CHAPITRE II

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE

Malgré tout, nous croyons Tartifice aussi légitime qu'il est indispensable, non dans la forme que nous lui donnerons, mais dans son idée essentielle. Du moment qu'on ne considère pas une géométrie comme une science innée au sens propre et rigoureux du mot, il est clair que nous devons chercher dans les perceptions ou expériences un point de départ ou plutôt un excitant pour l'esprit. Celui-ci, travaillant sur des données sensibles et sans précision, leur appliquera les notions générales qui se seront éveillées en lui et pourra construire une science apriorique, qui pourrait ne pas s'appliquer, en fait, aux phénomènes réels sans que sa valeur propre on fût en rien diminuée.

Mais revenons à l'habitant de notre ellipsoïde. Armé de son fil, qui a naturellement une largeur comme les nôtres, mais point d'épaisseur, il le tend successivement dans des positions différentes. Pour nous, qui envisageons toutes choses dans un espace à trois dimensions, les arcs ainsi déterminés diffèrent par leurs courbures ; mais ces courbures ne sont pas appréciables sur l'ellipsoïde, en sorte que notre sujet sera amené à considérer ces lignes comme identiques de forme et de longueur, leurs positions étant seules différentes.

Il est vrai que cela suppose l'inextensibilité du fil, alors qu'elle est impossible à vérifier véritablement sans cercle vicieux ; mais, nous l'avons dit, il ne s'agit de demander à l'expérience que de simples suggestions. Or l'idée d'extensibilité et d'inextensibilité d'un fil surgit naturellement lorsque, après en avoir tendu plusieurs, on peut encore éloigner, au moyen d'un nouvel effort, les extrémités de certains d'entre eux, tandis que ce déplacement ne se produit pas sensiblement pour les autres.

Ainsi notre observateur acquiert la notion d'identité de deux lignes, ce qui le conduit à la mesure des longueurs : pour lui l'axiome de libre mobilité est satisfait en ce qui concerne celles-ci.

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Mais, pour les angles, il en va tout autrement. Supposons en effet trois fils tendus entre trois points de l'ellipsoïde, de façon à former un triangle géodésique, et supposons que notre sujet déplace les trois sommets de ce triangle en laissant les fils toujours tendus : dira-t-il que le nouveau triangle ainsi obtenu est égal au premier, est le même dans une autre position? En ce qui concerne les côtés, nulle distinction n'est possible ; mais les angles ne sont certainement pas restés identiques. Si Ton prend en effet un second triangle ayant un angle commun avec le premier, les deux angles homologues après le déplacement ne pourront plus coïncider, ce qui prouve qu'au moins l'un des deux angles a varié, et l'on ne peut considérer un triangle comme étant resté identique à luimême durant un déplacement où les longueurs des côtés se sont conservées; l'égalité de deux figures ne peut donc plus se définir par leur superposition. Mais n'existe-t-il pas un moyen d'arriver cependant à la mesure des angles ?

Cette mesure apparaît comme fort difficile, car un angle est dépourvu de toute fixité si l'on ne relie pas ses côtés l'un à l'autre ; or nous venons de voir que, sur l'ellipsoïde, de telles liaisons ont précisément pour résultat de faire varier l'angle quand on déplace la figure. Pour sérieux qu'il soit, l'obstacle n'est pas insurmontable, grâce à une propriété commune à toutes les surfaces. Si nous considérons une série d'angles formés tout autour d'un point pris comme sommet et si nous joignons leurs côtés deux à deux de façon à donner naissance à autant de triangles, un déplacement de ceux-ci, tel qu'ils aient de nouveau un sommet commun à tous et un côté commun à deux triangles successifs, aura pour résultat de faire constater que le dernier côté ne coïncidera pas avec le premier : il y aura vide ou recouvrement. Si l'on recommence l'opération en réduisant les côtés des triangles, l'écart sera moindre et deviendra plus petit que tout angle donné, si l'on diminue suffi-