CHAPITRE VIII

CRITIQUE DE L*INFINI ET DU CONTINU

dans laquelle a^, Oj, «3,..., sont des entiers positifs ; de cette manière, au point du carré :

nous pouvons faire correspondre le point du segment :

i = L-^j, f/iy j^j, ^2, ^j, y3>."J> et, réciproquement, au point du segment :

i = [/i, t^, «3, ... j nous pouvons faire correspondre le point du carré :

Ainsi la correspondance entre les points du carré et ceux du segment est entièrement établie, et la méthode peut être facilement étendue à un nombre de dimensions quelconque, soit fini, soit infini, mais dénombrable*.

(1) Nous avons donné celte démonstration, d'ailleurs due à G. Cantor, d'après le petit livre sur le Continu de M. Huntington. traduit en espéranto par M. Bricard (La Kontinuo, Gauthier- Villars, 1907).

Pour éviter tout malentendu, nous devons signaler qu'une communication faite par M. Baire à l'Académie des Sciences (Comptes rendus hebdomadaires, séance du 11 février 1907, tome 144, p. 318) n'est aucunement contraire au théorème de Cantor. Il s'agit bien d'y établir la non-applicabilité de deux continus à n e^ n -|- p dimensions ; mais l'applicabilité est autre chose que la possibilité de faire correspondre les deux ensembles de points dune façon univoque et réciproque : elle y ajoute la

Cette puissance unique des ensembles de points composant un espace quelconque, nous l'avons obtenue par la considération de l'ensemble des nombres réels, et nous l'avons appelée la puissance du continu ; mais on sait définir des puissances supérieures à celle-ci, et Ton peut se demander si l'ensemble des points d'une droite ne pourrait pas appartenir à l'une de ces puissances. Or il nous semble qu'on peut démontrer le contraire, pourvu que l'on admette Taxiome dit d'Archimède (voir p. 78), d'après lequel, étant donnés un segment AC et un point B situé entre A et G, si l'on porte plusieurs fois le segment AB dans le sens de A vers G, on arrivera, après un nombre fini d'opérations, à dépasser le point G. Nous ne savons si la démonstration en a été publiée, et nous en donnons une en note*.

continuité ^îm^ cette correspondance. En d'autres termes, si A est un point variable de l'un des ensembles tendant vers un point limite Ao, le correspondant a" A doit tendre vers le correspondant de Ao. Or nous avons vu précisément que, pour établir la correspondance des points d'un carré avec la série continue des points d'un segment, on prenait les points du carré d'une façon discontinue.

On sait cependant que M. Peano a su faire correspondre d'une façon continue les points d'un segment à ceux d'un carré, en sorte qu'on peut dire que ce segment remplit le carré ; mais, si chaque point du segment s'applique sur un point du carré, il y a une infmilé de points de celui-ci qui sont recouverts deux fois, en sorte que la correspondance, univoque en un sens, ne l'est pas dans l'autre. Ce défaut de réciprocité met hors de cause le théorème de M. Baire.

On trouvera, dans le livre de M. Couturat sur les Principes des Mathématiques, p. 129, un exposé de la découverie de M. Peano On remarquera que, si celui-ci peut recouvrir un carré avec un segment, cela tient notamment à ce que la ligne formée par les points successifs du carré n'a pas de tangenie et est par suite dépourvue de longueur.

(1) Soient une droite et, sur cette droite, une origine 0 et une unité de longueur OA,, toutes deux arbitraires.

Quel (jue soit un point M pris sur cette droite, je puis lui faire correspondre un nombre réel. En effet, en vertu de l'axiome d'Archimède, si je porte successivement l'unité OA, à la suite d'elle-même, le point M se trouvera compris entre deux points de division A^ et A; + 1 ainsi déterminés. Appliquant le même prin-