CHAPITRE II

On sait que cette dernière expression peut s'écrire :

On voit de suite que c est plus. grand que s', puisque tous les termes de ce développement sont essentiellement positifs. Les différentes valeurs de k^ donnent les géodésiques des diverses hypersphères existant dans l'espace considéré, et la plus courte distance correspond à la plus petite valeur de A\, c'est-à-dire à la géodésique de l'hypersphère de plus grande courbure négative, laquelle a même géodésique que l'espace considéré luimême.

Les paramètres k et A:, qui caractérisent chacune des surfaces isogènes de cet espace sont en réalité des quantités du deuxième degré ^ et leurs racines carrées sont des longueurs parfaitement comparables dans un même espace.

GÉOMÉTRIE A QUATRE DIMENSIOJNS

Il nous semble que la rapide esquisse qui précède a dû suffire à faire saisir à quel point est incomplète l'étude d'un être géométrique si on ne le considère qu'en luimême ou même si on ne le place que dans un seul espace d'ordre supérieur. Ainsi, pour bien connaître le cercle, il convient de l'envisager non seulement sur un plan, mais aussi sur une sphère, en distinguant le cas où il est grand ou petit cercle. De même, la connaissance de l'horisphère resterait singulièrement incomplète si on ne

(1) C'est ce que montre évidemment la formule S = kE où S est une surface et E un nombre de degré zéro.

GÉOMÉTRIE METRIQIŒ

rétudiait que dans l'espace horisphérique, où il est retournable ; il en serait de même de celle de la sphère dans ce même espace où elle n'est pas retournable, tandis qu'elle l'est dans un espace sphérique de même géodésique qu'elle.

Gela justifie le coup d'oeil que nous allons jeter sur les géométries à quatre dimensions, bien que Vespace qui fait l'objet de ce livre ne soit qu'à trois dimensions ; mais, en même temps, on voit pourquoi nous n'irons pas plus loin : l'intérêt des géométries d'ordre encore plus élevé ne serait pas considérable au point de vue de la connaissance des espaces à trois dimensions.

Montrons d'abord comment naît, sous une forme qui ne soit pas purement algébrique, la notion d'un espace à quatre dimensions, d'une éleadue comme on dit parfois et comme nous dirons plus d'une fois pour simplifier le langage.

L'être superficiel, vivant sur une surface et ne percevant rien en dehors d'elle, tel que l'a imaginé Helmholtz, ne peut, par un point d'une géodésique, lui élever qu'une seule perpendiculaire, et l'on ne voit pas comment il pourrait en imaginer d'autres.

Un habitant d'un espace imaginera une infinité de perpendiculaires à une géodésique en un de ses points ; mais, dans cette infinité, il n'y en a qu'une qui soit perpendiculaire à la fois à la géodésique donnée et à une de ses normales également déterminée. En d'autres termes, par un point il ne peut mener que trois géodésiques perpendiculaires entre elles. Mais, de même que Thabitant d'une surface pourrait poser l'hypothèse de trois perpendiculaires et en déduire une géométrie à trois dimensions, de même l'habitant d'un espace peut poser l'hypothèse de quatre perpendiculaires et en déduire une géométrie à quatre dimensions.

Nous avons esquissé rapidement l'étabhssement d'une telle géométrie dans le cas le plus simple, celui d'une

CItAPifBE ti

étendue horisphérique \ et l'on en trouvera un traité régulier et fort bien fait dans un livre dû au colonel Jouffret \ Qu'on nous permette de rappeler brièvement les points que nous avons fait particulièrement ressortir, grâce notamment à la facilité qu'offre la géométrie analytique horisphérique, quel que soit le nombre des dimensions. Tout d'abord (et ceci n'est pas particulier à la géométrie horisphérique), la surface isogène ayant même géodésique que l'étendue considérée, c'est-à-dire ici l'horisphère, peut être prise comme élément fixe d'une rotation de l'étendue : celle ci peut tourner autour d'une quelconque de ses surfaces géodésiques. Cette propriété fait immédiatement apparaître la superposabilité par retournement des figures symétriques par rapport à cette surface. Par contre, la symétrie par rapport à une géodésique ne conduit pas à des figures superposables au moyen d'un mouvement dans l'étendue'.

Dans l'étendue horisphérique, la géométrie des espaces horisphériques, des horisphères et de leurs géodésiques constitue un pendant très curieux au cinquième livre de Legendre, mais ne présentant peut-être pas grand intérêt au point de vue du présent ouvrage. Ce qu'il faut cependant bien saisir, c'est que, comme toute géodésique ayant deux points communs avec un espace y est contenue tout entière, une géodésique qui n'y est pas contenue ne peut avoir qu'un point commun avec lui : nous avons déjà fait remarquer qu'un espace à trois dimensions est intiniment mince, envisagé dans un espace à quatre dimensions, et c'est là une propriété absolument générale de tout espace envisagé dans un autre d'ordre plus élevé.

(1) Introduction à la géométrie générale, ch. II.

(2) Traité élémentaire de Géométrie à quatre dimensions.

(3) En général, dans un espace d'ordre pair on peut superposer les figures symétriques par rapport à un espace d'ordre pair et, dans un espace d'ordre impair, les tigures symétriques par rapport à un espace d'ordre impair.

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GÉOMÉTRIE MÉtRIQUË

L'étude des sphères à trois dimensions contenues dans l'étendue horisphérique présente un vif intérêt, et il est regrettable que le colonel Jouffret ne lui ait pas donné des développements plus considérables. Elle permet d'abord d'établir d'une façon extrêmement simple les propriétés intrinsèques de ces espaces, telles que la retournabilité des grandes sphères autour de leurs grands cercles et la propriété de toutes les sphères d'y avoir deux centres : on trouvera ces démonstrations dans notre Inlroduclion à la géométrie générale. En même temps, nous voyons immédiatement comment on peut étudier des espaces caractérisés par des paramètres différents. Mais ce qu'il y a peut-être de plus intéressant, c'est de constater que sphères horisphériques et sphères sphériques, si nous osons cette expression pour désigner les sphères des espaces sphériques, sont une seule et même chose. Précédemment, nous avions bien vu que ces sphères étaient intrinsèquement indiscernables, mais nous n'avions pu atteindre cette identité absolue qui, en géométrie métrique, résulte de la superposition. Or ici toutes ces sphères horisphériques et sphériques sont si bien superposables que chacune d'elles peut être considérée comme l'intersection d'un espace horisphérique et d'un espace sphé-

rique.

Si d'ailleurs on étudiait un espace hypersphérique à quatre dimensions, une étendue hypersphérique, on y verrait également que les sphères sont communes aux trois sortes d'espaces, chacune d'elles pouvant être considérée comme l'intersection commune de trois espaces de types différents. De même s'établirait l'identité des horisphères horisphériques et des horisphères hypersphériques.

La question des distances de deux mêmes points appartenant de même à trois espaces de paramètre positif, infini et négatif est toute résolue déjà par les formules que nous avons données p. 59 ; mais elle présente un