Deuxième année philosophique ^Q M. Pillon, p

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face, un triangle géodésique, c'est-à-dire formé par les plus courts chemins entre ses sommets. Déplaçons ce triangle en conservant les côtés (il est vrai que nous tombons ici dans un cercle vicieux, mais peu importe, puisqu'il s'agit simplement de montrer que les définitions courantes conduisent à des coiitradiclions) : dirons-nous que le nouveau triangle est égal au premier, est le même dans une autre position? Ici, il faut distinguer les côtés et les angles: les côtés ont, il est vrai, changé de courbure ; mais cette courbure et, par suite, son cliangement ne sont appréciables que dans l'espace à trois dimensions. Donc, en géométrie à deux dimensions, on pourra dire que les côtés sont restés les mêmes. Mais, pour les angles, il en est autrement, car, si je prenais un second triangle ayant un angle commun avec le premier, après le déplacement les deux angles homologues ne pourraient coïncider, ce qui montre qu'on ne peut considérer les deux angles après déplacement comme identi([ues au premier angle, puisque l'un d'eux est plus grand que l'autre.

De ceci il résulte clairement que la définition ordinaire de l'égalité de deux figures par leur superposition n'est admissible que dans des espaces spéciaux. Bien que nous devions envisager d'une façon particulière ces espaces, il est indispensable de nous rendre compte comment des êtres vivant dans d'autres espaces pourraient appliquer l'idée

métaphysique d'identité aux figures géométriques, ou plutôt à leurs éléments.

Reprenons l'exemple d'un être superficiel vivant sur un ellipsoïde. Nous avons parlé tout à l'heure de lignes géodésiques ou de plus courte distance ; mais nous ne saurions prendre cette idée comme point de départ, car la notion de plus courte distance exige la comparaison des grandeurs et ne peut précéder l'idée d'égalité. Ici nous allons scandaliser, sans doute, plus d'un de nos lecteurs en ayant recours h

l'espace géométrique 23

une expérience physique qui, par essence, ne peut rien donner de rigoureux, et qu'on ne saurait interpréter sans tomber dans des cercles vicieux. Malgré tout, nous croyons l'artifice aussi légitime qu'il est indispensable, non dans la forme que nous lui donnerons, mais dans son idée essentielle. Du moment que nous ne considérons pas la géoméfrie comme une science innée au sens propre et rigoureux du mol, il est clair que nous devons chercher dans les perceptions ou expériences un point de départ, ou plutôt un excitant pour l'esprit. Celui-ci, travaillant sur des données sensibles et sans précision, leur appliquera les notions générales qui se seront éveillées en lui, peut-être à leur occasion, et pourra construire alors une science apriorique, qui pourrait même ne pas s'appliquer en fait aux phénomènes réels sans que sa propre valeur en fût en rien diminuée.

Supposons donc que notre sujet superficiel puisse disposer d'un fil, fil ayant, sans doute, une largeur, comme les nôtres, mais point d'épaisseur, et qu'il tende ce fil successivement dans deux positions dilî'érentes. Pour nous, qui envisageons toutes choses dans un espace à trois dimensions, les deux arcs ainsi déterminés diffèrent par leurs courbures; mais ces courbures ne sont pas appréciables sur l'ellipsoïde, en sorte que notre sujet sera amené à considérer ces lignes comme identiques de forme et de longueur, leurs positions seules étant différentes.

Il est ^fai que cela suppose l'inexlensibilité du fil, alors qu'elle est impossible à vérifier véritablement sans cercle vicieux; mais, nous l'avons dit, il ne s'agit de demander à l'expérience que de simples suggestions. Or, l'idée d'extensibilité et d'inextensibilité d'un fil surgit naturellement, lorsqu'après en avoir tendu plusieurs on peut encore éloigner, au moven d'un effort, les extrémités de certains d'entre eux, tandis que ce déplacement ne se produit pas sensiblement pour les autres.

L ESPACE GEOMETIUQUE

La notion d'idenlilé de deux lignes ainsi acquise aura besoin d'être développée ; mais auparavant il faut envisager les angles. Ici on se heurte à une grosse diflicuUé, car un angle est essentiellement dépourvu de fixité si Ton ne relie pas ses côtés l'un à l'autre ; or, nous avons vu que, sur l'ellipsoïde, de telles liaisons ont précisément pour résultat de faire varier l'angle quand on déplace la figure. Pour sérieux qu'il soit, l'obstacle n'est pas invincible, grâce à une propriété commune à toutes les surfaces, comme nous le verrons. Si nous considérons une série d'angles formés toul autour d'un point pris comme sommet, et si nous joignons leurs côtés deux à deux, de façon à donner naissance à autant de triangles, un déplacement de ceux-ci, tel qu'ils aient de nouveau un sommet commun à tous et un côlé commun à deux li iangles successifs, aura pour résullat d<' faire constater que le dernier côlé ne coïncidera pas avec le premier: il y aura vide ou recouvrement. Si l'on recommence l'opération en réduisant les côtés des triangles, l'écart sera moindre et deviendia plus petit que tout angle donné si l'on diminue suffisamment les côtés, en sorte que, à la limite, le dernier côté se superposerait au premier. De là on est amené à conclure que les angles des triangles inliniment petits restent identiques à eux-mêmes dans le déplacement de ceux-ci sur l'ellipsoïde *.

