Livre VI, chap. iix

3. Le Problème d'Achille, dans la Revue philosophique de mars 1892.

4. Nous devons signaler le fait que M. Dunan a donné de VAchille une interprétation toute difiFérente de celle qu'on en donne habituellement, admettant que le temps y est pris comme composé d'instants en nombre fini, et que cet argument présente en conséquence des rapports étroits avec celui du stade {les Arguments de Zenon d'Élée contre le mouvement, Alcan, 1884).

CRITIQUE DE l'lNFLM ET DU CONTLNU 151

deux moitiés, il y a un point qui compte pour deux et qui est employé à la fois comme commencement et comme fin. Or, c'est là ce que l'on fait, soit que l'on compte numériquement, soit que l'on divise la ligne en moitiés. Mais, par cette division, la ligne cesse d'être continue, aussi bien que le mouvement, car il n'y a de mouvement continu que pour un continu. Or, dans le continu, il y a bien des moitiés en nombre infini, si l'on" veut; mais ce n'est pas en réalité; ce n'est qu'en puissance. Que si l'on veut les rendre réelles et les faire passer en acte, on ne produit plus un mouvement continu, on s'arrête '. »

Cette solution ne nous semble pas très satisfaisante. Si nous supposons, en effet, qu'un point réel parcourt un segment de ligne, nous sommes en présence d'un mouvement en acte, et, lorsque ce point passe au milieu de la ligne, la division de celle-ci est un fait actuel; il en est de même pour toute autre position du point, et, par suite, si son mouvement est continu, on est obligé d'admettre un nombre infini de divisions en acte du segment considéré. Ceci suppose, bien entendu, qu'il s'agisse d'un mouvement réel, car, s'il ne s'agit que d'un mouvement donné comme représe:îtalion, tel qu'un mouvement géométrique, chaque division n'existe en acte que parle fait de sa représentation; celle-ci exige précisément l'arrêt dont parle Aristote, et il ne peut en être réalisé qu'un nombre fini. Il faut donc ou refuser au mouvement toute réalité objective, c'est-à-dire adopter la thèse idéaliste, ou reconnaître que le mouvement est essentiellement discontinu.

M. Noël, il esl vrai, apercevant pourtant bien, semble-t-il, le point faible du recours à la distinction de l'acte et de la puissance, tel que l'a compris Aristote, a cru pouvoir lui

1. Physique, liv. VllI, chap. xn, traduction Barthélémy Saint- Hilaire.

ÉTUDE SLR l'espace ET LE TEMPS

donner une forme plus satisfaisante. Sa pensée est subtile et veut être rapportée dans les termes mêmes dont il s'est servi : « Il semble, dit-il, qu'une quantité ne puisse être donnée que de deux manières : ou tout entière à la fois, ou par fractions successives. Pour le mouvement, comme pour le temps, la première supposition est évidemment insoutenable, et Zenon démontre qu'on ne saurait admettre la seconde. Mais est-il bien vrai qu'on n'en puisse concevoir une troisième ? Lu examen attentif des deux hypothèses opposées, au-delà de leur contradiction apparente, nous r«'vèle leur foncière identité. En effet, les parties que nous réunissons pour former un tout sont, prises en soi, des quantités achevées au même litre que ce tout. Ainsi les deux suppositions que nous avons distinguées enveloppent une affirmation commune. En les posant comme seules concevables, on affirme que la quantité nous est nécessairement donnée toute faite, toujours en acte, et jamais en puissance. On s'interdit d'appliquer aux grandeurs la catégorie du devenir. On écarte d'avance la notion d'une quantité (|ui se fait, qui n'est donnée, à proprement parler, ni dans sa totalité ni par parties successives, mais seulement dans sa loi de foimation et, pour ainsi dire, en germe; qui se produit devant nous par un processus ininterrompu. Or, l'espace que parcourt un mobile et le temps qu'il met à le parcourir sont précisément des quantités de cette nature, et le mouvement n'est autre chose que le devenir de ces quantités. Ainsi les raisonnements de Zenon se fondent, en dernière analyse, sur un postulat non exprimé, et ce postulat contient lui-même la négation implicite du mouvement/»

Nous avouons ne pouvoir saisir avec clarté la pensée de M. Noël. Sans doute, un mouvement peut être donné dans sa loi de formation, et c'est ce qui a lieu si l'on donne son équation; mais, quand il sagit du mobile lui-même et de

CRITIQUE DE L INFLNI ET DU CONTINU i53

ses positions successives, nous ne voyons pas comment ces positions ne constituent pas des faits en acte au moment où chacune d'elles est réalisée. Nous ne pouvons donc voir dans son argumentation qu'une tentative subtile, mais vaine, pour se soustraire aux conséquences de la critique du continu. S'il en est réellement ainsi, il faut nier la continuité des phénomènes spatiaux et temporels; mais alors on se heurte aux arguments de la flèche et du stade, qu'il nous reste à étudier.

