CHAPITRE VIII

Quoi qu'il en soit de ce point, si nous avons tenu à donner des indications un peu précises sur la théorie des ensembles de Cantor dans leur application à la géométrie, c'est que cette application montre que, scientifiquement, rien ne s'oppose à ce que l'on considère un espace comme un ensemble de points On sait combien dé fois on a nié la légitimité d'une telle conception : la question nous paraît aujourd'hui tranchée en faveur de celle-ci ; mais on voit en même temps que la distance de deux points n'est aucunement mesurée par le nombre transfini des points interposés entre eux. Il est bien entendu d'ailleurs que nous ne soutenons aucunement la réalité de ces points dans la nature, puisqu'au contraire nous nous appuyons sur la contradiction de la réalité de tout ensemble infini pour nier l'existence d'un continu quelconque.

Les philosophes qui sont à la fois partisans du continu

cipe au segment A^A^ + 1 et y portant successivement le resle i\ = AzM, je verrai que ce reste y est conlenu n^ lois et ne Y y est pas (n^ -|- 1) fois. Poursuivant ainsi intléfinimenl, on pourra Taire

correspondre au point M le nombre l -]

et l'on peut remarquer que les nombres ainsi obtenus vont en croissant en même temps que le point M s'éloigne de 0.

On peut démontrer en outre que deux points difîérents ne peuvent conduire au même nombre. Si nous considérons en effet les restes successifs r,, r,..., Vp..., on a : rp i = 7iprp-\- Vp + i, np étant un entier au moins égal à 1, et, si nous remarquons que les restes successifs vont toujours en diminuant, nous voyons qu'on

, d'où l'on déduit aisément : r^p <C