CHAPITRE VIII

se divisent en deux classes suivant qu'ils sont dénombrables ou ne le sont pas, c'est-à-dire suivant qu on peut ou non poser une loi d'après laquelle tout élément de l'ensemble considéré puisse être mis en correspondance univoque et réciproque avec im des termes de la suite des nombres entiers.

Comme exemple d'un ensemble dénombrable on peut citer celui des nombres rationnels. Il est clair que l'on ne peut opérer ce classement de ces nombres en les prenant par ordre de grandeur, puisqu'entre deux nombres rationnels donnés quelconques il en existe une infinité d'autres, si bien qu'on n'arriverait jamais au second, ou plutôt qu'il serait impossible de commencer le dénombrement, puisqu'aucun nombre rationnel n'est le plus voisin d'un nombre donné. Il est donc indispensable de chercher une autre loi de classement ou de formation. Pour envisager un cas particulièrement simple, nous prendrons l'ensemble des fractions proprement dites. On peut les ordonner de la façon suivante, en ayant soin de n'écrire que les fractions réduites à leur plus simple expression pour n'avoir pas de répétitions :

JO

Si maintenant nous lisons ce tableau en diagonale, nous obtiendrons la correspondance suivante avec la série des entiers :

ri 5

CRITIQUE DE l'iNFINI ET DU CONTINU 245

On voit que toute fraction donnée trouvera place dans ce tableau suffisamment prolongé, et que la lecture du tableau, faite comme il vient d'être dit, la fera correspondre à un entier déterminé.

Il est digne de remarque d'ailleurs que non seulement l'ensemble des nombres rationnels est dénombrable, mais que l'est également celui des nombres algébriques, c'est-à-dire des racines, réelles ou imaginaires, de toute équation algébrique à coefficients entiers.

On voit assez simplement que l'ensemble des fractions décimales proprement dites n'est pas dénombrable. Supposons en effet qu'on ait pu en opérer le dénombrement :

3 0, Cl C2 C3

a^, a.,,.... b^, h.2,,... c,, Cj,... étant chacun un des dix chiffres. Je dis qu'on peut former une fraction non comprise dans la série, ce qui est contraire à l'hypothèse. Pour cela il suffît de prendre une fraction :

dans laquelle x^ est autre que rt^, x^ autre que b.^ et ainsi de suite, car cette fraction différera de la /i'*'™® au moins par le n}^"^^ chiffre.

Or l'ensemble que nous venons d'envisager est celui des nombres réels compris entre 0 et 1 . Cela résulte de la définition même des nombres incommensurables qui, ajoutés aux nombres rationnels, complètent l'ensemble des nombres réels. Sans entrer dans des développements qui ne seraient pas ici à leur place, nous donnerons cependant quelques indications à ce sujet.

Ainsi que nous l'avons déjà dit, l'ensemble des nombres rationnels jouit de la propriété qu'on appelle con-