GE

: pe] (pb, 0) dp 0x 0

ce qui montre que est la transformée de Laplace de la fonction p'].

FE De même :

à l Er Do px ÔJ (p, à) dt E “pat ci id nee ÔJ ce qui montre que e est la transformée de Laplace de Er En posant :

ÔT (p, t Éis,D= Ji RES 0 É

(1) Cf. G. MaLécor, Les mathématiques de l'hérédité (op. cit., p. 47-48).

et en remarquant que par suite de :

Ô p Y (p, à) — ra F J (pb, ?) dp

Y (p, t) est nul pour p = Üet pour p — |, on a, en intégrant par parties :

I | ÔF (x, 0) ÔY De cf ie ve dp = — Ve xeP*Y (p, t) dp 0 0

1 ÔF ce qui montre que — Fan est la transformée de Laplace de Ÿ (p, #).

Ôt

On en déduit enfin :

I | I 0F à ô 5'# Je ps (p, î) dp — ER Fe Er EC ue px 4. ne Fe f px à 0 Re a

ce qui montre que le produit par x de la transformée de Laplace d’une fonction de p est l’opposée de la transformée de Laplace de la dérivée de cette fonction par rappoït à p.

Ces propriétés étant rappelées, écrivons l'égalité des fonctions dont les deux mémbres de (E”) sont respectivement les transformées de Laplace. On obtient :

of | = = ivoe]-ienle-se ro trtns He

] ao NT

équation analogue à celle qu'a donnée M. MALÉcoT (°) dans le cas de la sélection ordinaire, et que nous aurions pu évidemment établir directement par la même méthode que lui, en utilisant l'expression de Ap que nous avons donnée dans la première partie (chap. II, équation 3, p. 28).

La loi de probabilité asymptotique est alors la loi stationnaire qui vérifie (3). En la Fe

par j (p) on a :

@ |iG)lu— pu +0) + pli —p) a (20 —%)—2p21|— =

(1) Cf. G. Marécor, Les mathématiques de l'hérédité (op. cit., équation (4), p. 48).