(( Si toute chose est en repos ou en mouvement dans un espace égal à elle-même, et si le mobile est toujours dans l'instant, la flèche qui vole est immobile. » Tel est l'argument que M. Noël traduit plus clairement en ces termes : « Le mobile, qu'il soit en repos ou en mouvement, est toujours dans un espace égal à lui-même; d'ailleurs, il occupe cet espace au moins un instant, c'est-à-dire un temps fini. 11 est dans un espace égal à lui-même pendant un temps fini; donc, par définition, il est en repos. » Bayle avait fort bien vu que cet argument vise les adversaires de la division à l'infini, et, après avoir déclaré que ceux qui admettent cette division du temps « doivent être abandonnés ou à leur stupidité, ou à leur mauvaise foi, ou à la force insurmontable de leurs préjugés * », il confesse qu'on est contraint d'admettre l'opinion de Zenon : cela n'est pas prouvé.

En face de l'argument de la flèche, la thèse de M. ÉveUin

i. Bayle démontrait ainsi l'indivisibilité de l'instant présent; < 11 n'y a aucune partie du temps, quelle qu'elle soit, qui puisse coexistera une autre; chacune doit exister seule; chacune doit commencer d'être, avant que la suivante commence d'être. D'où il s'ensuit que le temps n'est pas divisible à Tinfini, et que la durée successive des choses est composée de moments proprement dits, dont chacun est simple et indivisible, parfaitement distinct du passé et du futur et ne contient que le temps présent » {Diclionnaire , article Zenon).

et la nôtre sont à peu près dans la même situation. Pour lui, une étendue quelconque est formée de la juxtaposition d'un nombre fini d'étendues minimum, et un élément matériel les occupe successivement dans son mouvement. Un mobile est à cbaque instant dans un espace égal à lui-même ; mais il est en repos ou en mouvement, selon qu'il a ou qu'il n'a pas été précédemment dans le même espace ; c'est précisément la définition du repos et du mouvement. Pour nous, qui n'admettons pas le minimum d'espace, mais qui croyons à la discontinuité des positions occupées par un point mobile, nous adoptons la même définition du repos et du mouvement.

C'est là que M. Noël dirige une attaque fort intéressante. C'est, dit-il, « une définition ab effectu. L'existence d'un corps dans des lieux difTérents, en des temps différents, est un effet du mouvement et non le mouvement lui-même. Celuici, considéré en soi, est indéfinissable comme l'espace, le temps ou la quantité. Certes, il est permis de définir le mouvement par le déplacement qui en est le résultat el le signe sensible, mais à la condition de ne pas identifier ces deux termes. Le mouvement n'est pas une succession de positions, c'est un devenir, un passage continu d'une position à une autre, et, comme tout devenir, il n'est possible que dans le temps. Il n'y a pas de contradiction à ce qu'un même point matériel occupe en deux instants consécutifs deux points contigus de l'espace. Non, sans doute, puisque, par hypothèse, les deux instants sont distincts ; mais, pour la même raison, il n'y aurait pas plus de contradiction à ce que, en ces deux instants, le point considéré fût tour à tour sur la terre et dans la lune. Cela n'est pas contradictoire en soi. Soutiendra-t-on que c'est possible ? »

Cette dernière partie de l'argumentation paraît assez faible, car, si assurément, dans notre univers, tel qu'il est constitué et soumis aux lois que nous connaissons, un point

CRITIQUE DE l'iNFINI ET DU CONTINU 155

matériel ne peut passer sans intermédiaires de la terre à la lune, nul n'a le droit d'affirmer que cette hypothèse vise un fait impossible en soi. Quant au passage discontinu d'un point à un point si voisin que nous ne puissions vérifier la discontinuité du mouvement, on doit se demander quelles raisons militent pour ou contre. Or, il faut reconnaître que M. Noël fait valoir avec une réelle puissance le fait que le mouvement nous apparaît comme un état du mobile, c'est-à-dire « une dénomination intrinsèque qui doit convenir à l'objet, en quelque lieu qu'il soit, et quelque relation qu'il soutienne avec les autres objets. »

