P. Serrct (Géométrie de direction, p. ii3; 1869). Nous ne croyons pas qu'il on existe tic démonstration plus simple que celle qui le déduit imniediatement du Théorème corrélatif de celui de Dosargues-Sturm.

IVous avions d'abord adopté l'expression orthogone {I/>id.\ [J^oir aussi Htipport sur les progrès de lu (7f''<v«fV/7V"( ('.iiasi.es, p. i~o; i87o\]î\ous l'avons remplacée par l'expression orthoptiqiic, qui nous a |iaru plus convenable.

(') Pour plus de sini|)licite, nous appellerons ce ]>oiiit le uinmiet du «ponple.

UF.S SYSTÈMES TA>(;i:> T IKLS . 4'-'^

(•uustruiie deux de ces coniques eii s en donnanl une laugenle passant par les sommets de deux des trois couples donnés. Elles auront la tangente commune doum'-e et les trois tangentes coiuniuues cherchées.

4-3. Problème. — Construire une conùjue, connaissant quatre tangentes et un couple de droites conjuguées.

1° Si les quatre tangentes sont données directement, au moyen des deux droites conjuguées et de trois quelconques d'entre elles, on pourra construire une cinquième tangente de la conique (39) ;

2° Si ce sont les tangentes communes à deux coniques déterminées, on connaîtra les tangentes issues du point d'intersection des droites conjuguées à la courbe cherchée^ elles seront les rayons conjugués communs à deux faisceaux en involution linéaire.

44. Problème. — Construire une coniijue, connaissant trois tangentes et deux couples de droites conjuguées.

Au moyen des trois tangentes données et de chaque couple de droites conjuguées, on construira successivement une quatrième et une cinquième tangente de la conique (39).

43. Problèime. — Construire une conique, connaissant deux tangentes et trois couples de droites conjuguées.

On construira deux des coniques qui admettent ces deux tangentes et deux des couples donnés, en s'en donnant une troisième tangente (44) ; elles détermineront un faisceau tangentiel dans lequel on construira la conique qui admet le troisième couple (43).

46. Problème. — Construire une conique, connaissant une tangente et quatre couples de droites conjuguées.

11 suffira de construire une conique admettant la tangente donnée et trois coujdes donnés, en s en donnant une seconde tangente, que l'on lèra passer, pour plus de siinplitité, par les sommets de deux couples. Il en résultera une tangente dans chacun d'eux ; on connaîtra donc elfectivement quatre tangentes et un couph* de droites conjuguées

44 rnAi'inu. m.

tic la ri)iM(jiU' aiixiliaitc ; oti en (.DiKsltuiia de luèiiu' uiu' seconde, (les deux combes détermineront un laisceau laiigeiiliel, dans lequel ou consliuira la conique (jui admet le quatrième couple (^3).

47. PiioBLiiME. — Construire une cunù/ue, connaissttnt cinq couples de droites conjuguées.

On construira deux coniques admettant quatre des couples donnés, en s'en donnant arbitrairement une tangente passant par le sommet de deux des couples^ elles détermineront un faisceau tangenticd dans lequel on construira la ionique qui admet 1(î ciuquiène couple, solution aussi simple que sa corrélative.

48. Ainsi se trouvent résolus tous les problèmes dans lesquels on peut se proposer de construire une conitpie déterminée par cinq conditions tangentielles telles que tangentes ou couples de droites conjuguées, données directement, en entendant par condition tangentielle touticondition telle, que quatre d'entre elles déterminent toutes les coniques qui ont quatre tangentes communes. Nous verrons plus loin quelle est la plus générale ; quoi qu'il en soil, counne cas particulier des précédent(;s, nous pouvons indiquer dès à présent : i° un point du cercle ortlioptiquc, car les droites qui joignent ce point aux points circulaires de l'infini forment un couple de droites conjuguées^ il en résulte que le centre et la somme des carrés des axes équivalent à trois conditions tangentielles; a" un foyer, (jui «'■(piîvaut à deux conditions tangentielles, car les droites <pai joignent ce point aux points circulaires de 1 inlini sont tangentes à la courbe; 3" un sommet ortlioptiquc (40) d'un laisceau tangentiel équivaut à deux conditions tangentielles; 4° 1» condition d'être une parabole équivaut à une condition tangentielle, puisque c'est dire que la droite de I infini est tangente à la coinbe, d'où il résulte (|u un lais- <'cau tangenlielu'admel eu gc-ui-ral (pi une parabole, et (pie .s il en admet deux, luulcs les courbes du laisceau sont i\c>