Il est bien vrai que, sur certaines surfaces, il y a des points singuliers, tels que le sommet d'un cône, qui, pris comme sommets des angles après le déplacement, donneraient lieu à un recouvrement plus ou moins notable ; mais

1. Nous prévoyons qu'on nous objectera que nous utilisons nos connaissances géométriques dans cet exposé, connaissances acquises au moyen de la géométrie euclidienne. Nous ne le nions pas; mais il s'agit de savoir si, oui ou non, l'habitant de l'ellipsoïde pourrait expérimenter et raisonner comme nous le supposons, sans rien connaître en dehors.

le fait apparaîlrait comme une simjidavité de ces points, uempéchant pas le fait général sur lequel repose la notion (légalité des angles.

Une fois en possession de l'égalité de certaines lignes, |iarliculières sans doute, mais telles qu'il en passe toujours luie par deux points donnés, ainsi que de l'égalité des iiiigles, on peut, absolument comme en géométrie ordiiiaiie, faire la théorie de la longueur et de la courbure des aiilies ligues, cette courbure étant exclusivement mesurée sur la surface. Nous n'insisterons pas davantage sur la géométrie de ces surfaces quelconques, afin de concentrer noire attention sur celle des surfaces identiques à elles-mêmes,

M. Calinon appelle ainsi les surfaces telles que les figures (pii y sont tracées peuvent être déplacées d'une façon quelconque sans déformation. Faute de la discussion qui précède, on a pu lui objecter à bon droit qu'il ne nous disait pas ce que signifiait cette expression « sans déformation », cl, de fait, le passage que nous avons cité de son étude sur la sphère, la ligne droite et le plan paraît bien poser cette iiolion de conservation de la forme comme une intuition lion susceptible de définition '. Maintenant, au contraire, nous savons comment, à ne considérer qu'une surface donnée, un habitant de cette surface pourrait reconnaître si elle est ou non identique à elle-même, ou, du moins, si l'on peut toujours admettre qu'il n'y a pas concordance entre ses sensations et la forme réelle de la surface, nous savons «luelles sensations susciteront en son esprit la notion (l'une surface identique ou non à elle-même. Il est bien

1. Cette conception paraît lui avoir été inspirée par V Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire (le .M. Iloiiel. « La géométrie, dit cet auteur, est fondée sur la iii»tion indéfinissable et expérimentale de la solidité ou de Yinvarhibdité des figures » (2" édit., p. 41).

entendu, d'ailleurs, que la courbure dune ligne appréciahlo seulement dans l'espace à trois dimensions ne saurai! compter en géométrie à deux dimensions, de (elle sorte qu un cylindre parabolique, par exemple, est absolument identique à un plan ; pour qui s'enferme sur la surface, aucune distinction n'est possible entre Thélice et la génératrice rectiligne, en sorte qu'un arc de la première sera, non pas équivalent, mais égal à un segment de la seconde. Au contraire, il n'en serait pas de même sur un cylindre à directrice fermée ou sur un cône : sur ces surfaces, il esl bien vrai qu'une figure- peut se déplacer en conservant ses côtés et ses angles, mais certains déplacements entraînent des intersections supplémentaires des cotés, qui naissent, changent de position sur ceux-ci et forment des angles variables. De telles surfaces ne répondent donc pas à la délinition donnée ci-dessus. En général, les surfaces à courbure constante permettent le déplacement des ligures qui y sont tracées avec conservation des éléments ; mais il en est beaucoup qui présentent la même particularité que les cylindres à directrice fermée et les cônes : telles sont les pseudo-sphères, dont nous aurons à parler. On trouvera, dans une récente publication de M. Cal i non, une ingénieuse théorie de ces surfaces, où, après les avoir envisagées dans l'espace cà trois dimensions qui lui permet de les considérer comme la superposition de feuillets multiples résultant de l'enroulement d'une surface identique, il se resLreinI aux ressources de la géométrie à deux dimensions K

Après avoir défini les surfaces étudiées par une propriété caractéristique, ce qui était inévitable, puisqu'aucune définition antérieure ne nous permettait d'en donner la construction, nous devons, pour la même raison, définir par une

1. La géométrie à deux dimensions des surfaces à courbure constante.

l'ESÏ^àCE GÉOMÉTRIQUE 27

propriété les lignes qui serviront de base à la construction des figures sur nos surfa<;es ; leurs géodésiques, disonsnous, sont des lignes telles que, par deux points quelconques pris sur une surface, il en passe toujours une et "énéralementune seule '. Ce mot « généralement» a soulevé (juelques critiques ; mais elles ne paraissent aucunement fondées, car c'est un fait ordinaire, en géométrie comme en algèbre, qu'il existe des cas particuliers dérogeant aux propositions les plus générales ; ainsi, trois points déterminent (généralement un plan, mais il en passe une infinité par trois points en ligne droite.

Nous ne saurions entrer dans le développement de la géométrie des surfaces identiques à elles-mêmes ; mais nous devons en indiquer les éléments essentiels.

En général, il ne passe par deux points qu'une géodési(iue, mais on peut supposer qu'il existe ou non des cas exceptionnels. Si l'on suppose c^u'U en existe, on démontre qu'alors toutes les géodésiques passant par l'un des deux points communs à deux géodésiques données passent par leur second ^point commun, qu'elles n'ont pas d'autres points d'intersection, sont fermées, et divisées chacune en deux parties égales par leurs deux points communs. Dès lors, on peut faire tourner une géodésique autour de deux de ses points la divisant en deux parties égales, et, dans ce mouvement de rotation, elle engendre toute la surface, qui est ainsi une surface finie, mais non limitée. Une telle surface s'appelle une sphère.