Telle est bien, en effet, l'idée que nous sommes portés à nous faire du mouvement, et il est bien difficile de ne pas éprouver quelque répugnance à ne pas voir, dans la forcevive d'un corps, une propriété qui lui appartient en propre à l'instant considéré. Mais, d'une part, cet argument, si séduisant qu'il soit, se heurte à la contradiction du mouvement continu, et, d'autre part, il suppose la négation de la relativité du mouvement. C'est là une question que nooft avons traitée avec l'ampleur qu'elle méritait (p. 83). Toutes les fois qu'elle se représente, elle cause un certain embarras; mais, pour le dissiper, il suffit de se rappeler la réponse qu'on doit constamment opposer à ceux qui objectent, contrecette relativité, les lois mécaniques dépendant du système de coordonnées et du mouvement-unité qui sert à la. mesure du mouvement : l'existence d'un système de coordonnées et d'un mouvement-unité jouissant du privilège dese prêter seuls à la vérification de ces lois permet aux partisans de l'espace et du temps absolus de dire qu'ils ont déterminé le premier et trouvé la mesure du second ; mais; on ne saurait y voir la preuve du caractère absolu de T'espace et du temps, car si les phénomènes du monde matériel sont soumis à des lois simples, ces lois sont forcémecct dépendantes du choix des coordonnées et du mouvement-

unilé, que l'espace et le temps soient absolus ou non. Dès

1 rs, le fait qu'on découvre des systèmes jouissant du privilège en queslion n'engendre pas le moindre préjugé en faveur de l'une ou de l'autre hypothèse. L'argument de M. Noël ne constitue donc, en réalité, qu'un de ces retours nrensifs des partisans du mouvement absolu, capables de s:îrprendre et d'ébranler celui qui n'a pas présentes à l'esprit les réponses qu'on peut toujours leur opposer, mais n'introduisant aucun élément nouveau dans les questions agitées.

l/argument du stade est formulé par Aristote d'une façon si peu claire ' que l'on n'a cessé d'en donner des traductions libres. Nous reproduirons celle de M. Noël, qui en fait bien ressortir toute la profondeur. « Concevons trois lignes droites horizontales, formées de points contigus et disposées

I. Voici la traduction de M. Barthélémy Saint-Hilaire : « Quant au quatrième (raisonnement), il s'appHque à des masses égales qu'on suppose se mouvoir également, par exemple dans le stade, mais en sens contraire, les unes partant de l'extrémité du stade et les autres du milieu; et l'on prétend démontrer que le temps qui n'est que la moitié est l'égal du temps qui est le double... Soient, par exemple, les masses (oyxoi) en repos représentées par AAAA. Soient, d'autre part, BBBB, les masses égales en nombre et en grandeur aux A, mais qui partent du milieu de la longueur des A ; soient, enfin, CGGC,les masses égales aux autres en nombre, en grandeur, et égales aux B en vitesse, mais qui partent de l'extrémité. Le premier B est bien, en effet, au bout en même temps que le premier C, puisque le premier mouvement des uns et des autres est parallèle. Les G ont bien aussi dépassé tous les A; mais les B ne sont qu'à la moitié. Donc, suivant Zenon, le temps n'est aussi que la moitié, puisque, de part et d'autre, c'est parfaitement égal. Mais il arrive que les B ont, en même temps, dépassé tous les G, car le premier G et le premier B sont, en même temps, aux extrémités contraires, le temps pour chacun des B étant tout à fait égal à ce qu'il est pour passer chacun des A, si l'on en croit ce que dit Zenon, parce que tous deux arrivent dans un même temps à dépasser les A» [Physique, liv. VI, chap.xiv,

2 9 et 11).

CRITIQUE DE l'lNFINI ET DU CONTIKU 157

de façon que leurs points de même rang se trouvent situés sur une même verticale. Supposons que la première reste immobile, tandis que les deux autres se meuvent en sens contraire, de telle sorte que chacun de leurs points s'avance d'un rang d'un instant à l'autre, ce qui est, dans l'hypothèse (de M. Évellin), la plus grande vitesse concevable. Dans un ini^ant, un point déterminé de la troisième passera sous un point unique de la première, mais il passera nécessairement sous deux points différents de la seconde. Comme, d'ailleurs, ces deux rencontres sont nécessairement successives, l'instant, indivisible par hypothèse, se trouve divisé. »

M. Évellin a bien compris que toute la force de sa défense devait porter avant tout sur ce point ; car, comme il le dit lui-même, cet argument du stade est radical, et, s'il est fondé, son hypothèse se détruit en se posant. Sa réponse est d'ailleurs si subtile que nous la reproduisons textuellement. On remarquera qu'il commence par développer l'objection.

Soient « trois lignes droites horizontales, formées d'éléments contiens :

« Ces droites sont disposées de telle sorte que leurs éléments de même rang se trouvent sur une même verticale.

