CHAPITRE II

GÉOMÉTRIE MÉTRIQI'E

Considérons une sphère et un plan passant par son centre : leur intersection est un grand cercle de la sphère, cercle que nous pouvons envisager en lui-même et que nous pouvons considérer comme une figure tracée sur le plan ou sur la sphère.

Considéré en lui-même, le cercle est simplement une ligne fermée, indiscernable de toute autre ligne fermée. Sur le plan, il apparaît en outre comme une ligne dont tous les points sont également distants d'un même point ; sur la sphère, cette propriété d'équidistanco n'est plus relative à un point, mais à deux. Mais voici une autre différence plus curieuse. Soient divers points répartis sur une moitié du cercle et, sur l'autre moitié, les points symétriques des premiers par rapport à un diamètre, et cherchons à amener en coïncidence les deux séries de points en faisant glisser le cercle soit dans le plan, soit sur la sphère : la superposition sera impossible à obtenir sur le plan, du moment qu'il est défendu d'en faire sortir le cercle pour le retourner ; au contraire, ce retournement s'opère sur la sphère et les deux demi-cercles symétriques s'appliquent l'un sur l'autre.

Ceci montre la nécessité de bien distinguer ce qui est propriété relative de ce qui est propriété intrinsèque et fait entrevoir combien pourra être féconde la considération des propriétés d'un espace à trois dimensions relatives à un espace à quatre dimensions où il serait inclus \

(4) Nous scra-t-il permis d'exprimer le regret de voir l'enseignement matht'matique s'engager dans une voie qui nous paraît fatale à la formation philosophique des esprits? Sous l'impulsion donnée par un maître éminent, M. Méray, on a rompu les vieilles barrières, si imparfaites du reste, qu'on avait posées entre la géométrie plane et la géométrie dite dans l'espace, en sorte que l'élève est systématiquement détourné de cette distinction fon- »damentale entre les propriétés intrinsèques et les propriétés relatives.

L'exemple, du reste, vient de plus haut, des pionniers de la science. Pour s'en convaincre, on n'a qu'à se reporter au livre, si souvent cité par nous, de M. Couturat sur les Principes des

Si de nombreuses personnes refusent d'admettre des jréométries à plus de trois dimensions, il en est d'autres (ce sont, il est vrai, souvent les mêmes) qui ne refusent pas moins énergiquement d'admettre des géométries à deux dimensions. Ceci paraît bien moins soutenable, car même celui qui a foi en la nécessité de la troisième dimension peut bien, par abstraction, ne considérer qu'une surface sans tenir compte de ses rapports avec le reste de l'espace. Aussi cette hostilité apparaît-elle surtout lorsque, à l'exemple de Helmholtz et comme nous ravons fait à propos de la géométrie de l'elhpsoïde, on parle d'un être superficiel qui vivrait dans un monde à deux dimensions. On oppose alors à cette hypothèse qu il ne saurait y avoir d'êtres superficiels, toute réahte spatiale exigeant forcément trois dimensions et un être superficiel ne pouvant essentiellement être qu'une fiction obtenue par abstraction. Outre que cette thèse tranche rfe piano par la négative la question de fait de l'existence d'atomes inétendus comme derniers éléments de la matière, elle repose sur une conception purement Imaginative. A priori, en effet, tout espace est sans épaisseur par rapport à une dimension qui ne lui appartient pas ; ainsi, dans un espace à quatre dimensions, toute droite non contenue dans un espace à trois dimensions qui y est inclus n'a qu'un point commun avec ce dernier espace : elle le perce absolument comme une droite perce un plan dans lequel elle n'est pas contenue. On voit donc que tout espace est infiniment mince et mérite également la qualification de pure abstraction, quel que soit le nombre de ses dimensions, si cette qualification est jamais

justifiée. . ,.

Reposons-nous un instant de ces arides discussions en

Mnthématimie^ ■ on Iroiivcra en effet, dans son résume de la Matliemaiiqjies in l'analvse la nl\is approfondie

théorie de M. Pieri, qui est, dit-il, 1 f"*'y^'^ ''' ' .,ç\; jg la des principes de la géométrie, que le cercle se défini après a SDhére et au moyen d'elle et qu'un point ne peut être dit intérieur a urce'xle que si l'on élablil qu'il est intérieur à une sphère.

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