CHAPITRE Ft

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posés, c'est à-dire que les quatre segments successifs sont égaux chacun à chacun et se suivent dans le même ordre. Néanmoins, tant que ces deux figures restent enfermées sur l'espace à une dimension qu'est la ligne donnée, elles ne peuvent être amenées en superposition, à moins que l'on n'ait AB = CD ; mais alors la superposition aurait un caractère pour ainsi dire accidentel et serait obtenue sans superposition des éléments homologues. La même remarque doit être faite dans le cas où il s'agit d'une ligne fermée, en sorte qu'elle a une portée absolument générale.

Si nous passons au cas de la géométrie à deux dimensions, et si nous continuons à y étudier cette question de la symétrie par rapport à un point, nous verrons que, sur un plan, nous pourrons obtenir la superposition de deux figures symétriques déterminées sur une ligne droite, parce que nous pourrons retourner une moitié de la droite autour du point 0, en la faisant tourner autour de ce point, sans sortir du plan. Nous avons d'ailleurs fait remarquer, dans le précédent paragraphe, qu'il en est de même pour un cercle placé sur une sphère oii il soit grand cercle, c'est-à-dire où par deux points donnés il n'en passe qu'un (sauf dans le cas où ces deux points le partageraient en deux arcs égaux).

Au contraire, si sur un plan (ou une sphère) nous considérons deux figures symétriques par rapport à une droite (ou un grand cercle), il nous sera généralement impossible de les amener à coïncider en les faisant glisser sur le plan (ou la sphère), bien que les deux figures symétriques soient composées d'éléments, côtés et angles, égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

.Mais nous parlons de plans et de sphères sans les avoir définis. Il est vrai que, ne cherchant pas à faire ici un exposé didactique de la géométrie, nous nous servirons sans cesse des connaissances déjà acquises par tous nos

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE

lecteurs, mais cette question de définition a ici une importance fondamentale, et Ton ne saurait se référer en ce qui la concerne à ce qu'enseignent les traités ordinaires de géométrie.

On doit bien remarquer d'abord que, en parlant de sphère, nous ne sommes aucunement sorti de la géométrie à deux dimensions, du moment que nous n'avons fait aucune référence à quelque chose d'extérieur à la sphère, à son centre par exemple '.

Cela bien compris, revenons aux définitions de ces deux surfaces ou espaces à deux dimensions. Toutes deux sont identiques à elles-mêmes, selon l'expression adoptée par Calinon, sont isogènes suivant la terminologie de Delbœuf ; d'autres disent « homogènes », mais nous verrons que, d'après la terminologie plus précise du philosophe liégeois, il convient de réserver cette dernière expression au seul plan. Nous avons déjà vu la définition des espaces identiques à eux mêmes : toute figure peut y être déplacée de façon quelconque sans déformation ; quant aux espaces isogènes, Delbœuf les définit par la condition d'être composés de parties égales ' ; les deux définitions sont équivalentes.

En leur qualité de surfaces isogènes, le plan et la sphère jouissent de très nombreuses propriétés communes. D'une façon générale, on peut dire que ce sont toutes celles dans la démonstration desquelles n'intervient ni ce qu'on appelle le postidatum d'Euclide % m cette autre demande du géomètre grec d'après laquelle deux droites ne peuvent enfermer un espace. Notons que cet

(1) On remarquera que nous qualifions le centre d>^»';j Daree que ce moi signifie simplement non situé sur On verra du ^estTpTusToin, à propos de la géomélne à trois dm^ensions, ce nue ce mot « centre » a de tout relatil . „

(2) Prolégomènes philosophiques de la géométrie, p. 1^3 (Vou

"tX\n:S "-Xue peu son énoncé primitif, on peut le lolni^er ainsi : Etait Innés une ligne droite etunpojn ea^ rieur, on peut mener par ce point, dans leur plan, une ligne droite unique qui ne rencontre pas la première.