CRITIQUE DE L INFINI ET DU CONTINU

d'insister sur ce point, car, nous l'avons vu, ce n'est pas là-dessus que porte le débat susceptible d'embarrasser un esprit réellement philosophique. Le côté purement mathématique de la question étant regardé comme tranché, voyous donc comment on essaie d'esquiver les conséquences que la réponse faite paraît devoii- entraîner. Sous des formes variées, plus ou moins captieuses, les arguments invoqués reposent sur la distinction scolaslique de l'acte et de la puissance; nous en étudierons un exposé récent, remarquablement subtil, dû à M. Milhaud, dont nous avons reproduit tout à l'heure la déclaration catégorique sur l'absurdité du nombre infini et que nous avions déjà rencontré comme conlnulicleur à l'occasion de la géométrie non euclidienne ^

Ayant reconnu que la notion de nombre infini abstrait est contradictoire, il en conclut très logiquement « qu'un nombre infini d'objets ne peut se rencontn^r dans le monde concret, qu'il ne saurait exister aucun ensemble d'éléments, aucune somme de parties dont le nombre soit infini », que, par suite, <( le passé n'est pas la somme d'un nombre infini d'événements », que « l'univers n'est pas un nombre infini de corps distincts ». Mais, cela posé, M. Milhaud refuse d'en conclure que le monde a commencé et que l'univers est composé d'un nombre limité d'objets.

Pour échapper à ces conclusions, si naturelles, semblet-il, il lui suffit de nier que les années antérieures à l'instant actuel, que les corps composant l'univers constituent des collections, des nombres. Parlant des hommes qui habite-

L 11 nous semble que MM. Renouvier et Pillon devraient être frappés de ce fait que, au nom des même principes, M. Milhaud peut les couibattre sur la question de l'infini et du continu et les soutenir sur celle de la géométrie générale ; n'est-ce pas une vérification de ce que nous disions sur le caractère illogique de leur attitude à l'égard de cette dernière (p. 59)?

il -i

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raient n'importe on dam Vespace, dont cliacun est donné, en ce sens qu'il existe et qu'il est distinct, il nie qu'on puisse parler de leur totalité. Si l'on peut dire « tous les hommes », ce n'est que dans le sens de « tout homme », sans qu'il y ait aucunement idée de leur réunion en un tout, attendu que, si l'on veut dire qu'ils forment une collection, on doit ajouter que ce n'est « qu'une collection en puissance », hieii que chaque élément soit en acte.

Voilà, nous semhle-t-il, un hien singulier usage de la notion de la puissance. Qui dit qu'une chose est en puissance, eu effet, dit qu'elle n'est pas actuellement, mais qu'elle peut devenir. Or, il s'agit ici d'une collection qui, essentiellement, ne peut venir à l'existence en acte, puisqu'elle imi»liquerait contradiction. Pour la pensée divine elle-même, la totalité des hommes ne saurait être envisagée ; elle connaît chacun d'eux, mais elle ne saurait les considérer comme formant un tout. Conception étrange entre toutes, qui, pour nous, n'est que l'aveu de l'impossibilité où l'on est de faiie entrer dans la pensée l'idée d'une pluralité sans limilp. Aussi, répéterons-nous, avec M. Renouvier: « Ou ces chose* composent actuellement, toutes ensemble, un tout, ou elles ne composent pas un tout; mais, si ces choses ne composent pas un tout, il est donc des choses qui sont et qu'on ne saurait considérer, sous le simple rapport de l'existence, conjointement avec d'autres choses qui sont. Cette conséquenco est incompatible avec la représentation, donc ces choses composent un tout. Or, avec un tout donné, un nombre est toujours donné. Des choses qui sont, ou des parties quelconques de ces choses, formeront toujours des nombres, c'est-à-dire des nombres déterminés, difl'érents de tous autres nombres. Sans cela, point de représentation, ni effective, ni possible, d'un tout ^ »

