CHAPITRE III

LA GÉOMÉTRIE DE NOTRE UNIVERS

Nous avons vu que, si Ton se place à un point de vue purement lalionnel, toutes les géomédies pouvant être construites sans entraîner de contradiction ont une égale valeur, sont aussi vraies les unes que les autres. Mais on peut se demander à laquelle d'entre elles est conforme notre univers. Pour beaucoup, la réponse à cette question n'est pas douleuse : notre univers est euclidien. A cette affirmai ion sans réserve, il est d'abord indispensable d'opposer une restriction à laquelle ne saurait contredire aucune personne nous ayant suivi jusqu'ici : du moment que le système de géométrie cberché ne présente aucun caractère de nécessité, nous ne pouvons le coiuiaître que par la méthode d'observation ; c'est uniquement par des mesures que nous arriverons à déterminer le paramètre de notre univers, à supposer même que notre espace soit identique à lui-même, ce que rien n'impose a priori. Dès lors, cette détermination ne pourra être faite qu'à un certain degré d'approximation, comme toutes les déterminations expérimentales.

Mais nous allons nous trouver en présence de très subtils arguments tendant à montrer que c'est une illusion de

LA GÉOMÉTRIE DE NOTRE TMVERS 89

chercher dans les mesures une indication quelconque sur la nature de notre espace, en sorte que nos sensations ne seraient plus des « signes à interpréter », comme l'avait dit Helmhollz, attendu qu'on pourrait procéder à cette interprétation d'une façon absolument quelconque, sans que rien permît de motiver aucune préférence, au point de vue de la réalité objective. Tel est le sens qu'il faut attribuer à ces paroles de M. Poincaré : « Que doit-on penser de cette question: La géométrie euclidienne est-elle vraie? — Elle n'a aucun sens. — Autant demander si le système métrique est vrai, et les anciennes mesures fausses ; si les coordonnées cartésiennes sont vraies, et les coordonnées polaires fausses. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre ; elle peut seulement être plus commode <. »

Nous étudierons plus loin cette thèse absolue; mais nous

en examinerons d'abord une moins radicale, soutenue par

M. Calinon dans un article de la Revue philosophique 2. Il

admet la valeur des mesures que nous prenons sur la terre

et ayant pour objet soit la distance de deux points situés à

sa surface, soit l'angle de deux lignes qui y sont tracées ou

de deux rayons lumineux venant s'y rencontrer, tandis

qu'il fait justement remarquer que la détermination des

dimensions et des distances des corps célestes repose sur

l'hypothèse que les rayons lumineux ont la forme de

droites euclidiennes K Voyons ce qu'il lui paraît possible de

conclure des données expérimentales dont nous disposons.

1. Revue des sciences pures et appliquées du 15 décembre 1891,

p. 173 et 174. . , n A^

2. Vindélermination (jéométrique de l'univers, dans la Revue de

décembre 1893.

3. M. Calinon oppose ainsi les mesures tactiles aux mesures visuelles; si, en réalité, la vue joue un rôle important dans les premières, il n'en est pas moins vrai que le toucher peut y contrôler les indications de la vue.

90 ÉTDDE SUR l'espace ET LE TE.MPS

l-es objeLs silu.'.s à la surface de la terre el celle snrf.ce elle-même nous apparaissent comme conformes à la ...o metne euclidienne, dans la mesure de précision a'vec Kiquelle nous pouvons déterminer les longueurs el les an^les^ Comme cette précision ne saurai! êlre absolue, nous devons en conclure seulement que le diamètre de la terre a une valeur négligeable par rapport au paramMie ou au rayon de courbure de notre espace, si celui-ci est identique à lui même, ou aux rayons de courbure dudil espace dans la région que nous occupons, s'il n'esl pas ideulique '

En ce qui concerce les astres, que nous ne connaissons que par 1 u.lermédiaire de rayons lumineux, nous pouvons seulement déterminer les directions de ceux-ci à leur arrivée dans noire œil ' ; quant à la trajectoire de la lumière, M Calinon 1 astreint seulement à êlre déte.minée par ,leux poinis Mais cela ne veut pas dire que les rayons lumineux soient des geodés.ques de nolie espace, car il peul y avoir plusieurs lignes de même forme passant par les deux points bien quune seule d'enire elles soit délermiuée par les équations générales lorsque les deux poinis sont donnés 2 Ajoutant à cela que la figure de la terre est « une figure .nfinimenl petite ,., M. Calinon en conclut que la géométrie de 1 univers est indéterminée et que, même en géoméirie

