CHAPITRE Tf

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE

intérêt particulier, parce que, dans ces formules, les valeurs de k caractériseront des espaces comparables entre eux. Nous savons déjà que la plus grande distance est donnée par le demi grand-cercle de la sphère où ces deux points sont points conjugués, c'est-à-dire pour la plus petite valeur de k qui permette à une sphère de comprendre les deux points. Leur distance va en diminuant au furet à mesure que k augmente et cela jusqu'à ce qu'il devienne infini : on a alors la distance horisphérique. Mais nous avons vu que cette distance n'est point un minimum : la distance continue à diminuer avec les valeurs négatives de A, au fur et à mesure que ces valeurs diminuent elles-mêmes comme valeurs absolues. Mais cette diminution a un terme, que l'on atteint quand la distance se trouve mesurée suivant une géodésique de

l'étendue considérée.

Mais cette limite inférieure est purement relative à l'étendue choisie. Or maintenant nous pouvons parfaitement parler d'étendues ayant des paramètres décroissant indéfiniment en valeur absolue, puisque nous pouvons mesurer la racine carrée de ce paramètre sur un horicycle, ligne commune à toutes ces étendues Or ici apparaît une particularité qui, de prime abord, peut paraître déconcertante : c'est que, si k^ décroît indéfiniment en tendant vers zéro, .s', la distance suivant la géodésique de l'étendue, qui est aussi celle de l'espace retournable, tend également vers zéro. Donc, si long que soit un segment d'horicycle, on peut joindre ses extrémités par une ligne aussi courte qu'on voudra.

Y a-t-il là plus qu'un paradoxe ? N'y a-t-il pas contradiction? Si l'on peut toujours faire passer un hypercycle par deux points donnés, quelle que soit sa courbure, c'est que tout hypercycle est infini. Or n'est- il pas contradictoire qu'on ait des lignes infinies quand la distance de deux points quelconques est aussi petite qu'on le veut ? Il y a même plus : la relation entre c et s (page 59) ne montre-t-elle pas que, quelle que soit la distance de

deux points suivant un horicycle, leur distance est rigoureusement nulle suivant un hypercycle pour lequel k^ est égal à zéro ?

Examinons d'abord cette dernière difficulté où la contradiction apparaît manifeste. Si nous considérons une surface à paramètre nul ou à courbure infinie, cette courbure n'est, à vrai dire, ni positive ni négative, et nous pouvons envisager indifféremment l'une ou l'autre des deux formules. Celle qui concerne les espaces à courbure positive montre que c, distance suivant Thoricycle, est forcément nul en même temps que le paramètre k, c'est-à-dire que l'espace se réduit à un point : la grande sphère correspondante a un rayon nul. On peut donc dire en un certain sens que la formule est applicable jusques et y compris la limite ; au contraire, celle qui concerne les espaces à courbure négative cesse de l'être précisément à la limite, en sorte que les deux formules se soudent sans discontinuité au point de vue de l'applicabilité de Tune d'entre elles, mais avec discontinuité dans les résultats de leur appucation. Il n'y a du reste pas lieu de s'étonner de cette inapplicabilité d'une formule à la limite : c'est un fait très fréquent en analyse et dû à ce que, dans l'établissement d'une formule, on a impficitement écarté l'hypothèse de la limite.

Reste la première difficulté : bien que deux points aussi éloignés qu'on le veut suivant un horicycle soient aussi voisins qu'on le veut suivant un hypercycle, celui-ci n'en est pas moins infini.

La forme contradictoire de ce paradoxe tient à ce que nous parlons d'une Hgne variable comme si elle était déterminée. Nous donnant deux points aussi distants que nous voulons suivant un horicycle, nous nous fixons une valeur de la distance hypercyclique à obtenir et nous trouvons en fonction de cette valeur, si petite qu'elle soit, une ligne de paramètre déterminé. Dès lors nous pouvons inversement, l'horicycle étant infini, y trouver

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