VALEUR DE LA GEOMETRIE GENERALE

Après avoir fait connaître dans ses grandes lignes la géométrie des espaces identiques à eux-mêmes, géométrie évidemment très particulière, mais vraiment générale dans son esprit, il y a lieu de nous demander quelle en est la valeur, d'abord à un point de vue purement logique, puis à un point de vue largement philosophique.

Au point de vue de la pure logique, la géométrie générale, comme la géométrie euclidienne elle-même, à le bien prendre, apparaît comme entachée d'un vice qu'on croirait volontiers inéliminable : elle repose sur des définitions dont rien ne prouve la légitimité, et celle-ci ne se vérifie que peu à peu, par l'absence de contradiction dans la suite des déductions ayant ces définitions pour point de départ. Cette absence permet, sans doute, d'inférer que lesdites définitions ne contiennent aucune contradiction implicite ; mais on

1. Voir, par exemple, V Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, i^nr M. Jules Tannery, p. 103.

peut toujours supposer que, en poursuivant la chaîne des déductions, on arriverait enfin à une contradiction.

Les partisans exclusifs de la géométrie euclidienne ne manquent pas de déclarer que celle-ci échappe à une telle critique, car la légitimité des définitions fondamentales y résulte d'une intuition qui ne saurait tromper. Nous reviendrons tout à l'heure sur cette intuition ; pour l'instant, sans m discuter la valeur, nous allons montrer qu'elle permet de garantir l'absence de contradiction dans les définitions de la géométrie générale, exactement avec la môme autorité qu'elle pourrait le faire pour la géométrie euclidienne.

A ce sujet, tout le monde a vu maintes fois reproduite la célèbre théorie du Dictionnaire de M. Poincaré, exposée par lui dans l'article déjà cité de la Revue générale Jes scicncea purea et appliquées '. Cette théorie est ainsi formulée :

(( Considérons un certain plan que j'appellerai fonda- (( mental et construisons une sorte de dictionnaire, en fai- « saut correspondre chacun à chacun une double suite de « termes écrits dans deux colonnes, de la même façon que « se corresi)ondent, dans les dictionnaires ordinaires, les « mots de deux langues dont la signification est la même. »

(Suit un extrait du Dictionnaire.)

(( Prenons ensuite les théorèmes de Lowatschewski et « traduisons-les à l'aide de ce dictionnaire comme nous tra- (( duiiions un texte allemand à l'aide d'un dictionnaire « allemand-fiancais. Nous obtiendrons ainsi des théorèmes de « la géométrie euclidienne, » (Suit un exemple.)

(( Ainsi, quelque loin que l'on pousse les hypothèses de « Lowijtschewski, on ne sera jamais conduit à une contra- « diction. En effet, si deux théorèmes de Lowatschewski « étaient contradictoires, il en serait de même des traduc-

1. Les géométries non euclidiennes, dans le numéro du lo décembre 1891.

46 ÉTUDE SLU l'espace ET LE TEMPS

« lions de cos deux Ihéorèmes, faites à l'aide de noire dio

« lionnaiie; mais ces traduclions sont des théorèmes de

« géométiie ordinaire. »

Rt'duit à ces tormes, lai-i^ument de M. Poincaré a été

souveni invoqué sans que ses admirateurs parusseni éprouver le moindre besoin de le compléter; pour nous, il ne nous satisfaisait liuére, el nous avons dabord rei^ardé comme très juste une critique extrêmement vive qu'en a présentée M. Milliaud dnns sa tli«'se sur les conditiona et 1rs limites (le la certitude lixjique. Rem.irquant que M. Poincaré établit son diclionnairc sans paraître s'inquiéter aucunement du sens des vocables mis en rei^ard des lermes de In géométrie euclidienne, il formule une ol^jeclion qui, contestable dans les termes cjénéraux qu'il lui a donnés, semble irréfutable considérée dans les exemples, dont voici le premier:

« Je suppose que, partant d'une proposition acceplée de « tout I(> monde, comme : cerlains iiombres sont à la fois « impairs el premiers (3, 5, 7, il...), on liic lelles consé- « (juences Ioniques qu'il plaira; puis, pour passer de celle « chaîne de dédjiclions à une aulre, que l'on construise le « vocabulaire que voici :

« Nombre se traduira Homme

«Impair !.'.*.'.'!.'.'*;.'! Vivant

«Premier - ^i^,,^

« On énoncera alois d'abord : Certains hommes sont à la « fois vivants et morts. Puis, viendra une série de proposi- « lions se succédant en bonne loijique, comme «-elles dont « elles seront la traduction. (Jui si.ngera à dire que la cor- « respondance terme à terme de cette suite d'énoncés à une « suite de déductions arithmétiques garantit l'absence de « contradiction de ces énoncés' ? »

l'espace Géométrique 47

A s'en tenir à l'exposé de M. Poincaré, il nous semble (lue l'objeclion est convaincante; mais M. Calinon nous a nionlié que cet exposé, convenablement complété, a une tout autre signilication et une tout autre portée que celle qui lui est attribuée parM. Milhaud. La chose vautqu'on y insiste.