1. Nous modifions un peu la rédaction de M. Calinon n„i selon nous, emploie certaines expressions peu rigoureuses a sniP^ desquelles nous aurons à faire quelques réserC ' '

en „-,;"",',''""'"':• ^'- '^■•'''""" P'"^'"'- dans uu plan euclidien tn^is^nctions fixes LtUi^ei^^ (^^^^^^^^ et ^ sont drte m.nt's par deux érfnations du premier de-ré en fondl!>ns ^ ' P'' ""^ '^"'^ convenable de la forme des

LA GÉOMÉTRIE DE NOTRE UMVERS 91

euclidienne, on peut adopter une infinité de solutions où le réseau des rayons lumineux est composé de courbes.

Cette expression de « iigure infuiimont petite >>, qui n'est na^' matbématiquement exacte, puisqu'il s'agit de figures déterminées, le devient pratiquement si l'on veut dire par 1-, que ses dimensions sont trop petites pour que les déplaromonts à sa surface produisent aucune moditîcation appréciable dans la direction des rayons lumineux. Toutes les fois qu il en est ainsi, c'est-à-dire pour les étoiles fixes (sauf pour quelques-unes à l'égard desquelles un artifice permet, nous le verrons, d'éluder la difficulté), il est incontestable que nous pouvons construire à notre gré les rayons lumineux, puisque nous n'en connaissons qu'un point et la tangente' en ce point, sans que rien puisse nous apprendre à en connaître un autre point. Mais lunivers comprend, outre les étoiles fixes, les astres qui composent le système solaire et pour lesquelles l'iiypotbèse précédente n'est pas vérifiée.

Si, en effet, on vise un même astre du système solaire de deux poinis suffisamment éloignés, les deux rayons lumineux n'ont pas la même direction. D'une façon absolue, on pourrait leur attribuer deux tracés concourants quelconques; mais, comme on peut multiplier les points d'observation, on devra imposer à tous les rayons de converger vers un même point, variable sans doute avec le système géométrique adopté, mais unique dans cliaque système. Or, cetle condition ne saurait être vérifiée en général: il est aisé de s'assurer que, si elle l'est dans l'iiypotbèse de droites euclidiennes, elle ne l'est pas dans celle de droites de Lobatscbewski ou de Riomann. M. Calinon, sans sortir de l'espace euclidien, présente bien un système de transformation point par point conservant les angles et où des courbes se substituent aux rayons lumineux rectilignes ; mais, dans ce système, il nous le dit lui-même, les points correspondant à ceux qui sont à la surface de la terre ne diffèrent des

»2 ÉTUDE SIB l'esp.cE ET LE TEMPS

poims iuiniilifs qu'à cIp^ ,„fi„-

près, anendu ,1 :e'Z:^:T::^f'^ '" ''^°'' -e

«l<me„,s,o„s de noire pJanèle n'éCninn ,T ■""'■•"■•^' ''^'^

«guran, les rayons lumineux o„ , '""'' <'»'=''die«nes

g"eu,s sont les rnéj^o "Z T"' °" ""S'»^^ «' 'o'optiques ne permet.e" de L- 'i; ''"■^^'f! '^ -"-rvalions que, à rester enfermé ur „ "T\ ''""'' ""' "'' '"^"'P ■■"•possible de le disMn. "r d "„ Î"'''; P^-^-^q-, il est à ^rois dispensions, isoml ri!" d Iv """"" "" """est absolun^en, identique polqu r , T: "*='''""' "" espace. On se trouve donc en n ^'™'^ ^«"^ cet

«■•on rigoureusement irréduc Me?"": ''"'"^ ■"«'é'ermina.

qu'onpourraitsuivree "!!' .'"'•"'"^'•'''"■'•'''•''■«'"^"■^ longueurs et leurs anl s en o """'"•^' *" '"•'^"-■«'- '««rs 'a-^ cette indétermi^S Ls'er'n?; ""'" ""'■'■ '=*'-

nous bornerons à discuter eHe „"r " ^'•"' •^' """^ Nous avons vu tout à l'he, ^ P'"'""'' ^ ^Jon'er.

terre sont assez granï si ,r " ,''"' '"' """^"^'«"« ''« 'a

"ons des rayo„s^;:t :;::: :rr-:'''"^ '■^^ '"-^-

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de l'univers, et, s\, se b r XT'^'"" ^"'""'^"■'>''

*' cela, son assertion serait

LA GÉOMÉTRIE DE NOTRE UNIVERS 93

iucoulestable ; mais il ajoule que le choix du système euclidien se juslilie seulement par des raisons de simplicité et de commodité, de même que, dans l'étude analytique d'une courbe, on adopte telles coordonnées parce que cela conduit à des calculs plus courts et à des formules plus élégantes.

