ES
ce qui exige, puisque À est > 0: B<2 et l'on obtient finalement :
si
(6) u>v po avec | 1<B<2 |
\ me Ze :
La condition (6) étant réalisée, désignons par 4: et # les coefficients angularres des tangentes menées de P à la courbe (C}). La droite (D) coupe (C) en trois points si l’on a : É
(Ar ee h<—R< | | | à : 7%
En résumé, donc, si l'ensemble des conditions (6) et (7) est réalisé, la population a trois équilibres asymptotiques possibles ; dans tous les autres cas, il y a un équilibre asymptotique parfaitement défini, qui ne dépend pas de la fréquence ne Po. |
Examinons ce que signifient, qualitativement, les conditions (6) et (7). Les inégalités @. exigent évidemment que k soit < 0, donc (cf. IT, page 10) : sta
h< = 124 dois O<«@+D2
ce qui exprime que le GERS le mieux adapté est ] Le récessif QA >. Si l’on remarque que, lorsque croît de 1 à 2, la quantité : ee : LT SEE
CEA
croît de 8 à + ©, on voit que la condition (6) Pt que les coefficients de mutation u dt D.
- sont très différents l’un de l’autre, et que le gène dominant, c’est-à-dire le moins bien adapté, + est très favorisé par rapport à son allèle récessif par les mutations. Es
Par ailleurs, si u est grand par rapport à v, l'abscisse X; du point d’ inflexion est voisine
de 1 0e on a toujours : NT mé Re EAST
Re F se
RES lorsque la population présénte trois équilibres asymptotiques possibles, l'un due ” correspond à un état voisin de la fixation du génotype AA, c ‘est-à-dire du génotype le plus mal adapté.
Cas particulier de la dominance complete :
On a alors: B = "1, d'où 2
(8) | = u— p(u + 0) + kb (| — p)}° À LES sis : o
avec :
RE T, R = 4 ph
… La condition (6) s'écrit dans ce cas :
ne ee
soit de sis tie dépend de la fréquence initiale pu.
- Supposons u < 8 v ; l'équilibre asymptotique est alors parfaitement défini quel que soit po.
en
2) Soit >< 0. — L'examen du graphique montre que la fréquence asymptotique du gène À,
re abscisse L du point E di intersection de la droite (D) et de la courbe (©) est telle que :
pe he dr si k>0, soit: O> x s l<uf(u +v) ss R<O,.sot: O<c
Cas particulier :k = 0, c'est-à-dire : O = «.
ane :T = 0 et l'expression (8) de Ap Aou :
pu —p(u +)
Her D àp = (a +0) Gp)
La population est en équilibre si p — r, et Ap a le signe de (r — p), donc :
D NT ë ; FPE, Ap est > 0
ESA 7 AVE A Ab est < 0
Il en résulte que l'équilibre est stable. Pour voir comment la population tend vers cet étatd'équilibre, assimilons l'équation aux différences finies (9) à l'équation différentielle :
dp
ne (Use On obtient :
ie RU en a, uv r — hp u +U * — Po AIG ESS en posant :
La différence | r — p | tend donc vers 0 comme l'exponentielle décroissante :
tr)
Remarque. — Nous avions été amenés, au chapitre II, à considérer le cas particulier h = 0,
et nous avions montré que Jorsque le caractère primaire est à dominance complète, la population
est alors constamment en état d'équilibre instable, une variation très petite quelconque de
l'optimum pouvant entraîner une évolution dans un sens ou dans l’autre et finalement la dis-
parition de l’un des allèles.
FE Mes
L'étude présente montre au contraire que, s’il y a des mutations, la population évolue vers un état d'équilibre parfaitement défini (tout au moins si u < 8 v), stable, même dans le
cas h = 0,
Toutefois, supposons les coefficients u et à très petits : la courbe (C) est alors voisine du contour y OPY, en désignant par P le point (1, 0) et par PY la parallèle à l’axe des ordonnées.
Pour À = 0, l'équilibre correspond au point K d’abscisse r où (C) coupe l’axe des abscisses
S1 l'optimum © subit une légère variation, le coefficient angulaire (— k) de la droite (D) cesse d'être nul ; l'équilibre correspond alors à un point E qui, par suite de l’aplatissement de la courbe (C) peut être très éloigné du point K.
En particulier, deux variations faibles de l’optimum à partir de la valeur O — x (k = 0), mais de sens contraires, conduisent à des positions d'équilibre très différentes ; pour l’une, FE, la fréquence limite l’est voisine de 1 ; pour l'autre, E”, elle est voisine de (.