Si, au contraire, on suppose qu'il n'existe qu'un point

1. Plus haut, à propos de l'ellipsoïde, nous avions défini les géodésiques par la condition de la plus courte distance : c'est qu'en eii'et, sur une surface quelconque, la condition d'être déterminée par deux points ne suffit pas en général à définir une ligne, d'autres que celle de plus courte distance pouvant jouir de cette particularité.

28 ÉTL'DE SUR l'espace ET LE TEMPS

<:ommiiii à deux g«'Oilésiques, celles-ci s'étendent indéfiniment, et la surface idenlique à laquelle elles appartiennent est elle-même infinie. Ainsi que nous le verrons, il n'existe qu'une seule surface en géométrie euclidienne, le plan, qui réponde à ces conditions, car les pseudo-sphères n'y répondent que partiellement; aussi celles de ces surfaces qui diffèreni du plan n'ont-elles point reçu de nom : nous les désignerons par la qualification de surfaces de Lobai schewski, géomètre pour qui elles sont des plans.

Une foule de théorèmes de la géométrie plane ordinaire se démontrent idenliquement de la même façon pour ces diverses surfaces, en remplaçant, bien entendu, les droites par les géodésiques ; mais on doit remarquer seulement qu'on ne peut faire intervenir, dans ces démonstrations, l'opération du retournement, qui ne saurait s'opérer que dans un espace à trois dimensions. D'autre part, les demandes ou postulats d'Euclide sont écartés ; prenons pour fîxemples celui d'après lequel deux droites ne peuvent enfermer un espace et celui des parallèles. On vient de voir que l'aftirmation ou la négation du premier ne fait que distinguer deux classes de surfaces identiques, ce qui montre que ni l'une ni l'autre n'est nécessaire, quand on étudie l'ensemble de ces surfaces. Quant au postulat des parallèles, il caractérise une surface spéciale, celle où il existe des ligures semblables, où la somme des angles de tous les triangles est égale à deux droits; quant aux autres surfaces, dlesse décomposent exactement comme tout à l'heure en deux classes, dont la première ne présente pas de parallèles, toutes les géodésiques se coupant les unes les autres, tandis que, sur les suifaces de la seconde classe, par tout point pris en dehors d'une géodésique il passe une infinité de géodésiques ne rencontrant pas la précédente.

Nous ne nous arrêterons pas à examiner ainsi ce que

l'espace ItÉOMÉTRIQUE 29

devient chacun des postulats d'Euclide, parce que, ce petit travail achevé, les adversaires de la géométrie générale nous diraient : « C'est fort bien, mais cela n'a aucune importance, car on admet une foule d'autres propositions sans les énoncer explicitement, et vous n'échapperez pas à la nécessité des postulats. » Et voilà venir alors une critique de détail extrêmement utile, car elle force à toujours améliorer les exposés, mais à laquelle nous ne saurions essayer de répondre ici, car ce serait toute la géométrie à refaire, et comme nous ne prétendons pas atteindre la perfection, un critique subtil ne manquerait pas de découvrir une proposition implicite non démontrée. Nous reconnaîtrons donc notre impuissance à convaincre celui qui serait décidé à ne se rendre que devant un exposé absolument irréprochable ; mais ceux qui' n'ont pas cette attitude intransigeante, qui ne s'appuient pas sur une idée préconçue bien arrêtée, doivent procéder par épreuves, signaler des propositions non démontrées, et voir si les adeptes de la géométrie générale peuvent ou non répondre à leurs objections. Si cette épreuve répétée réussit, l'homme qui cherche d'un esprit libre la vérité devra admettre qu'on peut se passer des postulats *.

Mais nous nous heurtons à une dénégation formelle et appuyée sur une considération très spécieuse à laquelle

1. A des objections de ce genre, nous uvons répondu par quelques théorèmes de (/éométne élémentaire, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques de décembre 1891. D'autre part, M. l'abbé de Broglie, dont on ne saurait trop déplorer la fin tragique, a écrit, mais non publié, malheureusement, une série (le démonstrations de propositions généralement postulées implicitement. 11 est bien à désirer que sa famille mette le public en mesure dapprécier ce travail. Ajoutons que M. de Broglie était un adversaire déclaré de la géométrie générale, qu'il a combattue de la façon la plus intéressante dans les Annales de philosophie chrétiemie.

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nous devons répondre : Non, dit M. Renouvier, vous ne démontrez pas toutes les propositions qu'on vous signale, à tel point qu'il est tel théorème classique dont la démonstration est impossible. Soit, par exemple, celui d'après lequel par un point pris sur une droite on peut mener une perpendiculaire et une seule. Sans doute, si Ton fait tourner une demi-droite issue de ce point et d'abord en coïncidence avec une des moitiés de la droite donnée, jusqu'à ce qu'elle vienne en coïncidence avec l'autre moitié, on a deux grandeurs (les angles adjacents) dont la somme est constante, et dont l'une, parlant de zéro, arrive par une variation continue à une valeui égale à la somme constante, tandis que l'autre subit une variation inverse; sans doute, encore, on peut dé'montrer analytiquement qu'en pareil cas il existe une valeur et une seule de la variable indépendante à laquelle corresponde une valeur égale de l'autre variable. Mais, si l'on i)eut ainsi conclure à une égalité arithmétique ou de mesure, on ne le peut à une égalité géomctrique ou de superposition, qui exige une synthèse a priori entre deux ordres de notions différents ^