Ceci est encore vrai, sans doute, mais cache un lait très important. D'où vient qu une loi aussi simple que celle de Newton dans le système où les rayons lumineux sont représentés par des droites euclidiennes prend une forme extrêmement comidexe dans un autre système? Il y a une première raison, d'ordre purement mathématique, tenant à ce que les formules de la géométrie des droites d'Euclide sont les plus simples entre celles de toutes les géométries possibles ; mais cette raison ne suffit pas et ne saurait empêcher qu'une loi pût avoir une expression plus simple dans une géométrie non euclidienne. Qu'on suppose, en efl'et (et rien n empêche de le faire), que la loi de Newton réponde à un système non euclidien et qu'on cherche sa traduction dans le système où les rayons lumineux sont représentés par des droites euclidiennes : on arrivera à une expression beaucoup plus complexe, ce qui montre bien (lue la simplicité des lois n'est pas liée forcément à celle des systèmes géométriques. Il faut donc reconnaîlre qu'il exisle une harmonie entre les réalités physiques et un système spécial de

représentation.

M. Calinon n'a pas été convaincu par ces considérations que nous lui avons soumises et a essayé de nous démontrer que l'adoption de la géométrie euclidienne réalise forcément la double simplification dont nous parlons, ou plutôt qu'il n'y en a qu'une. Mais sa démonstration ne s'applique qu'au cas où les distances entre les masses matérielles considérées sont « infiniment petites » par rapport au paramètre de l'espace. Or, dans ce cas, il est incontestable que la simplification d'ordre purement mathématique est seule

»* ÉTLDE SLR l'espace ET LE ÏEJIPS

possible, et que, par suite, le système ouclidieu doit donn , orcemeut les formules les plus simples. Dire en effet ' les distances sont in.iniment petites par .ap'pon ! 'paT mètre, c est dire que la précision des mesu e .e saun t permettre de distinguer ce. espace .le lespace el Z

tinction , alors I harmonie dont nous parlions existe -.v un espace faisant partie dun groupe do il Li i: aependen de la précision des mesures, mais qui comp" par hypothèse, l'espace euclidien. P.a.iquem nt ceTte h

iXn:,r:, ■^°"'- '^"^ ^•^^ -j^-- e.périm;:.:L' ;

md s mus, et, par suite, il n'y a plus que des propriétés

'le /"'■""■"' •"^'"^-'^""- ^1- P"i-ont re' d.' pt s.mple 1 e.vpress.on des phénomènes dans Tun de c

lepondia lorcement a celle condition <

Nous arrivons donc par une double voie, par l'étude purement géométrique et par Télude dynamique d s "

, 'y''"^™^ ^"•'"'■^ '-^s rayons lumineux on(, sous .énerve

oïtT r^ '-T^^^'""-''^ ^-•- ^e c,roite;eucnd:: :: oest-a-di.e que le paramètre de l'espace auquel annir t.en„ent ces droiles est, pour nos instruments! in inï::; g.and par rapport aux .lis.ances du soleil et des plan

ae LTuTe rf'f ": '""""^"'^"' '- ^^«"-' -'- base ae mebuie n est plus la surface de la lene m-.ic i' i •*

qu'elle décrit aulour du soleil, puisque '::::' Zs iu'qt

domaine des (Is Zy-sZ^^:, .""*"'' ''"-"• '^"'' ^^"^ '« observés, celle «éométr eZr.l.fl ■ "^'T"""""''^ actuellement simplicité ; maifsa"hons Zf " '^^«"'"^e d'une grande

de la façon la plus sin ne el !î H» exprnnerail, par exemple, entre lesoleil et les étoilê^fi^L 1"'"°"' ' ''"'"''' '''^"'°--S