Le point de départ de M. Calinon est tout entier dans celte reniarifue fort simple (jue, lorsque l'on a constaté (jue i)lusieurs problèmes aboutissent au même système d'équations, il sutlit d'en traiter un seul par la méthode algébrique, la solution trouvée convenant aux aulres,'sous réserve du sens j.aiticulier à donner aux inconnues dans chaque problème; c'est là ce qu'il îippelle le principe des transpositions, principe ne soulevant aucune difliculté en arithmétique. En f'éométrie, ce i>rincipe trouve naturellement à s'appiiciuer, el même sn forme algébri(iue peut disparaître, tout en le laissant subsister au fond : c'est ce qui arrive dans la théorie classique des fujures corrélatives, qui permet de passer sans démonstialion d'un théorème à un autre, |)ar une simple substitution «le mots. Le dictionnaire de M. Poincaré n'est qu'une application de celle méthode. Sa légitimité repose sur le fait «pie les quantités euclidiennes el non euclidiennes (ju'il mel en regard sont liées, de pari et d'autre, par les mêmes é«pialions fondamenlales, que l'on démontre séparément dans l'une et l'autre géométrie. Dès lors, si l'on admet qu(; la géométrie euclidienne ne saurait aboutir à une contradiclion, on est bien oldigé d'admettre qu'il en est de même de celle qui s'en déduit par transposition, puisque l'une el l'autre ne sont que deux énoncés difïërents d'un même développement analytique.

Poussant la ([iieslion plus loin «lue M. Poincaré, M. Calinon cherche à établir que ce développement analytique commun ne s;nirail, en efl'el, aboutir à une contradiction. Lagé'omélrie euclidienne repose tout entière sur les quatre données suivantes : i» il y a une ligne, appelée ligne droite,

L ESPACE GEOMETRIQUE

telle que par deux points il en passe toujours une et une seule; 2® il y a une surface, appelée plan, telle qu'une droite qui a deux points situés sur cette surface y est située tout entière ; 3° la somme des angles d'un triangle rectiligne est la même pour tous les triangles ; 4° une figure peut se déplacer dans tous les sens en restant égale à elle-même. Or, les trois premières propositions s'expriment par la représentation du plan au moyen d'une équation de la forme:

si Ton prend trois axes de coordonnées, et par la représentation de la droite au moyen de deux équations du même genre. Quant à la qualiième proposition, elle est implicitement comprise dans celte autre proposition : Les fornmles relatives au cliangemeni des axes de coordonnées sont du premier degré '.

L'analysé montre aisément que ces équations ne présentent aucune contradiction, d'où il suit que la géométrie euclidienne, qui n'est qu'une traduction des transformations de ces équations, ne saurait non plus en présenter. La méthode de M. Poincaré permet d'étendre cette proposition à la géométrie de Lobatschewski, à laquelle, du reste, on pourrait appli(iuer la méthode directe, en partant de ses trois propositions fondamentales, identiques aux propositions i, 2 et 4 de celle d'Euclide.

Nous ajouterons qu'une démonstration de l'impossibilité de toute contradiction dans la géométrie générale avait été donnée par M. de Tilly, dès 1887, et présentée sous sa forme détînitive dans un Ei^sal de ncométrle analytique générale, inséré parmi les Mémoires publiés par l'Académie royale de Bel-

1. La relativité du mouvement fait qu'un changement d'axes est équivalent à un mouvement de la figure.

iîitpie '. Sans entrer dans les détails de celte d('*monstration,. nous croyons devoir en indiquer le principe. Toute la géométrie peut se réduire, en dernière analyse, à des relations entre des dislances, et ces reh» lions elles-mêmes dépendent d'une relation unicpie entre n points, n surpassant de deux unités lo nombre des dimensions de l'espace. Si ce nombre est de trois, n est égal à cinq, et les distances de ces cinq points arbitraires sont au nombre de dix ; mais la relation entre ces dix distances n'est pas arbitraire, si l'on veut que l'es- |»ace soit « homogène », c'est-à-dire que cette relation existe entre les dislances de cinq points quelconques, i)ris n'importe où. A celle condition fondamentale, M. de Tilly en ajoute une, dite de « mesure », exprimant que, le long (l'ime ligne droite, les intervalles s'ajoutent, et, enlin, une troisième condition, celle de « continuité ».

Les formules auxquelles il arrive ainsi sont précisément celles de la géométrie générale des espaces que nous avons ai>i>elés idenli({ues à eux-mêmes et différenciés entre eux par la valeur attribuée à un coefficient arbitraire.

