Avril et juillet i890, p. o et 3i

2. Tel est le reproche, renouvelé de Stallo {La nuitière et la physique moderne, p. 167), de faire de l'espace une chose réelle. € Des espaces distincts, dit M. de Bro^îlie, espaces idéaux qui se refusent à recevoir des lignes et des figures idéales, qui se comportent à l'égard de ces figures comme s'ils étaient pleins et elles solides, qu'est-ce que cela signifie ? » Un espace n'étant, pour nous, que la substantialisation verbale des relations spatiales compatibles entre elles, dire qu'une figure ne peut entrer dans un espace, c'est dire qu'elle constitue un svstème de relalions incompatible avec un système plus général, décoré du nom d'espace.

Il nous semble, du reste, que, en dehors de toute thèse métaphysique sur la nature de l'espace, il n'y a rien de choquant à dire qu'un triangle sphérique ne peut entrer sur une sphère idéale dont le rayon difiëre de celui de la sphère à laquelle appartient ce triangle également idéal ; si un géomètre euclidien peut parler ainsi à l'occasion de deux espaces à deux dimensions, pourquoi ne parlerait-on pas de même, en géométrie générale, à l'occasion de deux espaces à trois dimensions?

l'espace Géométrique 53

la définition. L'intuition découvre l'objet..., le perçoit tel qu'il est. La définition vient ensuite ; elle exprime par des paroles, de son mieux, les caractères de l'objet perçu. » A cette occasion, M. de Broglie remarque très justement que les nouveaux géomètres ont recours k l'intuition, qui leur livre les notions de surface, de ligne, etc.; mais cette remarque n'est juste qu'en ce que, sans les impressions sensorielles, l'idée de quantité ou de grandeur ne s'associe rait pas «i nous aux images spéciales qui transforment la science générale de la quantité en science géométrique. Cette intuition, si l'on veut employer ce mot, est bien différente de celle qu'invoquait l'éminent professeur de l'Institut catholique de Paris, car elle donne seulement une forme à la science géométrique, sans lui fournir aucune vérité. La discussion est, d'ailleurs, très intéressante, parce qu'elle aborde la question par les grands côtés ; bien loin de se rejeter d'un postulat sur un autre, l'auteur s'est appliqué lui-même à établir, ainsi que nous l'avons déjà dit, qu'on peut démontrer une foule de propositions admises sans preuve dans les traités ordinaires, et il reconnaît nettement le caractère tout particulier du postulatum d'Euclide.

Avec beaucoup de raison, il en conclut que ce poîitulatum n'a pour rôle que de compléter la définition insuftlsante de la ligne droite ; mais il tient pour absurdes tous les dévelop- |»ements qui font abstraction de ce postulat et fait volontiers appel à l'intuition pour établir cette absurdité, par exemple quand il s'agit de condamner la notion d'une sphère retournable. Au fond, d'ailleurs, et malgré les plus énergiques condamnât ians de l'empirisme, M. de Broglie est bien obligé de s'appuyer sur les données sensibles * ; après avoir lière-

1 Un autre partisan de l'intuition, M. Rabier, reconnaît avec une parfaite netteté son infériorité : n'étant, comme le pensait Leibniz, « qu'une sorte de décalque de l'étendue sensible sur notre imagination», elle ne saurait constituer une preuve et

ÉTLDE SCH l'espace ET LE TEMPS

ment pari.', dos couceplioiis a priori de noire ïnlo]Vv^enco Il al Inhuo, avec les scolastiques, l'origine de ces conceplion^ a 1 ahsiracl.on « dôirageant les essences des réalités contingentes desfails sensibles lanotion de corps et la propriél.'. détendue,»; a dans celle idée rationnelle de l'élenduo ajoule-l-il, se trouve comprise l'idée des trois dimensions Je postulatwn d'Euclide..., lié à la conception de la mnjora"lion possible des grandeurs, sans que les angles changent » Ainsi inlorprélée, la HM'-orie scolaslique nous^enferm. n pnori dans la connaissan.-e du ré.d et nous interdit l.-, recherche du possible, puisqu'elle ne nous permet que de dégager des faits sensibles, par abslraclion, les propriétés de retendue. Si telle élail sa vérilablr portée, nous n'hésiterions i)as à la répudier ; mais il paraît possible de l'inler prêter d'une manière plus large, car l'un des principaux représentants des doctiines scolastiques, M. de Yor-es, est venu à notre aide en rappelant le principe de saint Thoinas que Dieu peut tout ce qui n'implique pas contradiction' [C. Gent., II, 22) : « Qui(hjuù/ contrudivtionem non implical Deu.potest «. » S'il en est ainsi (.t nous ne concevons pas comment un philosophe spiritualiste pourrait le nicr^ les dWinitions qui ne contiennent aucun élément de contradiction peuvent être incompatibles avec des vérités de fait pourraient comme telles être repoussées par celui qui accorderait à notre espace une existence nécessaire, mais s imposent à celui qui ne voit dans notre espace qu'une

ne fait qn illustrer celle-ci. Si donc on la place, connne lui î l-i base delà géométrie, celle-ci cesse, à vrai dire, .V t une s cien démonstrative pour ne plus reposer que sur la sensibil t ' d 1 imagination (voir Logique, p. 273-284.) 1. Annales de philosophie chrétienne, sept. 1890, p. 578 \iou-

