CHAPITRE II

notion propre de mesure? Les nombres pourront être introduits en géométrie, mais ils n'y joueront qu'un rôle purement conventionnel. Aussi ne croyons-nous pas que la géométrie de l'égalité doive céder la place à celle de la congruence.

Quoi qu'il en soit, ces deux géométries sont pratiquement identiques, et il n'y a, au fond, qu'une question philosophique qui les sépare.

Avant d'entrer dans l'étude des divers systèmes de géométrie métrique, il nous reste à faire quelques remarques de portée générale, concernant le nombre des dimensions d'un espace.

M. Poincaré, dans son livre sur La valeur de la science, a donné une définition très intéressante du nombre des dimensions d'un continu physique * ; mais, au point de vue où nous nous sommes placé, il nous suffira d'adopter la définition vulgaire : le nombre des dimensions d'un espace est le nombre des coordonnées qui sont nécessaires pour y déterminer un point. Ainsi, sur une ligne, il suffit de donner la distance, positive ou négative, d'un point à un autre point fixe pour déterminer le premier : une ligne est donc un espace à une dimension. Sur une surface, il faudra deux coordonnées, telles que les distances à deux géodésiques ^ fixes, mesurées suivant les géodésiques issues du point et normales aux géodésiques fixes, prises pour axes de coordonnées : les surfaces sont des espaces à deux dimensions. Dans un espace à trois dimensions, trois coordonnées sont nécessaires, par exemple les distances à trois surfaces. Nous n'avons pas besoin de dire que l'espace où nous croyons vivre nous apparaît comme tel.

(1) P. 69 et suivantes.

(2) Lignes telles qu'il n'en passe qu'une par deux points donnés. Leur existence est un axiome de la géométrie métrique comme de la géométrie projective.

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE

Rien n'empêche d'ailleurs de concevoir, sinon d'imaginer, des espaces à plus de trois dimensions.

Bien des personnes se refusent à parler de géométries à plus de trois dimensions : la géométrie vit d'images, disent-elles ; là où s'arrête l'image elle s'arrête elle-même et fait place à la pure analyse. Cette thèse est irréfutable, car il s'agit en somme d'une définition nominale ; mais elle ne saurait être soutenue avec conséquence par ceux qui acceptent les géométries non-euclidiennes, car les représentations que nous nous formons des figures non-euclidiennes sont d'une fausseté contradictoire. A ce point de vue, d'ailleurs étroit, on peut dire que la géométrie euclidienne à quatre dimensions l'emporte sur les géométries non-euclidiennes à trois dimensions, car elle permet d'obtenir les projections parfaitement correctes des figures de l'espace à quatre dimensions, et ces projections sur deux plans seulement permettent d'effectuer sur ces figures toutes les constructions, au moyen des procédés de la géométrie descriptive. .

Nous verrons du reste que ce n'est pas une simple virtuosité de mathématicien qui incite à dépasser la géométrie à trois dimensions, mais que cette démarche est nécessaire à la solution de questions autrement fort

troublantes. . .

Tout exposé vraiment philosophique de la géomctno doit partir d'espaces à une dimension, pour s'élever progressivement à des géométries à deux, à trois... dimensions. Il convient de remarquer en effet que chaque espace présente des propriétés intrinsèques qui le caractérisent essentiellement et peuvent être établies sans qu'il soit besoin de l'envisager comme inclus dans un espace d'ordre supérieur, mais qu'il en présente aussi d'autres relatives à l'espace dans lequel on l inclut. 11 paraît nécessaire de faire ressortir ce fait de première importance au moyen d'un exemple élémentaire, emprunlé naturellement à la géométrie euclidienne.

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