Toutes ces formules ont élé établies d'une façon purement analyti(fue et ont simplement fait l'objet de traductions en langage géométrique : elles ont donc toutes exactement la même valeur logique. Or, le principe de la parallèle unique n'est vrai ((ue pour l'une des valeurs du coetlicient arbitiaire; dès lors, démontier ce principe sans invoquer l'expérience équivaudrait à démontrer l'impossibiliti'*, mêm(^ théorique, des systèmes où ce principe n'existe pas, ce qui est contradictoire aux calculs présenté's et ne seiait possible que si ces calculs contenaient des erreurs.

Supposant admis que la géométrie générale ne saurait.

1. Collection in-8°, t. XLVIL M. Mansion a donné ce mémoire en supplément à Ll livraison de décembre 1893 de son journal Malhesis (Gauthier- Villars) .

L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE

présenter de contradiction (ou, tout au moins, qu'elle en est à l'abri dans la même mesure que la g:''oméliie euclidienne) on ne s'en trouve pas moins en face d'adversaires implacables. Nous ne compterons point parmi eux ceux qui se bornent à l'écarter commue dépourvue d'inlérèl. Parexemple Stuart Mill admet avec le I)'' Wliewell que « non seulenieni une détinilion doit, pour être admissible, se rapporler nécessairement et être conforme à quebpu' conception dislinctemenl formée dansresi)rit » nuiis encore (ju<' les lignes droites, par exemple, que nous délinissons doivent être « celles par lesquelles les angles sont formés, celles |)ar les- <iuelles les triaiigles sont limités, celles dont le parallélisme peut être aftirmé, etc. ». Mais, pour lui, la raison d'être de cette exigence est (}ue les conclusions (ju'on pou ira il tirer <( d'bypolbèses purement arbiliaires... nous aiquciidraienl 'seulement (|u'elles seraient les iirojuiéjés d'objels (pii n'existent pas n'-ellemenL », « qu'elles n'ajouteraient rien à notre connaissance «le la nature ». C'est là un [»oiiil de vue en quebpie sorte utilitaire, qui ne toucbe point à la portée [diilosophique des d('ductions fondées sur des déthniions ne répondant pas aux objets ré-els, «;t Sluart Mill reconnaît que les conclusions qu'on pourrait tirer de ces hypothèses arbitraires « sciaient un exercice inti'llectuel d'une haute utilité ' ».

La théorie de Vintultion, telle cpie l'a prt'sent''e M. Delb(euf dans ses ProUùjomènes, ainsi (pie nous l'avons déjà vu, constitue un nioyen ingénieux de prendre pour point

1. Voir cette discussion dans le Sysfhne de logique déduciive et indiic/ive, trad. Peisse, t. 1, p. 2:j9 et 200.

La question de l'utilité pratir|ue de la géométrie générale est en dehors de notre sujet. Rappelons, toutefois, que M. Poincaré a trionjphé sans peine, ffiàce à elle, d'une difficulté rencontrée par lui dans cette théorie des fondions fuchsiennes (pii constitue l'un de ses plus beaux titres de «gloire.

de départ les données sensorielles, tout en sauvegardant les <ii oits de la raison dans l'établissement de la géométrie. Nous avons d'abord xme intuition de la droite et du plan, puis nous (lierchons un attribut qui réjtonde à cette intuition et permette de la remplacer par un concept '. Hiende plus légitime, ^,ins doute, ({ue de procéder ainsi; mais il est clair qu'en ce faisant on écarte tout conc(q»l conliair»' aux intuitions suggé'rt'es par nos impressions sensori«dles. Or, écarter de tels concepts, ce n'est aucunement en démontrer l'illégitimité. Aussi M. Delbcpuf s'efforce-l-il de monlier (pie la géométrie gt'uérale a ses postulais, analogues à ceux d'Euclide ; mais, pour le faire, il commet, selon nous, une tr('s grave erreur sur la nature des d(''linitions fondamentales. Ce (pie nous eu avons dit ])r(''C<Mlemmenl nous jMMinettra d'êlie bref. l>api('s lui, la (l(''linition ordinaire du plan i surface telle (pie la droile passant [uir deux quelcon({ues de ses points y est contenue tout enlit're, ou surface sur h'Kjuelle une droile peut se dé-placer dans tous les sens) élanl surabondanle, celte définition dissimule un postulat, celui de la possibilité de rexisleiu^^e de cet objet. Or, ajoule-t-il, la déliniti(Ui do la surface identique à elle-même postule bien plus à savoii- la possibilité d'une surface sur hupielle toute tigure puisse être d('placée sans d('formalion 2.

Nous reconnaissons bien volontiers que la détînition des surfaces identi(iues est surabondante, et qu'il y a là un défaut qu'il serait intéressant de faire disparaître ; mais ce défaut n'introduit aucun postulat, puisque, encore une fois, poser une définition fondamentale, ce n'est point affirmer la possibilité de son objet, cette définition devant être soumise à l'épreuve des déductions s'appuyant sur elle, et sa

1. P. 175. M. Delbœuf est resté fidèle à son ancienne conception (voir Uevue philosophique d'août 1894, p. 129).