It 42 q ot ""''' ^ contradicti^nem . (S.«/., Hb. ],

l'espace GÉOMÉTRIQUE 55

œuvre de Dieu comme exprimant une possibilité que celuici aurait pu aussi bien réaliser.

Nous devons, cependant, signaler une réponse de M. de ihoiilie : « 1/absence de contradiction dans la suite des déductions, dit-il, ne prouve pas que le point de d(''part ne conlienl rien d'impossil)le, correspond à des objets intelligibles cl concevables, » et il cile comme exemple concluant celui lies imaginaires : « Les raisonnements et les calculs sur les racines carrées de (piantités négatives se suiveni sans con- Iradiclion; mais il n'en est pas moins vrai que tout carré est

positif. »

L'objection ne laisse pas d'être sj)écieuse; mais elle n'est (pie cela. Les imaginaires sont des écritures purement matérielles, auxquelles on convient d'appliquer mi'canicfuement les l'ègles de calcul démontrées pour les (pianlité-s iMudles, en sorte (pie ces règles servent de définitions^ aux opérations sur les (juanlités imaginaires. Dans ces conditions, il ne saurait y avoir de raisonnement, et tout ce qu'il faut pour ne pas être arrêté' dans ses opérations, c'est de n'avoir introduit aucune contradiction dans les règles de calcul ; il ne peut, (lu reste, y en avoir, puisque ce sont les règles (b'-montrées [loiir les quantités réelles. Tout autre est le cas de la géométrie générale, car elle raisonne sur des idées, si bien qu'elle loi nie une suite de déductions régulières, au dire de M. de Ihoglie ; celte suite lire d'elle-même sa valeur, tandis ([ue la série d'cM-iitures qualifiées d'égalités enire imaginaires n'a d'autre source que les règles relatives aux ([nanti lés réelles. La géométrie générale aj)paraît donc avec une valeur propre, qui ne s'appuie pas sur la géométrie euclidienne, simple cas particulier, taudis que, si les quantités réelles sont aussi des cas particuliers des imaginaires, en un certain sens, elles servent de base essentielle à ceMes-ci. En un inol, les raisonnements autonomes de la géonn'lrie générale éprouvent la valeur de sa base, tandis que les opérations

S6 ÉTUDE SUR l'espace ET LE TEMPS

mécaniques sur les imaginaires ne vérifient que lab.ence de contradiction dans les règles de calcul démontrées pour les quanlités réelles.

Ampère, parlant de Tindémontrabilité du postulat disait aussi lui que sa certiiude résultait de l'inluilion; mais il y ajoutait un qualificatif caractéristique, disanf qu'il s'a.j, la d une intuition synthétique ^, en sorte que M. Rabior qui reconnaît aux axiomes propres, ou postulais, le caraclèir synthétique et les fait dériver de finluilion, na fait qu. développer la pensée ainsi indiquée. Suivant de très près M. Renouvier, il se sépare de lui en ce qu'il enseigne qu. les propositions synthétiques ne peuvent avoir d'autre fondement que l'expérience, qu'elle soit externe et sensible, ou mterne et d'intuition, tandis que l'illustre chef du néocriticisme invoque les jugements synthétiques « pr/oW de Kanf contre la géométrie générale. Ce qu'il y a d'essentiel dans a critique de M. Renouvier, c'est l'idée que tous les postulats (car, pour lui, il y en a beaucoup) reposent sur une synthèse de deux catégories différentes, la forme et la quantité laquelle ne pourrait qu'être posée a pnori, à titre dHmpcrJttt géométrique, analogue à l'impératif catégorique qui seil de fondement à la morale. Il y a là une pensée évidemmeni profonde, que nous avons déjà disculée à propos de l'égalité^ géométrique et du prétendu postulat de la perpendiculaire Nous ne saurions nous arrêter à chacun des postulats qu'il énonce ; mais nous signalerons la forme imprévue qu'il donne à celui des parallèles. Il en fait le postulat de la rotation ou du tour de l'horizon: la somme des an^es extérieurs d un polygone convexe fermé est égale à quatre droits ou, en d autres termes, . la révolution périmétrique accomplie suivant une ligne polygonale fermée fournit la même mesure angulaire qife s'il s'agissait du pivotement sur un point,