Même ouvrage, t. 11, p

2. C'est, croyons-nous, à Helmholtz qu'on doit l'hypothèse de ces êtres à moins de trois dimensions vivant dans les espaces d'ordre inférieur.

ETUDE SLR l'eSPACE ET LE TEMPS

y seront tracées peuvent être étudiées d'une façon beaucoup plus complète, et Ton peut même les déplacer sur la surface. Ce sont là autant de notions qui viennent s'ajouter aux propriétés des surfaces elles-mêmes, de même nature que celles des lignes, quand on ne sorlait pas de celles-ci.

Nous venons de dire que Ton peut déplacer les lignes sur les surfaces, et ceci nous amène à définir les figurca égaleii, question à la fois fondamentale et délicate enire toutes. « Toute la géométiie », dit M.Calinon, « repose sur « l'idée première de l'égalité; on admet qu'avant même de « savoir comparer les diverses grandeurs que l'on rencontre « dans les figures, on peut juger de l'égalité de deux figures, « ou, ce qui revient au même, séparer, dans une figure, les « deux éléments de position et de forme. Dans cet ordre « d'idées, on peut dire que deux figures égales sont deux « positions différentes d'une même figure, et l'on constate « que deux figures sont égales en les confondant en une « seule par un changement dans leurs positions respec- « tives ; on dit alors qu'il y a coïncidence *. »

Cette définition de l'égalité, notre ami le sait bien, prête le flanc à la critique la plus embarrassante : « Deux figures <» sont égales )),ditM. Poincaré, « quand on peut les superbe poser ; pour les superposer, il faut déplacer l'une d'elles

\. La sphère, la ligne droite et le plan, p. 4. Disons de suite qu'on consultera du même auteur, avec le plus grand profit, une Introduction à la géométrie des espaces à trois dimensions, et des articles parus dans la Revue philosophique de juin 1889 et d'octobre 1891, ainsi que sa plus récente publication, brochure sur La géométrie à deux dimensions des surfaces à courbure constante (Gauthier-Villars, 1895). On trouvera d'ailleurs une bibliographie non euclidienne fort intéressante à la suite d'un article de M Mansion sur les travaux de M. de Tilly, paru dans la Revue des questions scientifiques d'avril 1895. M. Mansion veut bien nous signaler en outre un ouvrage récent de grande valeur de Engel et Stackel {die Théorie der Parallellinien von Euclid bis Gauss, Leipzig, 1895).

l'espace GÉOMÉTRIQUE

a jusqu'à ce qu'elle coïncide avec l'autre ; mais comment ,< faut-il la déplacer? Si nous le demandions, on nous u répondrait sans doute qu'on doit le faire sans la défora mer et à la façon d'un solide invariable. Le cercle vicieux (( serait alors évident... Tout imparfaite qu'elle soit, cette u définition implique un axiome. La possibilité du mouve- „ ment d'une figure invariable n'est pas une vérité évidente (, par elle-même, ou, du moins, elle ne l'est qu'à la façon (, du postulatum d'Euclide, et non comme le serait un juge- «, ment analytique a priori K »

Cette critique est décisive et ne saurait être éludée ; mais, avant d'aborder la solution de celte dilliculté, nous en signalerons une autre, formulée par M. Uenouvier. Pour lui, le déplacement sans déformation va de soi, mais le passage de l'identité de figure, ou égalité géométrique, à celle dégalilé de mesure exige un postulat ou jugement synthétique a priori, nulle analyse ne pouvant nous apprendre que le même de figure est aussi le même de quantité 2. Nous ne saurions admettre cette manière de voir, attendu que, la mesure d'une figure étant en soi une opération géométrique (décomposition en figures élémentaires), celte opération, appliquée à deux objets géométriquement identiques, ne peut conduire qu'à des résultats identiques, des résultais différents ne pouvant avoir de raison suflisante.

Cette difficulté écartée, revenons à celle que M. Poincaré a si bien mise en évidence. Pour la rendre plus claire encore, si quelque doute pouvait subsister, nous allons montrer, sur un exemple, que, d'une façon générale, la superposition de deux figures n'établit point leur égalité telle qu'on l'entend généralement.

• Soit une surface telle qu'un ellipsoïde et, sur cette sur-

1. Les géométries non euclidiennes, dans la Revue générale des Sciences pures et appliquées du 15 décembre 1891, p. 772.