CHAPITRE Vin

mantune ligne finie ou infinie, considérés comme ordonnés suivant leurs distances à un point donné de cette ligne. A première vue on croirait que les ensembles de points formant des surfaces ou des volumes doivent constituer des ensembles de puissance supérieure à celle de l'ensemble des points composant un segment de ligne. Nous verrons tout à l'heure qu'il n'en est rien ; toutefois ces ensembles présentent certains caractères qui les différencient des ensembles dits linéaires, dont les points d'une ligne donnent le type.

Ces derniers sont caractérisés par le fait qu'ils comprennent un ensemble R à la fois dénombrable et tel qu'entre deux éléments quelconques de l'ensemble donné il y a un élément de R. Or les points d'un carré considérés comme ordonnés d'après la grandeur des x et, dans le cas d'égalité des x, d'après celle des //, ne satisfont pas à cette condition *. On voit en effet aisément que, pour satisfaire à la seconde condition, R doit comprendre des points correspondant à tout point d'un côté du carré, puisqu'on peut choisir deux points sur une même ordonnée : il ne saurait donc être dénombrable.

Il est vrai que, comme nous allons le voir, cet ensemble des points du carré est de même puissance que celui des points d'un segment de droite, d'où il résulte forcément qu'on peut l'ordonner de façon qu'il satisfasse à la définition d'un ensemble linéaire ; mais ce résultat ne pourra être obtenu qu'en faisant se succéder des points pris d'une façon discontinue sur la surface du carré, ou en faisant correspondre certains points du carré à deux points différents du segment.

Quoi qu'il en soit de cette question secondaire, voyons comment on peut démontrer l'égalité de puissance des ensembles formés par les points d'une surface et d'une ligne, c'est-à-dire comment on peut faire cor-

(1) .rot // sont les coonlonnées d'un point prises par rapport aia deux cotés du carré pris coinme axes.

CRITIQUE DE L INFINI ET DU CONTINU

respondre point par point tous les éléments de ces deux ensembles.

Commençons par remarquer que la correspondance un à un peut être établie entre les points de deux segments rectilignes quelconques de longueurs a et h, avec ou sans extrémités, car deux segments peuvent toujours être mis en perspective l'un par rapport à l'autre ou, si l'on n'admet pas les déplacements, peuvent être considérés comme perspectives d'un même troisième segment.

Considérons maintenant les points [x, y) d'un carré ayant un centimètre de côté (0<J?<1,0<//<1) et les points / d'un segment long, par exemple, de trois centimètres (0 < / < 3). Partageons chaque tiers du segment / en un ensemble dénombrable de segments, longs

de -, -, - ... de centimètre. La correspondance un à un

entre les points du carré et ceux du segment peut être établie ainsi :

l*' Les points {x, y), tels que x et y soient tous deux rationnels, forment un ensemble dénombrable et peuvent dès lors correspondre un à un aux points « rationnels » du segment, c'est-à-dire aux points pour lesquels / est rationnel ;

2° Les points {x,y) tels que x soit rationnel et y irrationnel sont les points « irrationnels » de l'ensemble dénombrable des droites verticales « rationnelles » et peuvent dès lors correspondre un à un aux points « irrationnels » de l'ensemble dénombrable de segments qui forment, par exemple, le troisième tiers du segment ;

3<^ De même, les points [x, y) tels que y soit rationnel et X irrationnel peuvent correspondre un à un aux points irrationnels du tiers moyen du segment ;

4° Enfin, les points tels que x et // soient tous deux irrationnels peuvent correspondre un à un aux points « irrationnels » du premier tiers du segment. En effet, toute fraction irrationnelle a peut être exprimée par une fraction continue a= [«^ «s» â^a»-']' ^^^^^ ^^® •