LA GEOMETRIE DE NOTRE UNIVERS

nous sommes en droit de considérer comme conformes à la réalité les résultats du calcul euclidien, en ce qui concerne le système solaire. Mais, pour la presque lotalilé des étoiles, cet agrandissement de la base est sans utilité, puisqu'il n'en existe qu'un très petit nombre qui ait une jKirallaxe annuelle mesurable ; pour toutes celles-là, dès lors, on se trouve exactement dans le cas étudié par M. Calinon, et il est évident, du reste, que nous ne disposons, pour chacune d'elles, que de la direction conslante de la tangente aux rayons lumineux en leurs points d'arrivée sur lu terre : cela ne permet aucune conclusion sur la forme de ces rayons, qu'il y a seulement lieu d'admettre assimilables à des droites euclidiennes sur une longueur égale à la dislance de l'étoile la plus éloignée qui ait une parallaxe annuelle. Pour les quelques étoiles, en effet, qui ont une parallaxe appréciable, on peut reproduire l'argumentation que nous avons formulée au sujet du système solaire ; on doit, toutefois, remarquer que, vu la petitesse des angles en jeu, tous inférieurs à une seconde, le point de concours des rayons lumineux se trouve déterminé d'une façon peu précise.

11 en résulte que la vérification de l'hypothèse d'après laquelle les rayons lumineux ont la forme de droites euclidiennes ne saurait être faite qu'avec une appioxiniéition assez grossière ; mais c'est \h un point secondaire, qui n'empêche pas de dire, en principe, que cette vériiication s'étend jusqu'aux distances des étoiles les plus voisines de la terre.

Remarquons que ce doute, toujours posé sur les résultats que fournirait une observation appliquée à de plus grandes distances, est justifié, non seulement par l'absence même d'observations, mais aussi par ce fait que moins une figure géométrique d'un espace quelconque est grande, et moins elle diffère d'une figure euclidienne, si bien que toute

figure iuliniment petile est euclidienne (p. 32). Mais on a parfois tendance à abuser de ce théorème et à dire que, du moment où une figure est infiniment petile par rapport à l'espace qui la contient, elle est forcénionl euclidienne. Une telle proposition, pour être appréciée, exige une distinction entre les espaces finis et les espaces infinis. Pour les premiers, il y a un rapport entre le paramètre et Tétendue même de l'espace, en sorte qu'une figure extrêmemeni petite par rapport à cette dernière l'est aussi par rappori au paramètre, et diffère, par suite, fort peu d une figuie euclidienne. Mais il n'en est pas de même dans les espaces infinis, puisqu'alors il n'existe aucune relation entre l'étendue d'un espace et son paramètre. On remarquera que, s'il en était autrement, tous les espaces infinis seraient euclidiens, puisque toute figure déterminée est infiniment petite par rapport à une étendue infinie. On voit par là combien il serait incorrect de dire que, la terre et même le système solaire étant extrêmement petits par rapport au reste de l'univers, la géométrie des figures enfermées dans ces limites doit forcément être sensiblement euclidienne; tout ce qu'on peut dire, c'est que, si la géométrie de notre univers n'est pas euclidienne, la valeur des divergences ira en diminuant avec les dimensions de la partie considérée, et que ces divergences pourront tomber au-dessous des moyens de mesure; mais rien ne fixe, a priori, les dimensions à partir desquelles ce fait se produira.

Dans tout ce qui précède, nous avons admis que l'on pouvait avoir confiance dans les mesures de loni?ueur, autant, du moins, que le permet la précision de nos instruments' estimée selon les idées ordinaires. Mais M. Poincaré ' a fait remarquer que nos instruments de mesures pourraient fort

1. Voir notamment la Revtie des sciences pures et appliquées du 30 janvier 1892, p. 74.

LA GÉOMÉTRIE DE NOTRE UNIVERS

bien, quand nous nous déplaçons, varier de longueur en même temps que nous, sans que nous pussions nous en apercevoir, auquel cas nos mesuies se trouveraient erronées. La considération d'un astre suffisamment voisin, visé (le divers points de la terre, va nous permettre de réduire cette hypothèse à sa juste valeur.

