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Par ailleurs Re . | L |
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Dec: Mb p°) e ]=M | p) p'e | dF F
2 on eos |=Mfi-Jx"]
On en déduit puisque p?< p< | :
FGF ÔôF ôF dx? dx Üx Ôx?
Gr
et donc, si x > 0, les inégalités suivantes :
dF © À dE FR), oi (17) (a a) ren + ANI< ECG 3) 1U0 )xou +x°/4N]
ou les inégalités contraires si x < 0.
| dF :
Ces inégalités montrent que —— est nulle ou a un signe constant pour toute valew
Ôt déterminée xo de x extérieure à l'intervalle : [4 N (x — 2 O) ou ; 4NGzx—20)xl]
car les deux membres extrêmes sont alors nuls ou de même signe. Il en résulte que pour une telle valeur xo, la fonction de t : F(xo, t) est monotone et bornée (on a en effet | < F< eXo, où les inégalités contraires suivant le signe de xo) et par conséquent tend vers une limite finie ® (xo quand { augmente indéfiniment.
Mais ce raisonnement ne suffit pas pour que nous puissions affirmer l'existence d’une lo: limite de probabilité dont la fonction caractéristique serait + (x) : il nous faut encore démontrer que F (x, f) d'une part a encore une limite finie lorsque :
AN(G—20)ou<x<4N(3 « — 20) ax
et d'autre part tend uniformément vers sa limite + (x).
Soit X une valeur de x supérieure à 4 N (3 « — 2 ©) «y ; nous venons de voir que F (X, #) ÔE (X, ?) Ôt | a pour limite 0 lorsque { augmente indéfiniment ; les deux membres extrêmes de (1 7) étant alors tous deux de même signe ou nuls, ceci n’est possible que s1 l’un des deux membres au moins a pour limite Ü, ce qui exige que la fonction de t :
a lorsque f augmente indéfiniment la limite finie 9 (X). Donc la dérivée partielle
ÔF(X. D 0?F(X,) Êx Ôx?
tende vers 0 lorsque { augmente indéfiniment.
Or, pour une valeur donnée de f, la fonction de x
OF (x, D OF( Ôx . Ox?
est positive ou nulle et non décroissante, car on a :
0<M| (pp |<M| (1 —9)pe*" | si EE
OF (x, t) FD) Ôx Ôx? dF mente indéfiniment, pour x < X. Donc, d’après (17), De tend vers 0 pour toute valeur de x.
Ïl en résulte que la fonction tend uniformément vers O0 lorsque { aug-
Les inégalités (17) montrent d'autre part que l’on a toujours au moins l’une des deux inégalités suivantes :
EG: —) |GO— 2 x + aN
| ÔF dF + Lo 15 x
(18) <É— —) | 20— 2e) 208 ut N
Considérons alors un intervalle quelconque dont X (que nous supposerons > 0) soit la borne supérieure, et désignons par M Je plus grand des maxima absolus des deux fonctions
> de x :
QO—s x + MAN] « |2O—3 9x4 + AN
dans cet intervalle ; on a d’après (18) :
dF ÔF ÔF (CENT (1?) RE G =) . i 0F ane pour toute valeur x de l'intervalle ; ce qui prouve que TE converge uniformément vers O dans
l'intervalle considéré puisque le deuxième membre de (20) converge uniformément vers 0 pour toute valeur de x inférieure à X.
Montrons alors que dans cet intervalle la fonction F (x, f} converge uniformément vers une limite + (x) lorsque { augmente indéfiniment.
Ro LÉ REE
Pour cela, il suffit de montrer que l’on peut déterminer T tel que pour { > T on ait, quel
que-soit x dans l'intervalle considéré :