L'objection est très sérieuse et veut être approfondie. Prenons donc la tigure formée par la droite et la demi-droite, lorsque celle-ci fait avec la première deux angles ayant même mesure, c'est-à-dire contenant un même nombre de fois un angle pris pour unité ; pouvons-nous démontrer que ces deux angles sont superposables? Faisons tourner une moitié de la figure autour du sommet des angles (ce qui est possible sans défoimation, en vertu de la définition des surfaces identiques à elles-mêmes), jusqu'à ce que la moitié mobile de la droite vienne en coïncidence avec la

1. Voir, dans la Deuxième Année philosophique de M. Pillon, l'étude de M. Renouvier ayant pour titre : La philosophie de la règle et du compas. Théorie logique du jugement dans ses applications aux idées géométriques et à la méthode des géomètres.

L ESPACE GÉOMÉTRIQUE

position primitive de la demi-droite ; il s'agit de savoir si alors cette dernière coïncide avec l'autre moitié de la droite. D'une façon générale, on ne saurait conclure de l'identité de mesure à la superposition ou identité de figure ; mais ici on est en présence d'un cas particulier. Supposons, par exemple, que la demi-droite, dans sa nouvelle position, n'ait pas encore atteint la seconde moitié de la droite: je dis qu'alors son angle avec l'autre moitié est plus petit numériquement que l'autre angle, ce qui est contraire à Ihypothèse. En effet, si j'opère la division dudit angle au moyen de celui qui sert d'unité, toutes les divisions seront contenues dans le second angle, qui contiendra en plus l'angle dont nous avons supposé l'existence; donc il faut que ce dernier soit nul, c'est-à-dire que la demi-droite, après sa rotation, coïncide avec la seconde moitié de la droite, et que les deux angles soient en superposition.

Signalons, entin, comme se rapprochant des prétendus axiomes, le théorème en vertu duquel le plus court chemin d'un point à un autre, sur la surface considérée, bien entendu, est l'arc de géodésique qui les joint (ou le plus petit (les deux, s'il s'agit d'une sphère). Ce théorème se démontre rigoureusement en partant de la définition donnée pour les géodésiques '.

Pour en finir avec ces détails quelque peu arides, il nous reste à signaler un petit nombre de propositions utiles à connaître pour se faire une idée de ces géométries. La plus importante, peut-être, consiste en ce que tout triangle infi-

■lî

1. Voir notamment, dans la Sphère , la ligne droite et le plan de M. Calinon, le paragraphe sur les triangles sphériques (p. 10 à 15) et, dans sa Géométrie à deux dimensions, les pages 22 et suiv. Ou verra aussi, dans les Prolégomènes de M. Delbœuf, le théorème IV de la page 227 et ses corollaires ; mais ce dernier part de définitions différentes. On trouvera, dans la Revue de métaphysique et de morale de janvier 1893, une intéressante discussion des postulats de M. Renouvier par M. Couturat.

niment petit a deux droits pour somme de ses angles <, d'où il suit que toute tigure infiniment petile est conforme ù la géométrie euclidienne. La grandeur d'une figure est même liée d'une façon si étroite à l'écart qui existe enire sa géométrie et cette dernière, que l'aire d'un Iriangle et, en général, d'un polygone fermé quelconque est proportionnel].» à son excès, c'est-à-diie à la différence positive ou négative existant enIre la somme de ses angles et celle des angles d'un polygone plan euclidien ayant même nombre de côtés. Ce théorème s'étend, d'ailleurs, aux contours curvilignes par la considération de la courbure totale de ceux-ci, c'est-àdire de la rotation d'une tangente les décrivant en entier 2. En appelant E cet excès, l'aire d'un contour fermé est donc égale à son produit KE par un paramètre constant K; pour le plan où Eest nul, il faut nécessairement que Ksoitinfnii^, Ce paramètre K a un caractère essentiellement géomé-

1. Considérant un triangle formé par trois géodésiques et supposant qu'un des côtés tend vers une position limite passant par le sommet opposé, on voit que les deux angles adjacents à ce côté tendent vers les angles formés par sa position limite avec les prolongemeids des deux autres côtés ; or, ces deux angles forment deux droits avec l'opposé au sommet du troisième angle du triangle.

2. Notons à cette occasion que la longueur d'une courbe se définit exactement coaime sur le plan euclidien, au moyen de la limite d'un contour polygonal inscrit dont les côtés sont des arcs de géodésiques.

3. Une autre conséquence de l'expression de l'aire d'un polygone consiste en ce que, sur une surface de Lobatschewski, aucun polygone ayant un nombre fini de côtés ne peut avoir ime surface infinie. Si l'on considère un triangle, sa surface maximum est égale au produit K. X 2 droits ; on a alors un triangle dont les sonmicts sont rejetés à l'infini, où ses côtés sont tangents deux à deux. On peut en conclure aussi que, si l'on joint deux points équidistants d'une géodésique par un segment de géodésique, celui-ci, au milieu, se rapproche indéfiniment de la première lorsque les deux points s'éloignent indéfiniment l'un de l'autre.

L ESPACE GÉOMÉTRIQUE 33

trique et n'est point un nombre abstrait ; pour que son produit par une différence angulaire, de degré zéro, mesure une aire, il faut qu'il en soit une lui-même et que, par suite, {K, étant la valeur absolue de K) \ îv, soit une ligne.