I)i:S SVSTEMFS rV.\C.K.\TIKI.S. 4*

[)aral>(»l('s. En nu mot, toutes les paraboles lani^eutos à trois tlroites lornicnt un faisceau tangenliel.

L'étude des systèmes tangentiels d'ordre plus élevé que le premier, c'est-à-dire des coniques satisfaisant à une, deux, ou trois conditions tangentielles va nous permettre de résoudre les mêmes problèmes que précédemment, dans le cas où les conditions données le sont par la connaissance d'un (;ertain nombre de coniques qui satisfont à plusieurs d'entre elles.

m SYSTEME TAKGEKTIEL DU SECONU OIUIIÎE OT' RÉSEAU TAKGEKTIEL.

Equation gc/n'-rale en coordonnées tangentielles : aC -^ aC'-l- vC"=o.

49. La définition du réseau tangentiel dérive du théorème d'après lequel les trois coniques tangentes à une droite donnée et admettant respectivement les mêmes tani;entes communes que trois coniques fixes, j^rises deux à deux, admettent trois autres tangentes communes et constituent un faisceau tangentiel. On obtiendra donc un faisceau quelconque du réseau défini par trois coniques en s'<m donnant arbitrairement une tangente.

30. Théotvîîme. — Toutes les coniques qui admettent, trois couples distincts de droites conjuguées communes, for/fient un réseau tangentiel.

Ce théorème se démontrerait par un raisonnement tout à fait analogue à celui qui concerne le réseau ])Onctuel (18).

Réciproquement :

Théorème. — Toutes les co/iiques d'un réseau tangenliel admettent une infitiité de couples de droites conjuguées communes, dont trois sont distincts.

51. Le lieu du point d'intersection de deux droites conjuguées de ce groupe est une couibe du troisième degré, qui peiil ètir (It-diiie par tiois de ses points et deux (h(»ites

46 ( HAI'ITIU, III.

pai'ticulii'ri's passant |)ar cliarun tl\'u\. C est la liessieiuu' (lu réseau (*). Les trois points d intersection d'une droite quelconque avec cette courbe sont les points d intersection de cette droite avec les trois autres droites du plan qui sont tangentes à toutes les courbes du réseau tangentes à la première.

Pour obtenir le troisième point d'intersection de la coiu'be et de la droite qui joint les sommets de deux des couples donnés, il suffira de construire les conjuguées liarmoniques de cette droite par rapport aux deux couples dont elle joint les sommets, de joindre leur point d'intersection avec le sommet du troisième couple donné, et de construire la conjuguée barmonique de cette droite par rapport au troisième couple; elle passera par le point cberclié.

La courbe étant définie comme nous l'avons dit, on en aurait donc autant de points qu'on voudrait, et l'on verrait qu'ils se groupent deux par deux, et que ces groupes de deux points sont les coniques du réseau qui sont réduites à deux points. D'où l'on conclut que :

Les dix-huit ombilics communs à trois coniques quelconques prises deux à deux sont sur une même courhe du tioisième deqré.