Prenons une base d'observation et les rayons lumineux Joignant ses divers points à un point extéiieur ; puis, consf misons une nouvelle base, où les parties égales de la première soient remplacées par leurs mesures évaluées au moyen de l'instrument variable de M. Poincaré ^ : aux points homologues des deux bases, les rayons lumineux ont mêmes directions, d'où il résulte que, si nous attribuons à la seconde s«'rie la forme de droites euclidiennes, ils ne seront pas concourants, les premiers l'étant. S'ils l'étaient, en etl'et, ils détermineraient sur la seconde base des segments l»! oporlionnels à ceux de la première, ce qui est contraire à riiypothèse. Reste donc la ressource, parfaitement légitime, de modifier la forme des rayons lumineux, laquelle ne nous est pas donnée. Mais ici nous rentrons dans un cas analogue à celui de la gravitation, étudié plus haut: l'abandon des mesures lésullant de l'hypothèse de constance de nos appareils nous conduit à un système très complexe, et dont la complexité est toute de fait, puisque, inversement, nous aurions pu nous donner un système simple dans le second cas, ce qui nous aurait fait remonter à un système complexe dans le premier. On est en droit d'admettre dès lors que la première hypothèse répond à la réalité, puisqu'on ne doit |»as supposer que la simplicité du système auquel elle conduit soit l'effet d'un pur hasard.

1. Nous supposons ici des bases rectihgnes ; dans la réalité, on a une base courbe, et dont la forme n'est déterminée qu'au moyen •tes mesures. Il en résulte seulement que la complication est plus ,i,Mande que celle à laquelle nous allons aboutir.

Nous arrivons donc à celte conclusion d'ensemble que sous réserve du caractère approximatif de toute mesure, rinterpré talion des données géométriques dont nous disposons conduit à un résultat beaucoup plus simple si l'on admet la constance de nos appareils de mesure quand nous les déplaçons, contrairement à rbypotbèse de M. Poincaré. et si Ton attribue aux rayons lumineux la forme de droites euclidiennes. Cette simplicité n'est, d'ailleurs, point la conséquence exclusive, nous l'avons vu, en ce qui concerne la forme des rayons lumineux, de la simplicité de la droite euclidienne, mais ne s'explique que par une véritable liarmonie entre l'Iiypotlièse et la réalité. Cela ne saurait constituer une preuve véritable de la forme des rayons lumineux, car les autres bypothèses n'entraînent aucune contradiction ; mais on est bien loin d'être en présence d'un cas analogue à celui du cboix d'un système de coordonnées.

Nous sommes donc en droit de dire que le système géométrique constitué par le système solaire et même les étoiles les plus proches est conforme, selon toute vraisemblance, au système euclidien <, toujours sous les réserves du caractère approximatif des mesures et de l'indiscernabilité des espaces isométriques.

Ce dernier point vaut qu'on y insiste un peu pour en reconnaître la véritable portée. Si un espace n'est, comm.' nous le verrons, qu'un système de possibilités de relations, et si ces relations sont isolées, non comprises dans un ensemble plus général constituant un espace d'ordre supérieur, c'est-à-dire ayant plus de dimensions, alors les divers espaces isométriques apparaissent comme de véritables indiscernables 2. Si donc notre univers ne fait pas partie

1. Soit qu'il fasse partie d'un espace identique à lui-même, soit qu'il constitue une portion d'un espace non identique, assez restreinte pour que la variation de la courbure y soit insensible.

2. Nous parlons, bien entendu, des seuls espaces isométriques

LA GÉOMÉTRIE DE NOTRE LMYERS

d'un espace à quatre dimensions, inconnu des hommes, riiyi)othèse d'espaces isométriques n'a pas de raison d'être,, puisque leur distinction n'a de sens que dans un espace à quatre dimensions.

Dans le même ordre d'idées, on peut se demander ce (pie signifierait l'hypothèse de la variabilité des appareils de mesure : si tous les corps ne varient pas également de longueur en passant d'un lieu dans un autre, on doit rechercher les motifs qui peuvent guider dans la détermination des mesures; mais, si Ton suppose que tout varie égalemenl, la relativité absolue des grandeurs permet de demander ce que signifie cette prétendue variation et d'affirmer même qu'elle est dépourvue de toute signification, en sorte <iue l'hypothèse de M. Poincaré s'évanouit quand on la Itousse à l'extrême.

Sous une forme un peu dilTérente et avec une note philosophique plus accentuée, qui le rattache au criticisme, M. Couturat se place très près de M. Poincaré. Pour lui \ non seulement quel que fût l'espace, on pourrait interpréter les sensations dans le système euclidien, mais cette interprétation s'imposerait en tout cas à notre intelligence. D'abord, la possibilité du mouvement d'une figure invariable lui paraît le fondement nécessaire de la mesure et de toutes les constructions géométriques, en raison de la définition de l'égalité par la superposition, d'où résulterait que nous ne pouvons faire une mesure sans admettre le mouvement des figures invariables. Nous avons étudié cette question avec assez de détails (p. 20), pour que nous n'ayons pas ici à revenir sur les raisons qui nous empêchent d'ac-

Hans lesquels les intersections des géodésiques ne sont pas multipHées.