Du moment, d'ailleurs, que nous considérons les diverses surfaces isolément, sans les placer dans un même espace à (rois dimensions, nous ne pouvons établir entre elles aucune comparaison, et, pour nous, comme pour les habitants de chacune de ces surfaces, yK, n'est qu'une longueur prise sur chacune d'elles sans commune mesure de l'une à l'autre. Dans ces conditions, nous ne connaissons, à vrai dire, que trois surfaces, la sphère, le plan et la surface de Lobatschewski, sans que nous puissions distinguer jdusieurs surfaces sous chacun de ces noms. 11 esta peine besoin d'ajouter <iue chacune de ces surfaces a sa trigonométrie propre, dont les formules sont celles des trigonométries de la sphère, du plan et de la pseudo-sphère; mais on n'oubliera [»as que cette dernière surface n'est pas identique à ellemême et ne se confond point avec celle de Lobaischewski, point important dont nous verrons bientôt une nouvelle preuve bien caractéiislique *.

Si nous considérons tout ou partie de ces diverses surfaces dans un même espace à trois dimensions, un premier

l. Les personnes désirant étudier avec détail les bases de ces géométries se reporteront à la plus récente publication de M. Calinon, La géométrie à deux dimensions des surfaces à courbure constante.. \\ y aborde les questions par la considération «les figures infiniment petites, qui toutes sont euclidiennes â des infiniment petits d'ordre supérieur près. C'est un exposé didactique d'une remarquable précision, non une étude proprement philosophique. Notons que M. Calinon appelle surfaces à courbure constante celles qui sont identiques à elles-mêmes considérées intrinsèquement, mais cessent de l'être quand on les considère dans un espace à trois dimensions.

il If

résultat de ce rapprochement sera de permettre une comparaison des longueurs des lignes situt'^es sur ces surfaces, quand ce ne serait que par l'intermédiaire de leurs intersections. Nous verrons tout à l'heure ce qui caractérise les divers espaces à trois dimensions, mais auparavant nous allons signaler un certain nomhre de particularités que chacun peut vérifier dans l'espace euclidien, et que l'analyse montre être indépendantes de l'espace spécial que l'on consi dère, pourvu qu'il s'agisse d'un espace identique à lui-même.

Soit un cercle de ra^on R; on peut le considérer comme situé sur un plan ou sur une sphère quelconque de rayon au moins égal à R. Sur chacune de ces surfaces, ce cercle jouit de propriétés différentes : il y a des rayons différents (distances polaires en langage usuel) et y circonscrit des aires qui, non seulement sont inégales, mais n'ont aucun point commun en dehors de leur périphérie. Enfin, sur la sphère de même rayon, il est ligne géodésique et est retournable, car tout arc de grand cercle, par une rotation de 180° autour de son sommet, revient en superposition avec lui-même, mais avec interversion de ses extrémités; au contraire, un arc de cercle n'est aucunement retouinable sur une sphère de plus grand rayon ^

Ceci posé, l'analyse montre, d'accord avec une induction fort naturelle, qu'on peut concevoir de même des espaces à trois dimensions qui sont aux sphères et au plan ce que ces surfaces sont aux cercles et ta la droite. C'est l'espace euclidien qui répond au plan, comme le plan à la droite ; de même que celle-ci est retournable dans le plan, de même le plan est retournable dans l'espace euclidien. Quant aux

1. Si l'on considère un cercle entier, on peut dire, en un sens, qu'il est retournable autour de son centre ; mais cette propriété disparaît si Ton ne considère qu'un arc de cercle. D'ailleurs, la véritable retournabilité doit concerner une rotation autour d'un point de la ligne retournable.

L ESPACE GÉOMÉTRIQUE 35

espaces correspondant aux différentes sphères, chacun d'eux ne peut recevoir des sphères de plus grand rayon que celle qui lui correspond, et celle-ci y est retournable '. On ne saurait méconnaître que cette propriété, pour une surface sphérique, ne répond pour nous à aucune intuition, pour parler le langage des adversaires de la géométrie générale, à aucune image, pour exprimer plus simplement la chose. Mais, nous le demandons, n'en serait-il pas exactement de même pour un être superficiel vivant sur un plan, si on lui parlait de la retournabilité d'un cercle autour d'un de ses points? et, dès lors, quelle objection peut-on, avec quelque autorité, élever contre la concevabilité de celle propriété inimaginable ?

Il y a, d'ailleurs, complète analogie entre les diverses surfaces qu'enferme un cercle donné et les volumes qu'enferme une sphère donnée : ces volumes ont des mesures différentes et n'ont même aucun point commun -. Les espaces correspondants sont, d'ailleurs, des espaces finis, mais non limités, de m^ême que la sphère est une surface finie, mais non limitée. Seulement, nous ne pouvons nous imaginer

1. Comme tout à l'heure un cercle était retournable en tout cas autour de son centre, une surface quelconque, une sphère l'est autour d'un de ses diamètres dans un espace quelconque ; mais la retournabilité dont nous parlons doit s'exercer autour d'une géodésique de la sphère, comme celle du cercle autour d'un de ses points.

