CHAPITRE II

Précédemment, quand nous considérions une surface isolément, la valeur de k dépendait uniquement du choix de l'unité de longueur sur cette surface. Maintenant que nous considérons diverses surfaces dans un même espace, ce qui permet de mesurer toutes les longueurs au moyen d'une même unité, il nous est possible

d'établir une comparaison entre ces surfaces, au moyen

des valeurs correspondantes de k : le quotient — est ce

qu'on appelle la courbure d'une surface. Positive pour les sphères, négative pour les hypersphères, elle est nulle pour les horisphères, car il est aisé de voir que, sur ces surfaces, k est nécessairement infini : c'est une conséquence du fait que E y est nul. Nous n'avons pas besoin de montrer comment cette définition de la courbure constante d'une surface isogène permet, par une généralisation fort simple, de définir la courbure d'une surface quelconque en un point donné.

Cette notion de la courbure d'une surface, propriété intrinsèque de cette surface, permet de fonder celle de la courbure propre d'une ligne : la courbure de la géodésique d'une surface isogène est égale à la racine carrée de la courbure de celle-ci ; cette définition a pour conséquence que la courbure d'uu hypercycle a une valeur imaginaire.

Il est intéressant de noter que, dans l'espace horisphérique, la définition précédente de la courbure d'une surface concorde avec celle qu'on en donne en géométrie euclidienne : sans entrer dans des détails ni rappeler la définition de la courbure intégrale d'une région de surface, il nous suffira de rappeler que, d'après un théorème dû à Gauss, « la courbure intégrale d'un triangle formé sur une surface continue quelconque par trois lignes géodésiques est égale à la somme des angles de ce triangle diminuée de deux angles droits ». La concordance est évidente. On se souvient d'ailleurs que, communément, on mesure la courbure en un point donné

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE

par l'inverse du produit des rayons de courbure maximum et minimum des sections normales de la surface en ce point, ce produit étant positif ou négatif suivant que les deux rayons de courbure sont de même sens ou de sens contraire : c'est qu'en effet, dans l'espace horisphérique, il n'y a de surface à courbure négative (c'està-dire à excès négatif) qu'à la condition que les rayons de courbure principaux soient de sens contraires.

On remarquera que cette manière ordinaire d'étudier la courbure des surfaces est essentiellement relative à la situation de ces surfaces dans un espace horisphérique ; il n'y a donc là qu'une conception étroite de la courbure, englobée dans celle que nous avons indiquée pour toute surface, dans un espace quelconque *.

Dans un espace isogène quelconque, quel que soit le nombre de ses dimensions, la plus courte distance de deux points est mesurée par la longueur de la géodésique qui les reUe ^ Il est intéressant de comparer les expressions des distances de deux mêmes points suivant un horicycle, un cercle et un hypercycle. Cette comparaison a une signification incontestable puisque, dans un espace hypersphérique, nous pouvons effectivement relier deux mêmes points par des Hgnes de ces trois

types.

Désignant par c la distance suivant un horicycle,

par s la distance suivant un cercle de courbure — =et enfin par s la distance suivant un hypercycle de courbure — — . on a

c=2srksin^=2A'Sh^.

(4) Nous avons étudié avec quelque détail cette généralisation de la notion euclidienne au moyen du théorème de Gauss, dans notre Introduction à la géométrie générale (p. 8 et suiv.).

(2) Si l'espace est sphérique, la géodésique étant fermée, il y a deux arcs entre deux points : il va de soi que la proposition précédente s'applique au plus court de ces arcs.