CHAPITRE lî

ne peuvent avoir, deux à deux, plus d'un point commun. La propriété susdite des grands cercles de la sphère ne signifie pas, bien entendu, qu'ils ne sont pas, en général, déterminés par deux points, mais qu'il existe pour tout point de la sphère un point conjugué par lequel passent tous les grands cercles passant par le premier : on sait, et nous l'avons déjà dit, que deux points conjugués divisent en deux parties égales tous les grands cercles qui y passent.

Si nous considérons deux géodésiques menées perpendiculairement à une même troisième, les trois classes de surfaces se distinguent nettement : sur l'hypersphère, les deux perpendiculaires divergent de part et d'autre au fur et à mesure qu'elles s'éloignent de leur perpendiculaire commune, qui mesure leur plus courte distance * ; sur la sphère, elles convergent au contraire, et la perpendiculaire commune en mesure la plus grande distance ; enfin sur l'horisphère, cas intermédiaire, les deux perpendiculaires restent équidistantes et peuvent être considérées comme se rencontrant à l'infini.

La comparaison qui précède nous conduit à parler des lignes équidistantes des trois géodésiques et permet de prévoirque, sur fhorisphère seule, elles sont aussi, elles, des géodésiques : tout le monde sait du reste que, sur la sphère, les lignes équidistantes des grands cercles sont des petits cercles qui diminuent jusqu'à se réduire à un point, l'un ou l'autre des deux centres du grand cercle. Ce point, comme son conjugué, est du reste, centre de tous les petits cercles équidistants du grand cercle pris comme ligne de départ.

Sur l'hypersphère, les lignes équidistantes d'une géodésique en diffèrent également tout en étant comme elle des lignes isogènes et comme elle des hypercycles ^ :

(1) Deux géodésiques parallèles ont une perpendiculaire conrimune nulle et rejetée à l'inlini.

(2) Ces hypercycles ont comme limite un horicycle lorsque la distance à la géodésique donnée augmente indéflnimenl.

GÉOMlîlTRIE MÉTRIQUE

ceci exige que nous caractérisions l'hypercycle mieux que nous ne lavons fait jusqu'ici, car nous ne 1 ayons delmi que comme étant géodésique de l'hypersphère. Or on lut prendre comme propriété distinctive de 1 hypercycle Lrmi toutes les lignes isogènes celle même qui ser à caractériser l'hypersphère : les normales sont divergentes comme celles à la géodésique de cette surface. De même, d'ailleurs, les normales aux petits cercles d une sphère sont convergentes, propriété appartenant aux cercles tracés sur une horisphère ou une hypersphere, le mot « cercle » désignant dans ces derniers cas le lien des points équidistants d'un même point, propriété qui peut être également adoptée comme définition sur la sphère.

Ainsi donc nous sommes en présence de trois types de lignes isogènes caractérisées par la façon dont se comportent les unes par rapport aux autres les geodesujues normales en leurs divers points. Sur la sphère d ailleurs on ne trouve que des cercles, sur l'horisphère aux cercles s'ajoute Ihoricycle et enfin sur l'hypersphère apparaissent les trois lignes isogènes. Cette dernière proposition exige toutefois une explication : nous avons vu que les normales à Ihoricycle, considéré comme geodes.que de l'horisphère, sont des horicycles équidistants ou parallèles- or surl'hypersphère il n'y a aucune Hgne dont les normal puissent être des géodésiques équidistantes, mais il en est une dont les normales sont des hypercycles parallèles, se rencontrant à l'infini, propriété «8^1^--^^sentée par les horicycles parallèles : telle est la propriété commune et qui servira de définition aux horicycles des hypersphères comme à ceux des hor.spheres On remarquera d'ailleurs que, sur les deux surfaces, ils apparaissent comme limite d'un cercle dont le rayon croit mdefi-

men' entendu, en donnant le même nom à des Hgnes de surfaces différentes, nous ne voulons pas dire que les cercles des trois surfaces soient les mêmes lignes, m que les horicycles de l'horisphère et de l'hypersphère soient

lit.;