DKS SYSTÈMES TA.\GE>TIK].S

points sont les pieds des perpendiculaires abaissées du point F sur ces deux droites, et que la directrice connue est aussi, par rapport à lui, la polaire du point F. On en tire donc la solution suivante. On construira trois cercles, ainsi qu'il suit, au moyen de chacun des trois couples; du point F on ajjaissera une perpendiculaire sur chaque droite du couple; le cercle passera par les pieds des deux perpendiculaires, et la polaire du point F sera la même par rapport au cercle que par rapport au couple de droites. On construira ensuite le centre radical de ces trois cercles, et la conique cherchée aura ce point pour centre, le point F pour foyer, et sera doublement tangente, suivant le diamètre OF, au cercle orthogonal aux trois premiers.

DL SYSTÈME TAMGEîiTIEL DX. TROISIÈME ORDRE.

Equation gérirrale en coordonnées tangentielles :

> C -+- u-C + V C" -}- pC" = o.

60. Le système tangentiel du troisième ordre peut se définir par quatre coniques C.C'.C'.C'" n'appartenant pas à un même réseau. Aux deux réseaux [C.C'.C"], [C'.C".C'"] correspondent deux Hessiennnes qui ont neuf points communs, de chacun desquels on peut mener, aux courbes de chaque réseau, des tangentes formant une involution (51). Parmi ces neuf points communs, il y en a six qui sont les ombilics communs aux deux coniques C'etCqui font partie des deux réseaux. Les tangentes issues de l'un de ces six points aux courbes des deux réseaux forment deux involutions qui n'ont que deux rayons conjugués communs, savoir les deux tangentes communes menées par ce point aux deux coniques C et C", et qui, par conséquent, ne coïncident pas nécessairement, tandis (|ij(' ])our les trois autres points, les deux involutions conuident, puisqu'elles ont deux couples de rayons conjugués communs, qui sont les taji^

54 CHAPITHF 111.

gentcs menées aux conicjues C <'t C". D'où ce théorème: Théorème. — Il y a trois points d'oîi l'on peut mener à quatre coniques quelconques Iiuit tangentes en involution. En un mot, CCS courbes adnieUcnt trois couples de droites conjuguées, mais l'un d'eux résulte des deux autres, conformément au théorème énoncé ])lus haut (38), et ces trois points sont les points de rencontre des côtés opposés d'un quadrilatère et le point de rencontre des diagonales.

61. 11 est inutile d'insister sur la construction d'une courbe quelconque du système ; on pourra s'en donner soit trois tangentes, soit deux tangentes et un couple de droites conjuguées, soit une tangente et deux couples, soit trois couples. Elle donm; lieu aux théorèmes suivants, dont le second est connu.

Théorème. — Les six coniques qui admettent les mêmes tangentes communes que quatre coniques quelconques, combinées deux à deux et qui admettent un îJiéme couple de droites conjuguées, ou sont tangentes à une même droite, appartiennent à un même réseau.

Théorème. — Si l'on joint un point quelconque aux points de rencontre des côtés opposés et des diagonales d'un quadrilatère complet, les conjuguées harmoniques de cliacune de ces droites, par rapport au couple de côtés opposés correspondant, passent par un même point.

62. 11 y aura dans le réseau une infinité de courbes ayant pour foyer un point donné; elles formeront faisceau, c'est-à-dire qu'en outre elles auront deux tangentes communes. Les cercles ayant leurs grands axes pour diamètres auront même axe radical, et formeront un système orthogonal aux trois cercles ayant même axe radical, et déduits, comme nous l'avons expliqué plus haut (S9), des trois couples de droites conjuguées à toutes les courbes du système.

Toutes les courbes du système, vues d'un point donné sons un angle droit, formeront un réseau déterminé par trois (juelcoïKjues des six ironiques satisfaisant à cette cou-

IIKS SYSTÈMES TAJSGEJNTIELS. .")^

clition, et admettant les mêmes tangentes communes que les quatre coniques données prises deux à deux.

Toutes les paraboles du système formeront un réseau, et si quatre courbes du système sont des paraboles, toutes les autres seront aussi des paraboles.

63. Ce système donne lieu également à des cas particuliers. Toutes les courbes du système étant en elîet conjuguées par rapport à trois couples de droites qui sont les couples de côtés opposés et les diagonales d'un quadrilatère, on peut concevoir que la droite AB {fig' 8) vienne

Fig. 8.

se confondre avec la droite CD, auquel cas les diagonales se confondent avec la même droite, et l'on a l'ensemble des coniques tangentes à une droite et conjuguées au couple Fx\C, FBD. Si, dans la même hypothèse, les droites du dernier couple viennent à se confondre, on a toutes les coniques tangentes à deux droites.

Enfin, si les deux droites qui se confondent sont des côtés du quadrilatère n'appartenant pas au même couple, la droite qui en résulte étant à la fois conjuguée par rapport à deux autres est la polaire de leur point d'intersection, et l'on a l'ensemble des coniques par rapport auxquelles une droite a pour pôle un point donné. L'on voit donc que, dansée cas particulier, le système peut être considéré soit comme ponctuel, soit comme; tangentiel 1^32;.

La recherche du point (|ui forme avec un point donné conique du système, est analogue à la corrélative (33).

r.HAI'ITllK III.

DU SYSTÈME TANGENTIEL Dl QUATRIEME ORDRE.

Équation générale en coordonnées tangentiellcs :

>C + aC -f- vC" + oC" + (tC"" = o.

64. Le système du quatrième ordre sera déterminé par cinq coniques n'appartenant pas à un même système du troisième ordre. La construction d'une courbe quelconque du système résidte du théorème suivant, à la démonstration duquel nous ne nous arrêterons pas :

Théorème. — Les dix coniques qui admettent les nic/nes tangentes communes que cinq coniques quelconques prises deux à deux et qui admettent un même couple de droites conjuguées ou qui sont tangentes à une même droite, appai'tiennent à un même système tangcntiel du troisième ordre.

Toutes les courbes de ce système, comme celles du système ponctuel correspondant (34) satisfont à une condition commune, dont nous trouverons plus loin (93) l'expression géométrique.

On construirait deux points formant conique tlu système par une construction analogue à la corrélative (36).

PHOPIilETKS GEINERALKS DKS (:O.M(^)lK.S, KTC.