IDÉE GÉNÉRALE DE LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE

Jusqu'ici, ainsi que nous l'avons fait ressortir, si nous avons vu appliquer les nombres aux êtres géométriques, cette application n'avait pas pour résultat de les mesurer, car ils n'étaient pas considérés comme étant des quantités, ou comme ayant une grandeur. Nous allons au contraire, maintenant, les envisager comme tels, et dès lors se pose immédiatement la question : comment est-il possible de mesurer la grandeur d'une quantité géométrique ?

La géométrie traditionnelle fait reposer cette mesure sur la superposition : sont dites égales deux quantités qui peuvent être amenées à coïncider au moyen d'un simple déplacement, au cours duquel la quantité géométrique ou figure déplacée reste identique à elle-même. C'est ce que Galinon exprimait dans les termes suivants : c( Toute la géométrie, disait-il, repose sur l'idée première de l'égalité ; on admet qu'avant même de savoir comparer les diverses grandeurs que l'on rencontre dans les figures, on peut juger de l'égalité de deux figures, ou, ce qui revient au même, séparer, dans une figure, les deux éléments de position et de forme. Dans cet

''gîV'wr ' ■ *#

CHAPITRK II

ordre (Initiées, on peut dire que deux fi^^ures égales sont deux positions différentes d une même figure, et l'on constate que deux figures sont égales en les confondant en une seule par un changement dans leurs positions respectives ; on dit alors qu'il y a coïncidence « '.

Renouvier a formulé contre cette définition une difficulté qu'il convient de signaler : pour lui, le passage de l'identité de figure, ou égalité géométrique, à l'égalité de mesure exige un jugement synthétique a /y/7o;7, nulle analyse ne pouvant nous apprendre que le même de ligure est aussi le même de quantité -. Nous ne saurions admettre cette manière de voir, car on ne saurait concevoir comment l'opération géométrique conduisant à la mesure appliquée à deux figures idenliques pourrait conduire à des résultats différents, car cette différence serait dépourvue de toute raison suffisante.

Il existe une autre objection plus embarrassante, semble-t-il, au premier abord, mais qui aboutit simplement à mettre en lumière un axiome de la géométrie métrique : « Deux figures sont égales, dit M. Poincaré, quand on peut les superposer ; pour les superposer, il faut déplacer l'une d'elles jusqu'à ce qu'elle coïncide avec l'autre ; mais comment faut-il la déplacer ? Si nous le demandions, on nous répondrait sans doute qu'on doit le faire sans déformation et à la façon d'un solide invariable. Le cercle vicieux serait alors évident » \ Nous ne sommes pas d'accord avec lui quand il dit ensuite que cette définition ne définit rien ; mais il a incontestablement raison quand il ajoute que cette définition implique un axiome, celui, dirons nous, que M. Russell appelle faxiome de libre mobilité et qu'il formule ainsi : Les grandeurs spatiales peuvent être déplacées sans déformation.

(4) La sphère, ta ligne droite et le plan, p. 4.

(2) Deuxième année philosophique de M. Pillon, p. tô.

(3) La Science et V Hypothèse, p. 60.

GÉOMÉTRIK MÉTRIQUE

Si nous admettons cet axiome comme condition nécessaire de toute géométrie métrique, il nous faudra reconnaître qu'il n'est possible d'établir la géométrie que d'espaces identiques à eux-mênies, comme le disait Calinon, ou isogènes, selon l'expression de Delbœuf \ ou du moins, pour établir la géométrie d'autres espaces, il faudrait les considérer comme constituant des figures dans un espace présentant un plus grand nombre de dimensions et satisfaisant lui-même à faxiome de libre mobilité.

Mais il nous semble qu'il y a quelque exagération à dire qu'il est impossible d'établir la géométrie d'un espace non isogène sans Finclure dans un espace isogène.

Considérons une surface non isogène, telle qu'un ellipsoïde, et voyons s'il est possible de faire la géométrie de cette surface, espace à deux dimensions, sans Fenvisager dans un espace isogène à trois dimensions. A cet effet, nous supposerons un être superficiel vivant sur cet ellipsoïde et ne percevant aucun phénomène extérieur à cette surface, et nous le gratiherons d'un fil avec lequel il pourra faire des expériences. A cette entrée en matière, plus d'un se scandalisera, car ces expériences n'auront rien de rigoureux, et ou ne saurait les interpréter sans tomber dans des cercles vicieux.

(1) Ce philosophe belge emploie ce mol dans le sens couramment attribué au terme homogène ; conforiiiémenl à l'étymologic, il signilie « formé de parties égales », tandis (jue Delbo'uf réserve le terme homogène à ce qui est « formé de parties semblables ». Une sphère est formée de parties toutes égales entre elles ; mais, si nous en amplitions une, elle ne peut plus être appliquée sur la sphère donnée. Au contraire, un élément plan majoré reste plan et s'applique sur le plan donné. La sphère n'est qu'isogène, le plan est homogène. Celte terminologie n'a que l'inconvénient de modifier un peu le sens d'un terme usuel ; mais elle paraît bien supérieure à celle qui tend k prédominer et que prune la Société française de philosophie : le mot homogène indiquerait ce que Delbœuf a^^çWq isogène eiV homogène àii Delbœuf serait dénommé homatoidal, de ow«>.oî, uni, terme étymologiquement vague.