AB BC

Cette définition doit également être transformée : c'est ce qu'on fait au moyen du quadrilatère de Staudt. Soient

A, B, D trois points en ligne droite : prenons un point 0 en dehors de cette droite et joignons OB, OD. Menons par A une droite quelconque qui coupe OB et OD en Q et P, puis traçons les deux diagonales BP et QD du qua-

COUP d'cEIL sur les GÉOMÉTRIES NON MÉTRIQUES 27

drilatère ainsi formé : la droite OR passant par le point 0 et l'intersection des deux diagonales rencontre ABD au point G qui, par définition, va former avec les trois points précédents une division harmonique, dans laquelle C est appelé le conjugué harmonique de A par rapport à B et D. Il va de soi que cette définition concorde avec ce qui a lieu en géométrie métrique.

Pour que cette définition ait une portée quelconque, il faut d'ailleurs démontrer que la construction indiquée conduira au même point C, quel que soit le point 0 pris en dehors de la droite ABC. On trouvera cette démonstration à la page 160 de \ Essai sur les Fondements de la Géométrie de M. Russell; elle présente d'ailleurs une particularité très singulière sur laquelle nous reviendrons tout à l'heure.

Ceci posé, nous pouvons attribuer méthodiquement des nombres aux points d'une ligne droite. Nous assignerons à trois points arbitraires les nombres 0, 1 et oo , puis, déterminant le conjugué harmonique du point 0 par rapport aux deux autres points, nous lui attribue-

CD rons le nombre 2, puisque le rapport — est égal à 1 et

que par suite le rapport —^ doit être aussi égal à 1.

On déterminera ensuite le conjugué harmonique de 1 par rapport à 2 et à oo , et on lui attribuera le nombre 3, puis on continuera de même. Klein a d'ailleurs montré que l'on peut obtenir non seulement les points correspondant à la série des entiers, mais encore celui qui répond à n'importe quel nombre donné.

De cette façon, on se trouve aisément en possession d'un système de coordonnées, et par suite on peut construire une géométrie en adoptant une définition de la distance. Gayley et Klein, ayant vu que les divers systèmes de géométrie peuvent tous provenir du plan euclidien par un simple changement de la définition de la distance, furent portés à considérer la question tout entière

COUP d'ceil sur les gèométries non métriques

cette defin t.on. Le problème philosophique des divers

os^ioi rr "r'. ^' '"^^^^ ^"'''''- -*''"-

possession indiscutée, tout en se ramenant à une affaire de convention et de commodité mathématique.

M. Russell a fort bien fait ressortir qu'il v avait là une onfus,on profonde sur la nature des coordonnées po.ec

tenUonn' , ""'''' ""''' ^°"* ^'^^ ''"^'^'^^ P"--ent con-

ventionnels qu, servent à désigner distinctement les différents pomts. Grâce à l'étude préalable de la - éom

ment d.stmgues les uns des autres, nous pouvons con strmre avec elles trois gèométries distinctes.

1 nous reste d'ailleurs à exposer une singularité aue présente la géométrie projective, singularit à quelle nous avons fa.t une allusion, sans no,^ y arrêter, q\ and nous avons parié de la démonstration établissanùr la

rapport a deux autres est indépendante du choix du centre de projection. Cette singularité consiste en ce queTa démonstration de ce théorème de géométrie à^deux

zr':":e°"d" ""'"^ p^-^'-^^' '^^ --- "-' -

espa .;^,f;"^,.*-«".«'°n^) «-fe'e la considération d'un espace a trois dimensions.

Il y a là, au moins en apparence, un véritable paradoxe dont on entrevoit lorigine dans le fait qu'on^'a dns un espace à deux dimensions, aucun mo/en ratio, t ne de distinguer une droite, tandis que, dans un espace a trois , tensions, la droite est l'intersection de Je"x plans, ce qui permet, par exemple, de démontrer que ro. points sont en ligne droite, ce qu'on ne saurait fair sur un plan isolé.

Si l'on est curieux d'avoir une démonstration de 1 impossibilité de démontrer le théorème en question ou

celui de Desargues qui lui est équivalent S sans sortir du plan et sans recourir à l'axiome métrique de congruence, on pourra la trouver dans les Principes fondamentaux de la Géométrie, par Hilbert, à la page 65.

La première fois que nous nous sommes trouvé en présence de ce fait, il nous est apparu, pour ainsi dire, comme un sujet de scandale : était-ce donc, du moins en géométrie projective, le triomphe de ceux qui n admettent pas la possibilité d'une autre géométrie que celle à trois dimensions, tout au moins comme science indépendante ? Or, Hilbert nous paraît avoir très heureusement fait ressortir la véritable portée de cette impossibilité de démontrer le théorème de Desargues en géométrie projective à deux dimensions : on peut établir une telle géométrie où ce théorème ne soit pas vérifié ; mais cette géométrie plane ne peut pas être considérée comme étant une partie d'une géométrie à trois dimensions, reposant sur les mêmes axiomes que ladite géométrie plane, complétés par les axiomes propres à la géométrie à trois dimensions tels qu'on les pose d'ordi-

naire .

Dans ce rapide coup d'œil sur la géométrie projective, nous avons négligé une difficulté assez grave qui peut se rencontrer : il est telle surface, nous le verrons, par exemple les hypersphères de Lobatchefsky, dont deux géodésiques peuvent ne pas se rencontrer. Pour éluder

(1) Deux Iriangles étant situés (tans un plan de telle sorte (jue leurs c(Més homologues soient respectiveinenl parallèles, les droites qui joignent les sonnnots homologues ou hien passeront par un même point, ou bien seront parallèles.

Réciproquement, deux triangles étant situés dans un même plan de telle sorte que les droites qui joignent les sommets homologues ou bien passent par un même point, ou bien soient parallèles, et de plus deux paires de côtés homologues dans les triangles étant parallèles, les troisièmes côtés des deux triangles seront également

parallèles.

(2) Voir page 84 de l'ouvrage de Hilbert.

^<. ■ ,fc^JtALi"4 i

.jiïBV'^'-r^^'v*^'

cette difficulté, on n'applique cette géométrie que sur les surfaces dont, par postulats, les géodésiques se rencontrent toujours et sont des lignes fermées, puis on la remplace, sur les surfaces à géodésiques infinies par la géométrie descriptive, fondée sur la notion de sei^ment rectiligne.

Sur les droites projectives, fermées, le segment ne pouvait être défini qu'au moyen de trois points ; en géométrie descriptive, deux points, ses extrémités, suffisent à le déterminer. Ces deux géométries ont les plus grandes affimtés et sont également étrangères à toute notion métrique II nous suffit d'ailleurs d'avoir signalé que la géométrie descriptive permet d'éluder certaines difficultés fort embarrassantes auxquelles donnerait lieu la gépmétrie projective sur les surfaces à géodésiques infinies.