2. Les volumes, comme les surfaces, se mesurant au moyen des lignes et toutes celles-ci étant comparables, volumes et surfaces le sont aussi. Mais la propriété de toutes les figures infiniment petites de se confondre à la limite avec des figures euclidiennes permet d'évaluer directement les surfaces et les volumes de toutes sortes, car un volume éléni'niaire, tétraèdre déterminé par quatre points infiniment voisins, peut être remplacé par le tétraèdre euclidien ayant ces quatre points pour sommets, un espace euclidien pouvant toujours passer par quatre points donnés. La valeur du volume élémentaire étant ainsi connue, l'analyse permet de calculer tous les volumes.

Il II

un loi espace qui ne pourrail se voir que clans un espace à quatre dimensions.

II y a, enlin, parfaite correspondance de propriétés enlitla sphère relournable et le plan euclidien, car aux propiiélés communes de Tidentité de la surface à elle-même et de la relournabilité s'ajoute le fait que la géodésique de la sphère est celle de l'espace dans lequel elle est relournable < et, comme telle, est le plus court chemin d'un point à un autre dans cet espace ; en outre, deux sphères retournables se coupent toujours suivant une géodésique.

Cette similitude de propriétés entre les sphères retournables et le plan dans l'espace euclidien, entre leurs géodésiques et la ligne droite, a permis de leur donner les noms de plans et de droites dans la géométrie de Riemann; mais il doit être bien entendu que cette communauté d'appellation ne signilie aucunement que les plans et les droites ont, à volonté, des propriétés contradictoires. Il y a plus, ces S[)hères retournables sont identiquement les mêmes suif ices que les sphères euclidiennes, mais envisagées dans des espaces à trois dimensions différents, absolument comme le grand cercle relournable d'une splièie est identiquement le même que le cercle non relournable sur un plan diamétral. Ce fait capital paraît avoir été aperçu pouila première fois par M. Delbœuf, dont les vues géniales éclairent une science qu'il méconnaît lui-même 2.

1. Si nous considérons la géodésique de l'espace passant par deux points A et B d'une sphère relournable, elle doit être située tout entière sur cette sphère; si on retourne en etlet celle-ci sur elle-même en la faisant pivoter autour de sa géodésique passant par A et B, et si on la considère comme entraînant la géodésique de l'espace dans ce mouvement, cette dernière se trouverait passer d'un coté à l'autre de la surface sphérique, si elle n'y était pas comprise, ce qui est impossible, puisque les deux points déterminent une seule géodésique de l'espace.

2. Voir Revue philosophique d'avril 1894, p. 373 à 317 {L'ancienne et les nouvelles Géométries).

l'espace Géométrique 37

Si maintenant nous considérons les surfaces identiques à paramètres négatifs, nous verrons qu'elles ne peuvent entrer dans un espace euclidien, mais qu'on peut y tracer les cercles de tous diamètres, y compris la ligne droite, rercle de rayon infini; mais elle n'y est plus géodésique : par deux points donnés, il en passe deux dans une surface de Lobatschewski, et elle n'y est pas le plus court chemin d'un point à l'autre «. C'est là ce qui montre, de la façon la plus frappante, que ces surfaces ne sont point des pseudosphères, comme les plans de Riemann sont de simples sphères' euclidiennes considérées dans d'autres espaces. Dans son article cité, M. Delbœuf n'a pas fait cette distinction, qui est capitale.

1 Si Ton désigne par c la distance euclidienne de deux points et par s leur distance sur une surface Lobastchewski ayant un rayon de courbure de valeur absolue rx{i\ = V^K,), on a :

c = 2/'i sin hyp. —

ou :

d'où :

" 1.2.3 /•j--i"^1.2...5 r,*'^ 1.2.3...7ri<>

c — s est toujours positif, d'où il suit que la droite euclidienne est plus longue que celles de Lobatschewski. Dans un espace de Riemann, on a :

0 = 2?' sin --•»

ce qui est précisément la valeur de la corde en fonction de l'arc de cercle qu'elle sous-tend, comme on pouvait le prévoir.

Avec les deux formules, c et s deviennent égaux pour des valeurs infinies du rayon de courbure.

De même, le plan entre dans les espaces de Lobatschewski, mais il n'y est pas retournable. Comme, d'ailleurs, dans cluicun de ces espaces, la surface retournable et la j,'éod»'si(jue sont appelées communément pliin el droile, on y désigne sous les noms d'horispli«;re et d'horicycle le plan et la droite ordniaires. Notons en passant que, avec ce langage, le lieu des points équidislants à une droite n'est pas une droite, mais un horicycle.

Si nous résumons ce que nous venons de dire des divers espaces, nous verrons que tout espace idenlicpie à lui-même peut contenir les surfaces idenli(|ues de plus petit paramètre, en convenant de considérer les paramètres négatifs comme plus grands que tous les paramètres jjositifs, et comme d'autant plus grands que leurs valeurs absolues sont moindres. On peut ajouter que, dans cbaque espace, la surface de même paramètre est retournable, et que sa géodésique est celle de Tespace, lien résulte immédialenionl que la dislance de deux poinis donnés est d'autant plus courte qu'on la mesure dans un espace de plus grand paramètre ou de plus petite courbure; mais on ne doit pas oublier la convention faite sur le sens de ces expressions.