« Supposons maintenant que la première demeure immobile, tandis que les deux autres se meuvent en sens contraire. Chacun de leurs éléments avancera d'un rang en un élément de durée ou instant. Or, voici ce qui va se passer.

« En un instant, un élément déterminé de la troisième, le premier, par exemple, qui est a", passera sous un élément unique de la première et viendra se placer ainsi :

« Mais il passera nécessairement sous deux éléments différents de la seconde :

« Comme d'ailleurs, ainsi qu'on le fait remarquer, ces deux rencontres sont naturellement successives^ l'instant, indivisible par hypothèse, se trouve divisé en deux instants.

« Suivons pas à pas cette argumentation, et ne perdons pas de vue la donnée où l'on se place.

« Qu'en une durée indivisible un élément déterminé de la troisième ligne, a' par exemple, passe sous un élément unique de la première, rien de plus évident, c'est l'hypothèse même. Ajoutons, pour n'en pas sortir, qu'il s'y trouve au moment où il y passe. D'un élément, en effet, à l'élément contigu, l'intervalle manque. Si donc on veut ici séparer le progrès du but, si l'on imagine un mouvement avant l'arrivée, on oublie l'hypothèse, et l'on revient, sans le savoir, sur la concession que l'on a faite.

« Faut-il admettre, à présent, que a passe sous h' et sous d ? Occupons-nous d'abord de b' . Pour passer sous 6', il faut qu'il se trouve, à un moment donné, vis-à-vis de lui. Mais où rencontrer ce moment? En un instant unique, h' est venu occuper, de droite à gauche, un lieu contigu au sien, tandis que, de son côté, a' est venu occuper, de gauche à droite, un lieu situé au-dessous de celui qu'occupait 6' :

CRITIQUE DE l'iNFINI ET DU CONTINU 159

« Si, en cet instant même, ils sont déjà arrivés, comment auraient-ils trouvé le temps de passer l'un devant l'autre?

(( On insistera. Visiblement a et 6' se croisent. — On se croise dans le continu de l'espace ; ici, c'est l'impossible. Où voulez-vous qu'ait lieu ce prétendu croisement? a avance d'un rang; je le vois alors, et tout de suite, au-dessous da Ueu occupé à l'origine par 6', mais ce lieu est vide, 6' est parti. A son tour, h avance d'un rang en sens inverse. Le voilà d'un coup au-dessus du point de départ de a' , mais a a marché, il n'est plus là.

(( Quand on parle de croisement, on raisonne comme s'il existait entre 6' et a une verticale sur laquelle pussent passer en même temps les deux mobih-s :

« C'est le contraire de' l'hypothèse ; mais la figure ellemême trompe l'œil ; l'imagination voit un intervalle là où il est justement impossible; elle est dupe, l'hypothèse est

oubliée.

« En définitive, a" ne rencontre que c', et les deux moments qu'on oppose aux partisans des indivisibles sont

imaginaires ^ »

La réponse nous paraît péremptoire : elle ne fait, sans doute, que mieux ressortir ce que l'hypothèse de M. Évellin a d'étrange, mais elle dissipe l'apparence de contradiction si ingénieusement présentée dans la traduction donnée par M. Noël de l'argument du stade.

Est-il besoin d'ajouter que cet argument ne saurait aucu-

1. Keiiue de Métaphjsique et de Morale, 1893, p. 385. Le Mouvement et les partisans des indivisibles.

noment atteindre notre conception de l'espace et du temps ? Si, pour nous, l'atome est un indivisible, ce u'est point un minimum d'étendue, mais il est dépourvu de ce caractère, l'étendue étant, non une propriété des atomes, mais une relation entre eux. Quant au temps, c'est une autre relation entre des faits, actes ou existences, et, s'il n'est point continu, il ne présente pas, pour cela, un minimum nécessaire, ainsi que nous l'avons exposé.

En résumé, les arguments de la dichotomie et de V Achille mettent en lumière la contradiction du continu ; la flèche^ bien que faisant ressortir ce qu'il y a d'embarrassant dans une tbéorie qui refuse au mouvement le caractère d'un état propre au mobile, n'ajoute rien à cette diflîculté,qui n'aboutit à aucune contradiction, et à laquelle on peut répondre de façon satisfaisante ; enfin, le stade, après avoir paru convaincre de contradiction la tbèse assez déconcertante de M. Evellin, est réfuté par ce pbilosophe d'une façon qui paraît définitive. Quant à la conception à laquelle nous nous sommes arrêté, elle ne prête le flanc qu'à la discussion soulevée par la flèche, comme nous venons de le rappeler, et elle est bien loin de succomber dans la lutte.