OP EE

‘Supposons par exemple £ > 0. Dans l'intervalle (0, #), la quantité (x — À) est < 0.

Les inégalités (17) établies au chapitre 1 (p. 96), s’écrivent, si l'on tient compte de l'expression (2) de £ :

OF Ô?F Sa GE ge EE VAN} De GE ss) & EAN N Les quantités x — £ — 12 Nu et x — £ — 4 No°u sont < 0, quelles que soient les hypothèses

faites sur £, rte x est suffisamment n. de £. Donc :

dF 4N OF Ô0F ôF 4N ee Sn Ôt x (x —E— 12 Na) Of, dx dr + (x — € — 4 Non)

ou enfin, puisque x (x — À) est < 0 :

ÔF x —Ë 0F dF x — Ë Ôt ri ANe Gr 0 ne RAS Ôt SR INSEE

et donc :

e £ rer | | En x — Ë 5. S AE ve x—Ë£—ANuu Ôt Re ve x—t—12Nou : Ôt e

ou encore :

es 12 Nou

OF GO: TS -<TO< Le FEOI 2

Les deux membres extrêmes étant des fonctions continues de x qui tendent vers 0 lorsque x tend

… vers £, Ï (x) tend bien vers 0 lorsque x tend vers £.

Le raisonnement précédent s'applique évidemment encore au cas où À est < 0 : il suffit d'inverser le sens des inégalités.

? (Ë) a donc bien l'expression limite (37). Pour la calculer, posons : EE PAC d'où :

As 2 € £ ANaule REX 34 Nue) TE TS Fee OS RES ess

La ie NT EP SE Re {

Ou :

ANR + 3 = 4 Nue | — 2(1e + VE — je) PE (1 pos E pts*/2)

s HZ (Ie VE — 8/6) de (1 + € + D) = à +]

OR) LP po Out ha + 0()

ce qui donne toutes réductions faites :

4 Naëu RE + +) = 4Naën [2 a'e (LE — 1) + pod (1 + po — 2/2) 1 + O(e)

et finalement :

(8) D DANeu [Zae (LE 1) poë "(1 + pa 22/0) | |

Or, on a d’après (35) : | = po + (po — [) poË/2 + po(po — 1) (2 po — 1) £7/12 + 0 (7)

d’où tous calculs faits :

p() = 1 + poË + poË?/2 + po°E/6 + 4 NotuËpo (po — 1) (2 po + 5)/6 + 0 CG)

égalité qui permet de calculer a. On a en effet :

OZ a —D+ 1 = aë (1 + 6/2 + 816) +1 +0) et donc :

a (1 + 8/2 + #16) = po + p0°E/2 + p0'E°16 + 4 Naupo (po — D & po + “56 +0 en ou : | | 44 a = po [1 —(1 — po) £/2 + 4 Nu°u se 1) (po + 5)16 + É @ po” =. pé = Die | +0() ;

Si on suppose que le produit uN est petit resort que l'on puisse ue O (?) par À rapport à 0 (Nuc°?), on obtient finalement en remplaçant Ë pa son expression @), la valeur De

suivante pour a : >

G@9 | a=po+2Nerpoll—pe) [20 —(2p0 +5) 2/3 140 (x) +0 (Nu) |

Remarquons que si l’on pose :

CR re ee

et si l'on tient compte du développement :

Poe

— po— po(l — po) 1/2 + 0 (n°) |

l'expression (39) donne, avec l’approximation adoptée :

bu ET

Ceci montre que la fonction F Le t) a même limite + (x) lorsque { augmente dé rnment que

“a solution de l’équation :

ÔF ÔF Ô?F Ôx qe Gr) À 5e)

qui satisfait à la même condition initiale.

Cette équation (42) est analogue à l'équation (3) et sa solution approchée s’obtiendrait

comme nous l'avons vu.

Comparaison avec le random mating :

M. MALÉcOT a montré (:) que dans une population limitée, la panmixie aboutit nécessaire-

ment à l’homogénéité. Nous venons de voir qu'il en est de même si la population est soumise "ER ru de à AA: | ï ë ai

* à notre loi d'union sélective. Mais, alors que dans le cas du random mating la probabilité de ES . fixation du gène À est égale à à po, elle est 1c1 égale à a. |

L expression de a montre immédiatement que l'on a :

LS s Rp a dE a > po

si n i est < 0. Or na le sent a — O puisque par hypothèse O est (en valeur absolue) grand pére rapport à &. ;

- Donc l’union HPrÉ favorise la fixation du gène À si l’optimum O est > 0, c'est-à-dire .

ESS Fhomozygote AA est 1 moins mal adapté des trois génotypes. Elle favorise au contraire la

fixation du gène récessif a si l’homozygote aa est le moins mal adapté (O < 0).

(1) Cf. G. MaLécor, Les mathématiques de l'hérédité, p. 30, Paris. 1948, Masson éd.