CHAPITRE

emploi du mot « droite » peut entraîner des confusions. Si ce mot désigne quelque chose d'unique, il est clair que cette chose ne peut jouir de propriétés contradictoires ; aussi conviendrait-il de n'attribuer cette appellation, ainsi que celle de plan, qu'à une ligne et à une surface bien définies : le pfen sera une surface isogène dont les géodésiques (lignes déterminées par deux points) satisfont au poslulatum d'Euclide, et la sphère une surface isogène dont toutes les géodésiques se rencontrent à distance finie. Ajoutons qu'on aperçoit de suite qu'on pourra définir une autre surface isogène : ce sera celle sur laquelle, étant donnés une géodésique et un point extérieur, on peut mener par ce point, dans cette surface, une infinité de géodésiques qui ne rencontrent pas la première. Nous appellerons cette surface une hypersphère, et sa géodésique s'appellera xxnhypercijcle comme celle de la sphère s'appelle un cercle (le grand cercle delà sphère, car il existe d'autres lignes isogènes sur la sphère, lignes qu'on appelle « petits cercles »).

Pour éviter d'ailleurs certaines discussions qui ne seraient pas encore à leur place, nous éviterons d'employer pour l'instant les mots « plan » et « droite », et nous désignerons la surface isogène ci-dessus définie et sa géodésique, tout d'abord, par les termes « horisphère » et « horicycle », qui rentrent du reste mieux dans le vocabulaire de la géométrie générale.

Revenant sur ce que, sur l'hypersphère, par un point extérieur à une géodésique il passe une infinité de géodésiques ne rencontrant pas la première, nous voyons que l'ensemble des géodésiques passant par le point considéré se divisent en deux grandes classes, suivant qu'elles rencontrent ou ne rencontrent pas la géodésique donnée, et que ces deux classes sont séparées par deux géodésiques rencontrant celle-ci à l'infini et qui lui sont dites parallèles. L'angle de ces deux géodésiques est appelé angle de parallélisme ; il croît en même temps que la distance du pointa la géodésique donnée.

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE

Indiquons quelques détails, qui nous seront utiles, des créométries de ces trois surfaces. Et dabord remarquons que c'est à bon escient que nous disons : « ces trois surfaces » et non « ces trois types ou espèces de surfaces ». Du moment en effet que nous faisons de la géométrie a deux dimensions, nous ne saurions rien connaître que la surface constituant l'espace objet de notre étude, et par suite il ne saurait, par exemple, être question de sphères plus ou moins grandes : supposez deux observateurs placés chacun sur une sphère et ne percevant rien en dehors • il n'y aura aucune différence entre ce qu ils percevront et obligés de rapporter toutes leurs mesures à une longueur-unité choisie sur leur sphère respective, ils ne pourront qu'aboutir à deux géométries absolument

indiscernables.

Avant d'ailleurs de signaler des différences entre nos deux géométries, nous mentionnerons l'identité de propriétés des figures symétriques ; sur les trois surfaces les figures symétriques par rapport à un point peuvent être superposées par une rotation de 180^ autour de ce point ; mais les figures symétriques par rapport a une géodésique, bien que composées d'éléments égaux et semblablement disposés, ne peuvent être amenées en superposition par glissement dans leur espace a deux dimensions. Le premier de ces faits tient à ce que la geodésique d'une surface isogène quelconque y est retournable autour d'un quelconque de ses points, c est-a-dire que, par rotation autour de ce point, une des deux parties qu'il y détermine peut être amenée en superposition avec l'autre, sans quitter durant tout ce mouvement la surface dont elle est géodésique.

Comme propriétés différentes de figures tracées sur nos trois surfaces, nous signalerons d'abord que, tandis que les géodésiques de l'horisphère et de l hypersphère sontdes^ignes infinies, celles de la sphère se referment sur elles-mêmes, et que celles-ci se coupent toujours en y deux points, alors que celles des deux autres catégories