Si l'on se demande s'il existe des figures semblables dans cliacun de ces divers espaces, on doit répondre allirmalivement, mais avec de très importantes restrictions. Sur nue surface identique donnée, il n'existe pas généralement de figures semblables, le plan euclidien jouissant seul de cette propriété, puisque sur lui seul les angles d'un triangle ne dépendent que des rapports entre les longueurs de ses côtés ; mais il existe des ligures semblables sur des surfaces identiques ditTérenles. Comme, d'ailleurs, le plan euclidien entre dans tous les espaces à paramètre négatif, on peut voir dans tous ces espaces des figures semblables sur une même surface. On pourrait, d'ailleurs, se demander si, grâce à l'emploi des droites euclidiennes, on ne pourrait pas, dans

l'espace géométrique 39

ces espaces, construire des figures semblables à trois dimensions; mais il n'en est rien, en raison du fait ({ue, dans ces espaces, la droite euclidienne n'est pas géodésique, mais qu'il en passe une infinité par deux points donnés; en outre, un espace euclidien ne peut avoir en commun avec un îiutre espace autre cliose (|u'un plan ou une surface spliérique, ainsi que nous le verrons plus loin.

Cette impossibilité générale de construire deux figures semblables dans un espace autre qu'un espace euclidien ne signifie pas, cependant, qu'à une figure non euclidienne ne n'ponde pas toujours une autre figure semblable et de ra|>port de similitude donné, mais cela signifie que cette figure existe dans un autre espace: les figures construites dans deux espaces à paramètres de même signe sont toutes semblables deux à deux avec un rapport de similitude égal à celui des racines carrées des valeurs absolues de ces paramètres.

Pour terminer cet exposé sommaire des principales propiiétés des espaces identiques à eux-mêmes, il nous reste à dire (juelques mots de la façon dont ils se coupent les uns les autres. Cette seule énoncialion de plusieurs espaces à trois dimensions se coupant les uns les autres implique la notion d'un espace à quatre dimensions dans lecjuel ils seraient situés. A une telle conception, on oppose (jue, dans rinq)ossibilité absolue où nous sommes de nous rejirésenter un tel espace «, il est puéril d'en parler et de prétendre en

1. Certains vont jusqua dire que le nombre des dimensions (le l'espace est nécessaire et peuvent invoquer ce passage de Leibniz: « Le nombre ternaire est déterminé, non pas par la niison (lu meilleur, mais par une nécessité géométrique. (Vest parce que les géomètres ont pu démontrer qu'il n'y a que trois lignes droites perpendiculaires entre elles qui se puissent couper dans un même point » {Essais sur la bonté de Dieu, 3° partie, n" IVôi),

Est-il besoin de faire remarquer qu'un géomètre qui n'aurait perçu que des phénomèûes enfermés sur une surface démontre-

ÉTLDE SUR l'espace ET LE TEMPS

faire la géomélrie, alors que, en l'absence de toute imago, on ne peut faire que de l'analyse. En principe, celte critique contre les géomélries à plus de trois dimensions nous paraît très juste, pourvu, d'ailleurs, qu'on la limite, en reconnaissant que rien ne s'oppose à ce que d'autres êtres aient des images à plus de trois dimensions ; mais la conception d'un espace à quatre dimensions nous semble s'imposer à titre de condition de la notion des espaces multiples à trois dimensions. Ces derniers se coupent deux à deux, suivant une surface identique à elle-même ^, et l'on doit on concevoir une infinité du même paramètre dans un même espace à quatre dimensions ; aiusi en est-il particulièrement des espaces euclidiens, dont la multiplicité peut surprendre notre imagination, comme la multiplicité des plans dans un espace à trois dimensions surprendrait celle d'un être superficiel ne percevant que des phénomènes situés sur un plan. Il va de soi, d'ailleurs, que, si nous avons pari»' il'un espace à quatre dimensions, cela ne signifie pas qu'il n'y en ait qu'un ; comme pour les espaces à trois dimensions, il y aurait lieu de définir par son paramètre chaque espace à quatre dimensions identique à lui-même.

La considération d'espaces à quatre dimensions permet de résoudre une difficulté bien propre à humilier les anciens géomètres. On a formulé souvent, contre le caractère purement géométri(pie de l'espace, une objection fondée sur l'impossibilité de superposer deux figures symétriques à trois dimensions 2. Composées d'éléments identiques grou-

pait de môme qu'il ne peut y avoir que deux dimensions, ces démontrations reposant sur un cercle vicieux bien caractérisé ?

1. De même que deux surfaces identiques se coupent suivant une ligne identique à elle-même.

2. Kant avait été très frappé de rimpossibilité de substituer, pour prendre son exemple, la main droite à la main gauche, et

L ESPACE GÉOMÉTRIQUE 41

pés dans le même ordre, elles ont mêmes équations, si on les rapporte à des systèmes d'axes sembla blement situés par rapport à chacune d'elles; en sorte qu'on est en droit d'affirmer qu'elles sont identiques, sauf quant à la position dans resi)ace. Mais alors, elles doivent être superposables, et, si elles ne le sont pas, il faut donc que l'espace jouisse île propriétés qui échappent à la science mathématique.

Disons de suite que cette dernière conclusion est illégilinio : l'absence de superposition n'est pas seulement un fait d'expérience ; mais la géométrie, et notamment la géoniélrie analytique, l'établit très nettement. Il s'agit donc d'un fait d'ordre essentiellement mathématique, dont on ne doit pas demander compté à je ne sais quelle inconnaissable réiditt'. Si la géométrie vulgaire se reconnaît, à bon droit, incapable de résoudre cette difficnllé, il ne faut en accuser que son caractère étroit, et l'on peut s'adresser avec confiance à la géométrie générale qui, nous le croyons, foui'uit une réponse aussi sim[)le que péremptoire.

