CHAPITRE \1II

fiexite, c'est-à-dire que la différence entre un des éléments de cet ensemble et un autre élément à y choisir peut être rendue plus petite que toute quantité donnée ; mais il n'est pas continu, car il admet une infinité de lacunes infiniment petites ou coupures : c'est ce dont fournit un exemple la recherche de la racine carrée de 3, car 3 n'est le carré ni d'un entier ni d'une fraction, le carré d'une fraction irréductible étant une fraction irréductible. La recherche de cette racine fournit un moyen de séparer l'ensemble des nombres rationnels en deux classes et y révèle ainsi une coupure

Tout nombre faisant partie de la classe des nombres dont les carrés sont plus petits que 3 est plus petit qu'un nombre quelconque de la seconde classe, et d'autre part dans la première il n'existe aucun nombre qui soit le plus grand nombre d'entre eux, ni, dans la seconde, un nombre qui soit le plus petit.

Cela étant, on peutdéfinir ainsi le nombre irrationnel, avec M. Jules Tannery : « Toutes les fois qu'on a un moyen de séparer la totalité des nombres rationnels en deux classes telles que tout nombre de la première classe soit plus petit que tout nombre de la seconde classe, telles en outre qu'il n'y ait pas dans la première classe un nombre plus grand que tous les autres nombres de la même classe, et, dans la seconde classe, un nombre plus petit que tous les autres nombres de la même classe, on convient de dire qu'on a défini un nombre irrationnel ».

On démontre d'ailleurs que le nombre irrationnel ainsi défini peut être obtenu également comme limite d'une suite infinie de nombres rationnels, et c'est ce qu'on réalise au moyen des fractions décimales illimitées, sauf dans les cas particuliers où elles sont égales à des fractions ordinaires, c'est-à-dire à des nombres rationnels ; elles fournissent d'ailleurs tous les nombres irrationnels. Revenant à l'ensemble des nombres réels compris entre 0 et 1, il est très intéressant de voir qu'il est de

CRITIQUE DE L INFINI ET DU CONTINU

même puissance que l'ensemble de tous les nombres réels, c'est-à-dire qu'on peut faire correspondre les éléments des deux ensembles de façon univoque et réciproque. Soit en effet un nombre x quelconque compris entre 0 et 1 et prenons un nombre y défini par la relation :

on voit qu'à toute valeur de x répond une valeur de y et que y varie de 0 à oo lorsque x varie de 1 à 0. On remarquera toutefois que, dans cette démonstration, on n'envisage que l'ensemble des nombres réels positifs.

Cette puissance de l'ensemble des nombres réels, qui est aussi celle des nombres réels compris entre deux limites données quelconques, est dite puissance du continu. Cette puissance étant supérieure à celle des ensembles dénombrables S on peut retrancher de l'un de ces ensembles tous les nombres rationnels ou seulement algébriques qui en font partie sans en changer la puissance, car de tout ensemble infini on peut retrancher un ensemble dénombrable sans en changer la puissance ^ en sorte qu'on peut dire que les nombres réels incommensurables sont infiniment plus nombreux que les nombres rationnels, bien que deux nombres incommensurables donnés quelconques comprennent entre eux une infinité de nombres rationnels ; cette double proposition s'étend évidemment à la comparaison des ensembles formés par les nombres algébriques et les nombres transcendants.

Toutes les propositions qui précèdent trouvent immédiatement leur application aux ensembles de points for-

(1) Lorsqu'une partie aliquole d'un ensemble A a même puissance qu'un ensemble B et qu'il n'existe pas de partie aliquote de B ayant même puissance que A, ce dernier ensemble est dit de puissance supérieure à celle de B.

(2) On trouvera la démonstration de ce théorème, par exemple, dans les Leçons sur la théorie des fonctions de M. Borel,p. 13.

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