Prolégomènes, p

2. P. 180. M. Delbœuf a repris l'exposé de la géométrie suivant ses principes dans la Revue philosophique (le commencement se trouve dans le numéro d'avril 1895).

3. Ainsi que l'indique M. Delbœuf dans un ouvrage postérieur, Ueberweg a fait remarquer que Leibniz {Œuvres maMém., publiées par Gerhardt, Halle, 1858, 2" part., 1" vol., p. 183-211) avait donné une définition équivalente: Recta est linea, cujus pars quaevis est similis toti (voir Essai d'une logique scientifique, p. 225, note 1). Mais il y a loin d'une définition donnée en passant à une théorie régulière, et la part de M. Delbœuf reste belle. • •

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douter, le principe dont découleia toute la gromélrie générale. « Comment engendrons-nous l'espace, dit-il? Nous pre- « nons le plus petit espace possible, ce qui ne peut pas « devenir moindre, la limite extrême de la contraction « de l'espace ; puis, par le procès inverse, nous dila- « tons, nous amplitions cet espace... Nous pouvons donc « regarder riiomogénéité comme «Haut le caractère géné- « tique de l'espace, du plan, de la droite. L'espace, le plan,

la droite sont des déterminations qui s'engendient d'une

façon homogène. Qu'on prenne un solide, une surface,

« une ligne au moment où ils naissent, et que l'on continue

« leur mode de génération, le solide deviendra l'espace

>< infini ; la surface, le plan inlîni ; la ligne, la droile

« infinie. »

Il n'est guère besoin d'insister sur ce que ces définitions ne sont génétiques que dans la forme et ne donnent point les moyens d'engendrer pratiquement leurs objets, de les tracer, comme dit M. Delbœuf lui-même en développant le sens du mot « génétique ' ». Comment, en eflet, se donner le plus petit espace, la plus petite surface, la plus petite ligne possibles, alors que tout espace, toute surface, toule ligne déterminés sont plus grands qu'une infinité d'autres?

Ces délînitions ne sont donc point génétiques, au sens vrai du mot, tel que M. Delbœuf lui-même l'a précisé ; mais ce n'est pas là un défaut pour les détînilions fondamentales, puisqu'elles ne peuvent être qu'énonciatives d'une propriété caractérislicfue. A ce dernier point de vue, elles sont excellentes, bien qu'on leur ait fait un singulier reproche, que nous ne songerions point à mentionner si nous ne l'avions vu renouveler par un géomètre philosophe dont nous aurions attendu plus de clairvoyance. Ce reproche consiste à dire que la propriété énoncée n'est pas sutlisam-

l'espace GÉOMÉTRIQUE ^

ment caractéristique, car la définition de la droite, par exemple, conviendrait à tous les cercles. 11 est vrai qu'un arc de cercle majoré donne un autre arc de cercle ; mais ce nouvel arc de cercle ne reproduit point le premier, qui ne peut être superposé à aucune de ses parties.

11 est un autre reproche beaucoup plus sérieux qu'on pourrait formuler contre les définitions que nous discutons : pour majorer une figure, il faut savoir mesurer les lignes et les angles, et la même connaissance est nécessaire pour vrrifier si une figure n'en est qu'une autre majorée, d'où il suit que ces délînitions posées sans préambule manquent d'une base indispensable. Nous verrons, dans le paragraphe suivant, comment peuvent être résolues ces difiîcultés : quelque particulière que soit une géométrie, elle ne saurait reposer que sur la critique des notions fondamentales

de toute géométrie.

Quoi qu'il en soit, M. Delbœuf s'est efforcé de montrer, souvent avec beaucoup de bonheur, que, en prenant ces délînitions pour point de départ, la géométrie s'établit sans postulat; sans entrer dans une discussion détaillée, nous dirons simplement que la possibilité d'écarter ainsi toute proposition non démontrée nous paraît certaine, en vertu même de la géométrie générale, dans laquelle aucune ligne, aucune surface, aucun espace, en dehors des droite, plan et espace euclidiens, ne jouissent de Vhomogéncité telle que la déllnit le professeur belge.