1. Traité de Logique générale et de Logique formelle, 2" édil., tome I, p. 46.

CKITIQUE DE l'iNFINI ET DU CONTliNU 139

Tel est le principe du nombre, dont il est essentiel de se bien pénétrer, car ses conséquences choquent parfois bien duiement notre imagination ; c'est pour cela qu'on cherche si souvent à y échapper, soit par une franche négation, comme M. Milhaud, soit par de vains artilices. Nous connaissons ces derniers pour y avoir eu plus d'une fois recours nous-même; mais, enfin, il a fallu nous soumettre aux reproches de ce maître intérieur qui, comme disait Malebranche, nous avertit que nous faisons un mauvais usage

de notre liberté.

La notion du continu soulève, au fond, la même question, mais sous une forme un peu diHerente. Ici, nous considérons un objet iini, une longueur ou un temps, par exemple, ayant deux limites déterminées, et, par suite, on est en présence d'un tout, d'un ensemble, (lue M. Milhaud ne songe point à contester. Mais la ditliculté n'en subsiste pas moins : elle n'est que déi.lacée et va porter sur les parties de cet ensemble, qui ne sont pas données, nous dit-on. Si je coupe une règle, «je vois, il est vrai, à chaque inslani, dit M. Milhaud, des morceaux séparés, nettement définis. Mais cette définition dépend du moment où je me place dans l'opération à laquelle je me livre. Choisirez-vous un instant particulier pour que la définition des parties soit précise? Vous aurez, à coup sur, un nombre fini d'éléments, mais cela ne prouve rien sur le degré de divisibilité de ma règle. Vous ne choisirez pas un instant spécial? Mais alors la définition des parties est variable, et qu'entendez-voUs quand vous dites que la règle comprend un nombre déterminé de ces choses qui ne sont pas définies? — Non, que vous en ayez conscience ou non, lorsque vous énoncez cette proposition : la règle n'est pas divisible à l'infini, parce que, se composant de parties, elle est nécessairement un nombre de parties, vous entendez sous ce mot « parties » des éléments derniers, obtenus après achèvement de la division de la

ÉTUDE SUR l'espace ET LE TE3IPS

règle, et vous supposez donc implicitement qu'il v a cl.> éléments derniers, des éléments indivisibles, vous suppo.,^ ■<3e que vous vouliez démontrer '. »

Qu'on nous permette de prendre un autre exemple nui Ta nous faire rencontrer une nouvelle difiiculté, à laqiie |. .1 faudrait répondre ensuite, si nous ne l'unissions à celle qu. précède. Nous considérerons donc un point - le centre de grav.té d'un corps, si vous voulez, puisque vous n'admeltez pas 1 hypothèse des atomes - et nous le supposeroi.s parcourant un segment de droite ou un arc de courbe In nous n avons point à opérer cette division de la règle dont' vous parliez : à chaque position du point considéré répo.ul une valeur déterminée de sa distance à l'origine <Iu mou. vement, et cette valeur est réalisée par le seul fait du passage du ponu dans cette position, sans qu'il soit nécessaire pom^ cela que je h. déteimine. Donc, si le mouvement est .^^ont.nu nous nous trouverons en présence de la réalisation <I une nifinité de distances dii!erentes2 ; cela ramène il est vra, la question du continu à celle que nous avions discutée d abord, car il faut bien reconnaître que M. Milhau.l peut objecter que nous ne sommes plus ici en présence d'un tout et de ses parties. Pour nous, cette identiilcation des deux questions nous suilit, puisque la pluralité infinie nous a paru incompatible avec la constitution même de l'intelligence 3.

1. On trouvera, dans un article de M. de Vorges (Revue de. ^lon contre Suarez, qui invoquait, aussi lui, le fait que les parties

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(Essai sVe% '''' ""''''^' ""' ^^'^"^^'^^ ^' ^. Dumui

{tssmsin les Formes <c a pnori » de la Sensibilité, p. 27 à 32^

2 On remarquera que, de niùine, une règle continue préseniera^U existence d une infinité de distances /chacune de s'es extré-