CHAPITRE II

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE

les surfaces de même nom appartenant à des espaces différents, puisque nous n'aurions d'autre motif pour faire cette identification que la communauté de nom de leurs géodésiques, communauté justifiée par une propriété commune à ces géodésiques mais qui n'entraîne aucunement leur identité, ainsi que nous l'avons fait remarquer, ces propriétés étant définies par rapport à des surfaces différentes.

De même que, sur toute surface isogène, la géodésique est retournable autour d'un quelconque de ses points, dans tout espace isogène la surface isogène de même géodésique que lui est retournable autour d'une quelconque de ses géodésiques Cette propriété entraîne pour conséquence la possibilité de superposer les figures symétriques par rapport à une géodésique que nous n'avions pu superposer en géométrie à deux dimensions. Cette possibilité s'étend d'ailleurs à toutes les figures symétriques par rapport à une géodésique, qu'elles soient ou non comprises sur une surface géodésique (ainsi appellerons-nous toute surface isogène ayant même géodésique que l'espace considéré).

Mais il faut bien remarquer que les figures symétriques par rapport à un point dans un espace ne peuvent être superposées par l'effet d'une rotation. Sans doute chaque point peut être amené en coïncidence avec son symétrique au moyen d'une rotation de 180® autour du centre de symétrie ; mais les divers vecteurs ne peuvent tourner d'une seule masse en formant un solide invariable, par synthèse en une rotation unique des rotations individuelles qui superposent séparément les points symétriques. On a, comme pour la symétrie par rapport à une surface géodésique à laquelle elle peut du reste se ramener par une rotation autour d'une droite, deux figures composées d'éléments égaux et semblablement disposés, mais non superposables ; c'est ce qui avait lieu, sur une surface, pour les figures symétriques par rapport à une géodésique. Dans chacun de nos espaces se trouvent des surfaces

isogènes ayant pour géodésiques les diverses lignes isogènes existant dans cet espace ou, ce qui revient au même, sur sa surface géodésique. Dans un même espace, toutes les horisphères seront identiques entre elles, puisque tous les horicycles le sont ; mais nous aurons une infinité de sphères et d'hypersphères distinctes, puisque nous avons reconnu l'existence d'une infinité de cercles et d'hypercycles.

L'étude de ces surfaces est féconde en enseignements.

Et d'abord elle fait ressortir ce fait que les sphères des trois espaces ont identiquement la même géométrie propre et qu'il en est de même des horisphères de l'espace horisphérique et de l'espace hypersphérique. Dès lors, sans parler d'une égalité de superposition, nous pourrons dire que rien ne distingue les sphères et horisphères des divers espaces que le seul fait extrinsèque de leur existence au sein de ces espaces. Considérées en ellesmêmes, elles sont indiscernables. Au sujet des sphères, nous relèverons ce fait que, dans l'espace sphérique, toute sphère a deux centres, comme un cercle sur une sphère, et que les deux centres d une grande sphère en sont également distants.

L'extension aux surfaces de la notion de courbure va nous permettre de préciser la distinction entre les diverses surfaces de même espèce. Nous avons vu que, sur une surface isogène quelconque, on a : S = ^E, S étani la surface enfermée par un contour polygonal ' tracé sur cette surface, k un coefficient et E l'excès de la somme des angles du polygone sur celle des angles d'un polygone horisphérique ayant le même nombre de côtés. E étant positif sur les sphères et négatif sur les hypersphères, il en est de même de /:, puisque S est essentiellement positif.

(1) On a vu (p. 52) comment on doit modifier l'énoncé s'il s'agit d'un contour courbe.