Aucun espace, venons-nous de dire; c'est que, en effet, par un coup de fortune comme il n'en arrive qu'aux esprits vraiment géniaux, l'illustre professeur de l'Université de Liège a mis le doigt (oh ! sans s'en douter et sans l'avouer encore aujourd'hui) sur l'idée fondamentale et maîtresse de la géométrie générale.

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LA GEOMKTRIE GK.NEKALE

M. Delbœiif, nous venons de le voir, a Hé amené à donner trois d-'iinilions tout à fait analogues de la droite, du plan et de Vespace. Quelles sont les conséquences naturelles d'une telle conception ? C'est que ce que nous appelons de ce dernier mot n'est qu'un cas particulier au milieu d'une infinité d'espaces à trois dimensions concevables, comme le plan et la droite sont des cas particuliers au milieu d'une infinité d'espaces à deux dimensions et à une dimension K

Une telle conception est absolument contraire à celle qui pose Ycapace soit comme une entité nécessaire, en dehois de laquelle rien ne peut se concevoir, soit comme une forme a priori riiîoureusemont imposée à notre esprit. Partisan de cette dernière tliéoiie, tout en pailant volonliers le lanc:age réaliste de la première, M. Renouvier définit le volume comme étant la synthèse de l'interposition des points possibles dans un ordre quelconque entre des systèmes de points régis par la loi de surface -, attendu que, pour lui, l'intervalle se remplit sans aucune loi, à la différence de ce qui a lieu lorsqu'une surface remplit l'intervalle entre deux étendues linéaires. Lorsqu'on a posé une telle conception à la base de la géométrie, on ne s'est pas enfermé dans l'espace défini par M. Delbœuf, mais on a posé en dogme qu'un seul espace est concevable et, comme on ne l'a pas défini, on

1. Un espace est à une, deux, trois dimensions, quand, pour y déterminer la position dun point, il est besoin d'une, de deux ou de trois coordonnées. Dans le premier cas, on a une ligne; dans le second, une surface ; dans le troisième, ce que l'on appelle l'espace ou quelque chose d'analogue.

2. Traité de logique qénérale et de logique formelle, 2" édit., t. I, p. 295.

l'espace GÉOMÉTRIQUE 19

s'est imposé la nécessité de remplacer, à un instant ou à un autre, la définition manquante par un postulat. Du moment, d'ailleurs, qu'on ne s'est point rendu compte de ce (lu'on faisait, on s'est interdit tout moyen de comprendre une conception plus générale, et l'on ne peut que « faire de tristes réflexions, comme M. Renouvier, sur la difficulté que les hommes trouvent à s'entendre dans l'exercice de la raison <».

Ceux donc qui se refuseraient absolument à admettre la nolion d'espaces à trois dimensions distincts de celui que nous révèlent nos sensations peuvent ne pas nous suivre plus loin, dans ce paragraphe, car c'est sur cette notion que repose tout ce que nous allons dire.

Pour celui qui regarde Yespacc comme le contenant nécessaire de toute géométrie, il est naturel de s'y placer dès l'abord; mais celui qui n'y voit qu'un cas particulier est amené logiquement h étudier chaque espace en lui-même, quel que soit le nombre de ses dimensions, sauf à le placer ensuite dans les espaces d'ordre supérieur, où il jouit de nouvelles propriétés, variables avec le choix de l'espace où on le considère.

Envisagés ainsi en eux-mêmes, les espaces à une dimension ne sauraient fournir des notions géométriques notables à un être linéaire qui s'y déplacerait sans rien connaître en dehors 2. Il constaterait si cet espace a des limites ou points terminaux, s'il est fermé, c'est-à-dire fini sans limite, ou, enfin, infini. Cette dernière qualité ne pourrait assurément être constatée réellement, mais €;lle pouirait sans doute être conçue par inductio».

Sur une surface, ou espace à denx dimensions, la géoniélrie va se compliquer singulièrement, car les lignes qui