1. Voir la Revue de métaphysique et de morale, 1893, p. 63 et 302.

mws^mmmmsmsmm

cepter ce principe cV identité géométrique, on du moins qui nous le font réduire à la possibilité de déplacer une ligne en lui conservant sa longueur: on peut avoir ainsi un mètre dans un espace non homogène, au sens donné à ce mot par M. Del bœuf.

Quant au choix de l'espace euclidien, de préférence à ceux de Lobalschewski et de Riemann, la constatation de l'existence des figures semblables n'y serait pour rien, «^t ce choix ne serait dû qu'an principe de relativité de l'espace. Ce principe exigerait impérieusement la possibilité de ces figures daus l'espace construit avec nos sensations, et M. Couturat croit avoir trouvé une réfiitation décisive de notre conception d'une relativité d'après laquelle les figures semblables n'existeraient que dans des espaces différents. Prenant acte de ce que nous reconnaissons que ces divers espaces, pour être comparés, doivent être conçus comme inclus dans un espace à quatre dimensions, il déclare que cet espace sera nécessairement homogène, puisqu'il contient des figures semblables, à savoir les espaces non euclidiens eux-mêmes ; doù il résulterait qu'on aurait simplement une géométrie euclidienne à quatre dimensions. Que M. Coutural, dont la science. est généralement si sure, nous permette de lui dire qu'il paraît bien être dans l'erreur. D'abord, si un espace homogène ou euclidien peut bien recevoir des espaces Riemann de l'ordre inférieur, nous avons vu qu'il serait impossible d'y insérer des espaces Lobatschewski. Nous avons vu aussi qiie l'absence de figures semblables dans les espaces non euclidiens n'est pas absolue : chacun sait bien, du rest»', que, si la similitude n'existe pas en général sur la sjdière, une infinité de cercles, tous semblables entre eux, n'y coexistent pas moins. Ce n'est donc lias dans un espace euclidien à quatre dimensions que l'on doit, en général, étudier les divers espaces à trois dimensions, mais dans un espace à plus ()etite courbure

LA GÉOMÉTRIE DE NOTRE UMVERS iOl

que tous ceux qu'on doit y introduire, l'expression « plus jtetite» éfant prise dans son sens algébrique.

Nous échappons donc au dilemme où prétendait nous enfermer M. Couturat : « Ou bien, disait-il, on ne considère qu'un seul espace non homogène, et alors la loi de la relalivité <les grandeurs n'est pas satisfaite ; ou bien on considère plusieurs espaces non homogènes d'ordre supérieur, et alors c'est celui-ci seulement qui vérifie le principe de relativité. » Nous échappons à ce dilemme en rectifiant l'erreur mathématique sur laquelle il paraît reposer; mais, en outre, nous ne voyons pas pourquoi nous n'aurions pas pu construire, si nos sensations nous y avaient induits, une géométrie non euclidienne à trois dimensions, sauf à satisfaire au principe de relativité par la conception d'un espace euclidien à quatre dimensions, si cela avait été nécessaire. En parlant ainsi de riniluence de nos sensations sur nos conceptions, nous ne croyons pas tomber dans l'empirisme, comme nous en sommes accusé, car cela ne signifie point que nous tirions la géométrie de ces sensations, mais seulement (pi'elles nous suggèrent certaines notions de préférence à <rautres, j.armi tontes celles que permet la raison. L'identité appioximalive des sensations évoque, en effet, desidées idenliques, et des sensations différentes des idées différentes, tant <ju'un motif ne nous apparaît pas de refréner ce penchant nafurel qui dérive, au fond, du principe de raison suffisante. On trouvera peut-être que nous nous sommes écarté de la question de la géométrie de notre univers ; mais nous n'avons fait que la traiter sons sa forme idéaliste, celle des rapports entre la géométrie et les sensations spatiales. Sous '•ette forme, nous ne pouvons que conclure à ce que la géométrie euclidienne est la construction la plus naturellement suggérée à la pensée, par les sensations, comme, sous la forme réaliste, nous avions admis qu'elle constitue l'in-

h'iprétation la plus directe de nosperceptionsapproximatives.