CHAPITRE II

samment les côtés, en sorte que, à la limite, le dernier côté se superposerait au premier. De là on est amené à conclure que les angles des triangles infiniment petits restent identiques à eux mêmes dans le déplacement de ceux-ci sur l'ellipsoïde.

Une fois en possession de l'égalité de certaines lignes, particulières sans doute, mais telles qu'il en passe toujours une par deux points donnés, ainsi que de l'égalité des angles, 1 habitant de l'ellipsoïde pourra faire la théorie de la longueur et de la courbure des autres lignes, cette courbure étant exclusivement mesurée sur la surface selon ce qui sera expliqué plus loin. En un mot, il pourra faire la géométrie de son espace à deux dimensions.

Cette sorte de digression montre que l'axiome de libre mobilité a reçu une forme trop absolue pour un axiome ; mais il caractérise ou définit toute une catégorie d'espaces dont la géométrie s'établit beaucoup plus aisément, et, comme les espaces non isogènes peuvent être inclus dans des espaces isogènes ayant un plus grand nombre de dimensions, où ils constituent des figures, on ne nuira pas à la généralité en s'occupant uniquement des espaces isogènes.

Les allusions que nous venons de faire à l'intervention des expériences physiques dans la genèse des géométries ne doivent pas faire perdre de vue que, dans ce paragraphe, nous entendons cependant les envisager comme des sciences pures ; les perceptions extérieures ont pu suggérer certaines notions et certaines propositions, mais celles-ci sont ensuite envisagées en elles-mêmes, et nous n'avons nul souci de savoir si elles sont ou non conformes à une réalité extérieure. Aussi, à ceux qui nous opposeraient la phrase de M. Poincaré reproduite cidessus, pour contester la légitimité de la géométrie métrique, nous répondrions qu'il ne s'agit pas de vérifier la conformité en question, mais de déduire une science apriorique en nous servant de l'axiome de libre

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE

mobilité ou de la définition des surfaces isogènes ou identiques à elles-mêmes ; nous appliquons l'idée métaphysique d'identité à plusieurs figures sans nous occuper de toute vérification expérimentale.

Nous devons ajouter que la conception de la géométrie métrique que nous venons d'exposer est aujourd'hui considérée par beaucoup comme tout à fait surannée. M. Gouturat, par exemple, entend bien conserver la o-éométrie métrique et la notion de mouvement des figures, mais en leur attribuant une signification qui ne ruine pas moins le caractère réellement métrique que ne le fait, ainsi que nous l'avons vu, le numérotage projectif des points suivant la méthode de Cayley. C'est ce que nous allons essayer de montrer.

(( Le mouvement que l'on emploie en géométrie, dit M. Couturat, n'est pas en réalité un mouvement : on ne considère pas la suite continue des positions intermédiaires du mobile, mais seulement la position initiale et la position finale Cela prouve, ajoute-t-il, que le prétendu mouvement se réduit, au fond, à la congruence de ces deux positions » '. Qu'est donc la congruence? C'est une sorte de succédané de la vieille égalité, se réduisant à une simple correspondance, ce qui permet de parler de points congruents, et ce qui fait même que deux figures congruentes ne sont que deux ensembles de points congruents. Aussi M. Couturat conclut très justement : « En définitive, le mouvement géométrique n'est pas autre chose qu'une transformation ponctuelle de l'espace en lui-même, c'est-à-dire une correspondance (une relation biuniforme) ' établie entre deux ensembles de points congruents >^.

Qui ne voit dès lors que deux figures congruentes n'ont plus aucune identité et qu'en même temps s'évanouit la

(1) Les Principefi des Mathématiques, p. 192.

(2) C'est-à-dire qu'à des points identiques correspondent des points identiques et qu'à des points ditîérents correspondent des points différents.

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