11 en résulte en outre que cbacun de ces systèmes de deux points est conjugué ])ar rapport à cbacun des couples de di^oites conjuguées dont la courbe est le lieu des sommets, d'où ce tbéorème :

Théorème. — Si l'on joint chaque point 'variahle de In courbe à un point Jixe pris sur elle, et qu'on construise la

(') C'est en effet Hesse qui a démontré le premier que toute courlic du troisième degré peut être considérée, de trois manières différentes, comme le lieu des couples de points conjugués communs d'un réseau ponctuel {Journal de Crelle, t. XXXVI, p. i/|3), ou, ce qui revient au même, ainsi que nous le verrons plus loin, comme le lieu des sommets des couples de droites conjuguées communes d'un réseau tangenliel. Il l'a démontré analytiquemcnl, et en a déduit géométriqueinent un (-erliiin nombre de projiriétés de ces courbes.

I)l> SYSÏEMKS TANGENTIKI.S. 47

coiijui^iK'c luiintonique de celte (Iroite par rapport au couple correspondant à ce point variahle, toutes ces droites passent par un second point de la courbe, formant avec le jjietnier co/iit/ue du reseau.

J) Où 1 011 coiitlul (jue, lorsque quatre couples de droites ronjuguées ne sont pas distincts, si Ion construit les trois droites qui joig,nent le sommet de l'un d'eux à celui des trois autres, et leurs conjuguées harmoniques dans chacun de ces trois couples, ces trois dernières droites passent par un même point.

^Nous reviendrons plus loin sur cette courbe, qui jouit de propriétés si remarquables, et son étude, comparée à celle de la Cayleyenne d'vui réseau ponctuel , achèvera de nous faire connaître ses curieuses propriétés.

52. La condition pour une conique d'être vue d'un point donné sous un angle droit étant une condition tangentielle, il en résulte le théorème suivant :

Théorème. — Les trois coniques vues d'un point donné sous un angle droit et qui admettent les mêmes tangentes conmiunes que trois coniques données, prises deux à deux, ont quatre tangentes conmmnes.

Si cependant les trois coniques qui définissent un réseau étaient vues d'un même point sous un angle droit, cela prouverait que les droites qui joignent ce point aux points circulaires de 1 infini forment, avec les trois couples qui peuvent aussi déterminer le réseau, un système de quatre couples non distincts, c'est-à-dire que toutes les coniques du réseau sont aussi vues du point donné sous un angle droit. Il suffit pour cela qu'il y ait dans le réseau trois courbes jouissant de cette propriété et n'admettant pas quatre tangentes commun»:s.

53. La condition d'avoir pour foyer un point donné étant une double condition tangentielle, il en résulte qu'il y aura toujours dans le réseau une conique ayant un poini donné pour fovcr; si ce point est sur la Hcssif^niic, et (pis-

,/jS (HAI'Ukk m.

U\s droites conjuguées qui passent par ce point ne st)ienl pas conjuguées harmoniques par lapport aux droites A et H qui le joignent aux points circulaires de 1 intini, c'est-à-dire perpendiculaires, le point fera partie de la conique dont il est le foyer, puisqu'elle est tangente aux droites A et B et à leurs conjuguées harmoniques par rapport au couple de droites (]ui se coupent en ce point; cette conique sera donc réduite à deux points, et l'on aura le second point au moyen du théorème énoncé précédemment (51). Si au contraire h'S deux droites conjuguées sont perpendiculaires, la condition d'avoir pour loyer le point considéré cessera d'être double, (ît il y aura une infniité de courbes du réseau qui y satisferont-, de plus, elles formeront un faisceau, c'està-dire qu'outre le foyer commun, elles auront deux autres tangentes communes.

54. La condition d'être une parabole étant une condition tangentielle, on en conclut les théorèmes suivants :

Théorème. — Les trois paraboles qui admettent les mêmes tangentes communes que trois coniques données, prises deux à deux, ont trois tangentes communes à distance Jînie (•).

Théorème. — Toutes les paraboles d'un réseau tangentiel ont trois tangentes communes, à distance finie.

