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théorème si connu d'après lequel la somme des angles d'un triangle rectiligne est égale à deux droits; mais ce dernier n'a rien d'intuitifs et l'on ne saurait guère se figurer on voir immédiatement la nécessaire vérité, tandis que l'imagination se prête assez bien à l'intuition du postulat des parallèles.

Toutefois, on avait si bien le sentiment que ce postulat n'était au fond qu'un théorème comme un autre qu'on s'est évertué, nous l'avons déjà dit, à le démontrer. Dans cette voie, toutes les tentatives furent et devaient être infructueuses ; mais on fut plus heureux quand on chercha simplement à remplacer le postulatum par un principe général plus satisfaisant pour l'esprit. Dans cette voie, Wallis lit voir qu'on peut postuler indifféremment le principe des parallèles ou l'existence de triangles semblables ; puis, Laplace généralisa la proposition en en faisant le postulat de la possibilité des figures semblables ou de la relativité des dimensions K Nous estimons qu'il y a un vrai progrès à substituer cette conception générale à un postulat dont le choix apparaît comme singulièrement arbitraire. M. Delbœuf, en ses Prolégomènes, a vivement fait ressortir cette caractéristique de la géométrie classique d'être la seule où l'on puisse

1. Dans une note à son Exposition du système du inonde (liv.V, chap. v), Laplace s'exprime ainsi : « Les tentatives des géomètres pour démontrer le postulatum d'Euclide sur les parallèles ont été jusqu'à présent mutiles. Cependant, personne ne révoque en doute ce postulatum et les théorèmes qu'Euclide en a déduits. La perception de l'étendue renferme donc une propriété spéciale, évidente par elle-même, et sans laquelle on ne peut rigoureusement établir les propriétés des parallèles. L'idée d'une étendue limitée, par exemple du cercle, ne contient rien qui dépende de sa grandeur absolue. Mais, si nous diminuons par la pensée son rayon, nous sommes portés invinciblement à diminuer, dans le même rapport, sa circonférence et les côtés de toutes les figures inscrites. Cette proportionnalité me parait être un postulatum bien plus naturel que celui d'Euclide. »

l'espace GÉOMÉTRIQUE 15

majorer ou minorer une figure quelconque sans en modilier la forme, c'est-à-dire où celle-ci soit indépendante de la grandeur *.

Mais cet éminent penseur a fait mieux encore, car il est arrivé, croyons-nous, à donner les véritables détînitions devant servir de base à la géométrie euclidienne. Partant de cette idée que, selon une remarque de Hegel, la ligne droite et le plan sont d'abord des intuitions ou représentations, qu'il s'agit de remplacer par des concepts rendant possible fédificalion de la théorie, il arrive, après une série de considérations où il nous serait ditlicile de le suivre, en raison des continuelles réserves que nécessiterait la constanle négation implicite de la géométrie générale, à poser les détînitions suivantes 2 :

« Le plan est une surface homogène ;

(( La droite est une ligne homogène ;

(( c'est-à-dire qu'une portion de plan majorée engendre « le même plan; qu'une portion de droite majorée reproduit « la droite -^ »

Préoccupé de sa théorie, d'après laquelle toute détînition doit être génétique, M. Delbœuf cherche à conférer ce caractère à ces définitions, qui ne sont qu'énonciatives d'une propriété. L'infructueux effort qu'il fait dans ce but mérite d'appeler notre attention, car il l'amène à poser, sans s'en