CHAPITRE it

identiques, car nous n avons aucun moyen de les superposer, puisque chaque surface est envisagée isolément, comme formant un espace à part ; mais, comme ces li"-nes jouissent de certaines propriétés s'énonçant de façon identique sur quelque surface qu'on se place, il est naturel de les désigner par les mêmes termes, tout en notant que, jusqu'à nouvel ordre, il est indispensable d'ajouter sur quelle surface elles se trouvent.

Mais nous avons parlé de lignes isogènes sans nous être rendu compte de la façon dont on peut reconnaître qu'une ligne est isogène ou identique à elle-même. Ainsi que nous l'avons remarqué, dans la géométrie à une dimension toute ligne est isogène ; mais il n'en est pas de même sur une surface, et c'est la notion de courbure qui va nous permettre de préciser la notion de ligne

isogene.

La tangente à une ligne en un point est la géodésique de la surlace passant par ce point et limite d'une sécante dont deux points de sécance sont venus s'y confondre, et la courbure géodésique de la ligne en ce point est la limite du rapport de l'angle de deux tangentes voisines à la longueur de l'arc qui sépare leurs points de contact, quand ceux-ci tendent à se confondre. Une ligne dont la courbure est constante, sur une surface isogène, est elle-même isogène.

On aura remarqué que nous avons dit c< courbure géodésique » : c'est qu'en effet nous aurons à parler plus loin d'une autre courbure.

Un fait digne de remarque, c'est que les diverses lic^nes isogènes présentent des caractères différents sur lel diverses surfaces isogènes; comme la géodésique est partout une ligne de courbure nulle, sur la sphère le cercle peut présenter une courbure nulle, tandis qu'il n'en a - jamais une telle sur Thorisphère et l'hypersphère, et de même l'horicycle, qui a une courbure nulle sur l'horisphère, a une courbure effective sur l'hypersphère. Cette notion de courbure peut être étendue dans une

oèoMÉTRIE MÉTRIQUE

àl

certaine mesure aux surfaces elles-mêmes, mais sans comporter de mesure, tant qu'on reste enferme dans la Géométrie à deux dimensions. Tandis que la somme des angles d'un triangle est toujours égale à deux droi s sur l'horisphère, elle est toujours supérieure a cette valeur sur la sphère et toujours inférieure sur 1 hypersphère ^ : c'est ce qu'on traduit en disant que 1 horisphère a une courbure nulle, la sphère une courbure positive, et l'hypersphère une courbure négative. La raison d'être et la portée de ces qualifications n apparaitrontbien que lorsque nous traiterons de la géométrie a trois dimensions ; mais nous tenions -à noter ce qu on peut connaître de la courbure en s'en tenant a la geometrie à deux dimensions. On remarquera que, s il s agissait d'une surface non isogène, il serait possible d y mesurer les variations de courbure, mais nous n'entrerons pas dans l'examen de cette question, qui se trouvera toute résolue par ce que nous dirons au sujet de la géométrie

à trois dimensions.

Nous avons dit que, sur la sphère, la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à deux droits ; ma.s cette somme est variable et va en croissant en même temps que l'aire du triangle ; nous pouvons ajouter que cette aire croît proportionnellement à 1 excès de la somme des angles sur deux droits, en sorte que, si 1 on désigne par S la surface du triangle, par A un coefficient constant et par E l'excès de la somme des angles sur deux droits, on a : S = AE.

Il en est de même sur l'hypersphère, a cela près que l'excès sur deux droits a une valeur négative, mais qui augmente en valeur absolue proportionnellement al aire du triangle, en sorte que la formule précédente y est également applicable, pourvu qu'on attribue au coefficentj une valeur négative. 11 va de soi que la formule s étend

(1, Sur chaque surface, nous parlons, bien entendu, Je triangles ayant des géodésiques pour côtés.

CHAPltRE II

à un polygone quelconque en calculant toujours Texcès par rapport à la somme constante des angles de la figure horisphérique analogue. Quand il s'agit d'un contour courbe, on prend le défaut par rapport à quatre droits de l'intégrale des angles extérieurs des tangentes géodési-

ques.

La formule S = kE fait ressortir une propriété très intéressante des figures infiniment petites : quand S tend vers zéro, E tend aussi vers zéro, en sorte que toute figure infiniment petite est horisphérique \ D'autre part, on remarquera que, sur l'hypersphère, la surface d'un triangle ne peut dépasser une valeur limite maximum, car l'excès négatif de la somme de ses angles ne saurait dépasser deux droits : cette valeur est atteinte lorsque les trois côtés sont deux à deux parallèles, c'està-dire tangents à l'infini.

A cette propriété de la somme des angles d'un triangle se rattache un fait d'extrême importance : sur l'horisphère, on peut à volonté majorer ou minorer une figure, selon l'expression de Delbœuf, sans la déformer, tandis que cela est impossible sur les deux autres surfaces isogènes ; en d'autres termes, on peut sur l'horisphère construire des figures semblables à une figure donnée, tandis qu'on ne le peut pas sur la sphère et l'hypersphère.

Cette propriété caractéristique de l'horisphère entraîne un fait bien digne de remarque. Si l'on établit sur elle, par exemple, la formule qui rehe les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle, on trouvera :

(1) On peut se rendre compte directement de cette proposition. Considérant un triangle formé par trois géodésicpjcs et supposant qu'un des cotés tend vers une position limite passant par le sommet opposé, on voit que les deux angles adjacents à ce côté tendent vers les angles formés par sa position limite avec les prolongements des deux autres côtés ; or ces deux angles forment deux droits avec l'opposé au sommet du troisième angle du triangle.

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE

formule absolument indépendante de la longueur-unité prise pour mesurer les côtés (en un mot, cette formule est homogène par rapport aux trois côtés du triangle). Si au contraire nous nous posons le même problème sur la sphère ou l'hypersphère, nous verrons forcément apparaître une longueur auxiliaire, si nous voulons avoir une expression homogène. Si. par exemple, sur la sphère, nous désignons l'arc de 1^ par m, nous aurons, dans un triangle rectangle :

TTC

cos