Et si trois courbes du réseau sont des paraboles qui n'aient pas trois tangentes communes, toutes les courbes du réseau sont des paraboles.

55. Problème. — Construire, dans un réseau tangentiel. le faisceau déterminé par une droite.

\\ suffit de construire deux des trois coniques tangentes à celte droite et admettant les mêmes tangentes communes (jue les trois coniques, ])ris('s deux à deux, qui déterminent h' réseau (49).

l^iîoBLÈME. — Construire, dans un reseau tangentiel,

(') r.TiAsi.r.s, Traité (tes Sections coniques, p. 289.

DF.S SYSTÈMKS T ANGENT lELS . ^g

le faisceau dôterttiinc par un ,?> stètne de deux droites conjuguées.

11 suflit de construire deux des trois coniques conjuguées à ces deux droites et admettant les mêmes tangentes communes que les trois coniques, prises deux à deux, qui déterminent le réseau (43). Elles admettront les trois couples de droites conjuguées du réseau, outre le couple donné, et conséquemment auront quatre tangentes communes (38).

De la solution des problèmes précédents, on conclut celle des suivants :

Construire une conique d' un réseau tangentiel, connaissant :

I ° Deux tangentes,

2° Une tangente et un couple de droites conjuguées,

3" Deux couples de droites conjuguées, problèmes déjà traités , dans le cas où les trois couples de droites conjuguées du faisceau sont donnés directement (45,46,47).

Si les deux tangentes données sont imaginaires, la solution du premier de ces problèmes n'est pas applicable \ si elles sont imaginaires conjuguées, on pourra remplacer leur connaissance par celle de deux couples de droites réelles conjuguées par rapport à elles, et l'on tombera alors sur le troisième problème. Ainsi, pour construire la conique d'un réseau qui a pour foyer un point donné, on tracera par ce point deux couples de droites rectangulaires, on construira deux des coniques du réseau admettant l'un des couples ; elles détermineront un faisceau dans lequel la conique qui admet le second couple aura le point donné pour foyer, tandis qu'on n'aurait pas pu construire deux des coniques du réseau tangentes à la droite qui joint le point donné à 1 un des points circulaires de l'infini.

56. Cas particuliers du réseau. — Toutes les coniques qui ont deux couples de droites conjuguées communes et

t)0 CHAPITRE m.

qui sont laugcntcs à une droite fixe peuvent être considérées comme conjuguées par rapport à deux droites qui se confondent avec la tangente commune, et forment conséquemmeut un réseau. La Hessienne du réseau se compose de cette droite et d'une conique dont il est facile de trouver cinq points, savoir : les deux points A et H où se coupent les deux droites de chacun des deux couples donnés, le point d'intersection des conjuguées harmoniques de la droite Alî dans chacun des couples, et enfin les points doubles de l'involution linéaire dont deux couples de points conjugués sont les points d'intersection de la tangente commune avec les deux couples de droites conjuguées. Cette conique est donc déterminée, et les couples de droites conjuguées se coupant en chaque point de la courbe s'obtiendront facilement, puisque à chaque point de la tangente commune correspond un point de la conique, formant avec lui conique du réseau 5 on n'aura donc qu'à mener par chaque point de la conique deux droites conjuguées par rapport à deux de ces couples de points. De plus, le rapport anharmonique de quatre points de la tangente commune est égal à celui des droites qui joignent un cinquième point quelconque de la conique aux quatre points correspondants. Donc :

Théorème. — Si une conique passe par les trois points de rencontre des côtes opposes d' un (/uadrilatère et par les points doubles d'une involution linéaire dont deux couples de points conjugués sont les points d' intersection d'une droite fixe avec les côtés opposés du quadrilatère, à chaque point de la conique correspond un point de la droite fixe, formant avec lui un couple de points conjugués par rapport aux trois couples de côtés opposés, et le rapport anharmonique de quatre points de la droite fixe est égal à celui des droites qui joignent un cinquième point qiLelcon(jue de la conique aux quatre points correspondants.

