DE
: Remarque. — L'équation (2) est celle que l’on dre dans le cas du random mating A (x = 0). La fonction G (x, t) est donc la fonction caractéristique de la fréquence p du gène À dans une population panmictique sans sélection.
Détermination des fonction fi (x) :
L'équation (7) est du type de Fuchs. En posant :
: TT ee fer + ax ire ae LES
on obtient, après substitution dans (7), en annulant le coefficient de x", l'équation déterminante.
Bo 6) AN 20
Le
C'est précisément l'équation dont les racines sont les nombres f et ÿ qui sont intervenus L:
D ; au chapitre précédent (cf. équation (13) p. 109).
de. * Or, le cas que nous étudions ici doit être considéré comme le cas limite Bots £ — () du cas
5 2; RE au chapitre II : il ne peut en être ainsi que si les solutions trouvées alors ne cessent
EU pas. d'exister, c'est-à-dire si la constante s; qui figure dans l'équation (7) est égale à une valeur .
EC
- 4 propre de l'équation (EI-7, p. 106) du chapitre précédent, ces valeurs propres étant, comme nous l'avons vu, indépendantes de £. er Fe K 7 4 On doit donc avoir ici également : Fa | LENS s=i(+DAN . (GI | 5e
et l'équation (9) a les racines entières :
ee. pt se
RS
be la HITS de ces racines est entière (2 — y = 2 i + 1) l'équation (7) admet : les deux solutiôns : * |
E to. Hd eo ÿ | ; D loire Cao.
À avec L Ÿ (0) Lee O et x (0) EN La solution générale :
ï S re 4 ee Cigi +- Cy2
ne peut être nulle pour x — 0 que si l’on a : C: — 0. Si l’on remarque que la dérivée :
= LEE ET 1) x (x)
est nulle pour x — 0, les conditions (8) et (8) sont satisfaites pour y: et on a :
(10) es A Ne CR
d'où Art
eu Lu re a A ER EE à
EX
AE Lin AR :
et, en annulant le coefficient de x après substitution des expressions précédentes dans (7) À »
on. obtient la récurrence :
Hatier DÉPRTANCIE gr EN ou encore :
ü, 4 Are Lu i+n+l u. CEnE DC HN T2) = ANS:
ce qui s'écrit finalement en tenant compte des valeurs de s; et de f :
nr n+i+l REED
(1) a. G+Dh+2i12 G+)G@+29
Ce qui montre que la fonction f (x) est égale à :
(12) Oz lotion
(a, b, x) représentant la somme de la série de Kummer de terme général :
a(arr 1)(@ #2)... (at n—1) ñ RE Ge Dao E DE?) Gta =D:
La fonction G (x, t) s'écrit donc :
(13) G (x, ?) = poe” + | pot She FOUAN Lee P(i+1,2i+2, x)
expression qui montre que si { augmente indéfiniment, G (x, {) a pour limite g (x) : on retrouve ainsi le fait que, s'il n'y a pas de sélection (cas du random mating), la population tend vers l'homogénéité, la probabilité de survivance du gène À étant po ; la vitesse de disparition de l’un des gènes étant caractérisée par la rapidité de décroissance de la fonction exponentielle :
UN
Calcul des k;. — Etude de la série :
D Nuit 20
La condition initiale (3) donne :
ZOO he | po
Nous nous proposons de calculer les quantités À; de telle sorte que la série considérée soit convergente et admette pour somme Z (x, 0) pour t — 0.
En développant Z (x, 0) en série entière, on obtient :
FAC 0) = (po? — po) x?/21 + (po° — po) x°/3! SAS a pe (po! — po) x'n! FRA
Considérons la série de terme général :
En désignant toujours par uixi le terme général de la série de Kummer (+ 1,2 i + 2, x), la somme des coefficients des termes de degré n (en nombre fini) dans la série Ÿ Ui est :
Dons,
Et
Nous définirons les #; par la condition que cette somme soit it égale au coefficient fs x dans
le développement de Z (x, 0). On a donc :
(14) | RON tee
Ces relations permettent de calculer de proche en proche les quantités ki. On a en effet :
PO ERP LE Fa de a (LEE = ee
puisque, quel que soit i on a : ui, — Î.
Le calcul donne immédiatement :
Ri= —po(l —po)/2 Re Po (1 50 (1 — 2 po)/12 ke = pol me Li ne
etc.
Or, remarquons que si j est différent de 0 on a :