Si nous considér3ns, sur un plan, deux figures symétriques par rapport à une ligne droite, et si nous cherchons à les superposer en faisant glisser l'une d'elles dans leur plan commun, nous nous heurterons à la même impossibilité qui s'oppose à la superposition de deux figures symétriques par rapport à un plan. Mais, pour obtenir celle des deux figures |)lanes, il suffit de retourner l'une d'elles par rotation, autour de l'axe de symétrie. De même, deux systèmes de points pris sur une droite symétriquement par rapport à un point de celto droite ne peuvent être amenés à coïncider par un simple glissement de l'un d'eux sur la droite; mais la coïncidence s'obtient si l'on fait tourner

il en concluait, en 1708, à la réalité propre d'un espace absolu (voir La Critique de Kant et la Métaphysique de Leibniz, par M. Nolen, p. 153 et suiv.).

42 ÉTUDE SLU l'espace ET LE TEMPS

une nioilié de la droite autour du centre de symétrie, d«' façon à la superposer à l'autre moitié.

Ces deux exemples nous montrent (jue deux figures symétriques, dans un espace ii une ou à deux dimensions ne peuve.nt être superposées qu'après retournement de l'une d'elles, au moyen d'un mouvement s'opérant dans un espace à deux ou trois dimensions. De même, deux ligures symétriques dans un espace à trois dimensions ne sauraient être amenées en coïncidence qu'après retournement de l'une d'elles dans un espace à quaire dimensions. Du moment <lonc c{u'un lel espace nous fait défaut, nous ne saurions oblenirla superposition dont la possibilité apparaissai! comme une exigence de la raison; mais nous ne nous heurtons qu'à une impossibilité de fait, tenant à ce que nous ne disposons pas de res[)ace nécessaire pour donner à une de nos figures un mouvement qui serait indis])ensable. Cette impossibilité, mise en évidence parla géométrie analytique à trois dimensions, s'évanouit si nous introduisons dans notre analyse une (lualrième dimension qui permette de faire tourner notre es[)ace autoiu- d'un de ses plans.

D'une façon générale et quel que fût le nombre des dimensions de l'espace dans lequel nous vivrions, les figures symétriques ayant le même nombre de dimensions ne seraient pas superposables, bien qu'identi({ues, parce qu'elles ne pourraient être retournées que dans un espace d'ordre supérieur.

Comme conclusion au présent paragraphe, nous pouvons dire qu'un espace géométrique nous apparaît comme un quantum continu dont le nombre des dimensions est celui des (|uantités nécessaires pour y déterminer un élément réduit à zéro, ou point. Ce <jui distingue, d'ailleurs, la géométrie de toute autre science des quantités, c'est l'adaptation de la notion de (juantité à des imii^es sui gcncrta. Les euclidiens sont dès lors fondés, semble-1-il, à dire que les géoméiries

L ESPACE GÉOMÉTRIQUE

lion euclidiennes ne sont pas des géoméiries, puisque nous sommes impuissants à former des images adéquates des liuures incompatibles avec l'espace euclidien ; mais, à vrai dire, toutes nos images sont imparfaites comme les ligures iiiaférielles, et le raisonnement géométiique porte sur les idées auxquelles sont associées les images et non sur celles- <i ; aussi importe-t-il assez peu que la divergence soit petite (»ii grande. S'il arrive qu'elle soit telle (jue nous ne puissions plus suivre sur les images la suite des conclusions de l'analyse, nous n'en concevons pas moins que des êtres doués d'nwo autre sensibilité pourraient posséder des images qui y 1 ('pondissent aussi exactement ({ue les nôtres répondent à la géométrie euclidienne.

Nous avons employé tout à l'heure une expression de nature à soulever quelques discussions: un espace, avonsnous dit, est un quantum continu. Nous savons fort bien qu'il est des surfaces et des lignes discontinues, et que l'on doit concevoir de même des espaces à trois dimensions discontinus. Mais, au point de vue où nous nous sommes placé et d'après lequel un espace peut être étudié en luimême, sans le situer dans un espace d'ordre supérieur, deux nappes d'une même surface constituent deux espaces indt'pendants, ou identiques et indiscernables, pour parler l»liis exactement, si elles sont égales.

Quant au sens cpie nous attribuons au mot « continu », c'est celui des géomètres, el non celui ([ue les analystes ont mis en honneur. Pour nous, dire qu'une ligne est continue, c'est dire (pie, étant donnés deux points sur cette ligne, il y if'pond toujouis un }ioint à toute valeur donnée, quelle quelle puisse être, du rapport entre les deux segments. M. Poincaré a foit bien montré ' (jue, en partant de la dé(i-

1. Le continu mathématique, dans la Revue de métaphysique et de morale de janvier 1893.

l'espace GÉOMÉTRIQUE

nitioii des analystes *, on est amon<' à admettre des conlinuités de plnsieurs ordres, dont la première est donnée par des insertions n'ayant pour effet que de produire la division par la suite illimitée des entiers. Or, de telles continuités ne répondent pas à l'idée de continuité absolue, telle que nous Tavons définie et telle que l'admettent, croyons-nous, les géomètres, malgré le dédain de M. Poincaré, qui n'accorde pas plus d'importance à l'étendue qu'à la craie avec laquelle ceux-ci tracent leurs figures.