DES SYSTEMKS TAINGF.IVTIEI.S . DI

Enfin, le tliéorèmc général énoncé plus haut (5P devient :

Théorème. — Etant dounccs trois co/ii(/ues (/iie/co/K/ucs ayant une tangente coninnine, elles ont, deux à deux. dix-Iiuit onihilics communs, dont neuf sont situés sur la tangente commune; les neuf autres sont sur une même conique.

Si la tangente comniune est la droite de l'infini, le théorème devient :

Les neuf ombilics communs, situés à distance finie, de trois paraboles quelconques , prises deux à deux, sont sur une même conique.

57. Si toutes les coniques du réseau ont deux tangentes communes, on a un second cas particulier de ce système. La Hessienne se réduit alors à trois droites qui sont les deux tangentes communes, et la droite Q, lieu des ombilics des coniques du réseau prises deux à deux, ombilics qui ne sont pas sur les tangentes communes. Les tangentes issues d'un point quelconque de cette droite à toutes les courbes du réseau forment un faisceau en involution linéaire, dont deux rayons conjugués .sont cette droite et celle qui joint le point considéré au point d'intersection des deux tangentes communes. L'enveloppe des rayons doubles, qui est aussi celle des couples de droites conjuguées, est une conique tangente aux deux droites données, dans laquelle le point d'intersection de ces deux droites a pour polaire la droite Q, et enfin qui est aussi l'enveloppe des tangentes à toutes les coniques du réseau en leurs points d'intersection avec la droite Q. Nous passons rapidement sur ces propriétés, dont nous avons démontré les corrélatives (2o).

58. Si les deux tangentes communes sont les droites qui joignent un point F du j)lan aux points circulaires de l'infini, le réseau est l'ensemble des coniques qui ont un foyer commun F et qui ont un même système de droites conjuguées. C'est le réseau coirélalif du réseau ponctuel coni-

(HAPnuK m.

posé de l'cnseinhle des cercles qui coupent orthof^onalement un même cercle. Or nous avons fait voir qu'à des cercles se coupant ortliogonalement correspondent par voie de dualité des coniques confocales telles que, les cercles ayant leurs grands axes pour diamètres res])ectifs, se coupent ortliogonalement ('). De là résulte, comme il est facile de s'en rendre compte, que, si le réseau qui nous occupe est défini par trois de ses coniques, ayant pour foyer le point F, on décrira les trois cercles ayant leurs grands axes pour diamètres et leur cercle orthogonal commun, et l'on obtiendra une conique quelconque du réseau, en décrivant un cercle quelconque coupant ce dernier ortliogonalement, joignant son centre O au point F, et prenant le diamètre OF du cercle pour grand axe de la conique, O pour centre et F [)Our loyer. En outre, la conique enveloppe des couples de droites conjuguées sera la conique <^oncentrique au cercle orthogonal commun, et s'en déduisant de la même façon.

59. La propriété relative au c(M'cle ayant pour diamètre le grand axe d'une conique, pourra souvent être utile dans la solution des problèmes résolus plus haut (45), dans le cas où deux des conditions données seront un foyer. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de construii'e une conique ayant un point F pour foyer, et conjuguée à trois couples de droites-, le problème corrélatif consiste à construire un cercle conjugué à trois couples de points : c'est le cercle orthogonal aux trois cercles ayant pour diamètres les segments formés par ces couples de points. A l'un de ces cercles correspond, par ^oie de dualité, la conique ayant pour foyer le point F, pour diri'ctrice la polaire de <e point par rappoil à lun des couples de droites, et tangente à ces deux droites; le cercle, ayant pour diamètre son Ijrand axe, est immédiatement connu, puis([ue deux de ses

(') Nom'rllf^ À mutiez t/r Mathcmtitiifucs, 2'' sc'rio, t. V, p. i/|.S.